2014年高考理科數(shù)學(xué)（全國二卷）真題

1、2014 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試,理科數(shù)學(xué)（全國卷Ⅱ）,6 月 7 日 15：00-17：00,注意事項：本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前，考生務(wù)必將自己的姓 名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上?；卮鸬冖窬頃r，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改 動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效?；卮鸬冖蚓頃r，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。考試結(jié)束后，將本試卷

2、和答題卡一并交回。,第Ⅰ卷一．選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，在每小題給出的四個選項中，只有一 項是符合題目要求的。（1）設(shè)集合 M＝{0,1,2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，則 M∩N＝（）（A）{1}（B）{2}（C）{0,1}（D）{1,2}（2）設(shè)復(fù)數(shù) z1，z2 在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點關(guān)于虛軸對稱，z1＝2＋i，則 z1z2＝,（,）（A）-5（B）5（C）-4＋i,（D）-4-i,,,,

3、,,,,,）,（3）設(shè)向量 a，b 滿足|a＋b|＝ 10，|a-b|＝ 6，則 a·b＝（（A）1（B）2（C）3（D）5,1,,,,,（4）鈍角三角形 ABC 的面積是 ，AB＝1，BC＝ 2，則 AC＝（ 2,）,,,,,（A）5（B） 5（C）2（D）1某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是 0.75，連續(xù)兩 天為優(yōu)良的概率是 0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為

4、 優(yōu)良的概率是（）（A）0.8（B）0.75（C）0.6（D）0.45如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為 1（表示 1cm），圖中粗線畫出的是某零 件的三視圖，該零件由一個底面半徑為 3cm，高為 6cm 的圓柱體毛坯切削得 到，則切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為（）,第 1 頁共 15 頁,姓名 準(zhǔn)考證號,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,開 始,輸入,M＝1,S

5、＝k＝1,,k≤t,M,M＝x kS＝M＋Sk＝k＋1,結(jié) 束,輸出 S,是,否,（A）,17,27,（B）,5,9,（C）,10,27,（D）,1,3,（7）執(zhí)行右圖程序框圖，如果輸入的 x，t 均為 2，則輸出的 S＝,（A）4（B）5（C）6（D）7,）,（8）設(shè)曲線 y＝ax-ln(x＋1)在點（0，0）處的切線方程為 y＝2x，則 a＝（（A）0（B）1（C）2（D）3,（9）設(shè) x，,?,y 滿足約

6、束條件?,?,? x ? y ? 7≤0,?3x ? y ? 5≥0,x ? 3y ?1≤0 ，則,z＝2x－y 的最大值為（,）,（A）10（B）8（C）3（D）2（10）設(shè) F 為拋物線 C：y2＝3x 的焦點，過 F 且傾斜角為 30°的直線交 C 于 A，B 兩 點，O 為坐標(biāo)原點，則△OAB 的面積為（）,（A）,,,,,3 39 3,,,,,（B）（C）（D）,639,48324,,,,,

7、,,,,,,直三棱柱ABC-A1B1C1 中，∠BCA＝90°，M，N 分別是 A1B1，A1C1 的中點，BC＝CA＝CC1，則 BM 與 AN 所成的角的余弦值為（）（A設(shè)函數(shù) f(x)＝ 3sin πx．若存在 f(x)的極值點 x0 滿足 x02＋[f(x0)]2＜m2，則 mm的取值范圍是（）,第 2 頁共 15 頁,第 3 頁共 15 頁,（A）(－∞，－6)∪(6，＋∞)（C）(－∞，－2)∪

8、(2，＋∞),（B）(－∞，－4)∪(4，＋∞)（D）(－∞，－1)∪(1，＋∞),第Ⅱ卷本卷包括必考題和選考題兩部分。第 13 題～第 21 題為必考題，每個試題考生必須做答。第 22 題～第 24 題為選考題，考生根據(jù)要求做答。二．填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分。（13）(x＋a)10 的展開式中，x7 的系數(shù)為 15，則 a＝ ．（用數(shù)字填寫答案）函數(shù) f(x)＝sin(x＋2φ)-2sinφcos(

9、x＋φ)的最大值為 ．已知偶函數(shù) f(x)在[0，＋∞)單調(diào)遞減，f(2)＝0．若 f(x-1)＞0，則 x 的取值范 圍是 ．設(shè)點 M（x0，1），若在圓 O：x2＋y2＝1 上存在點 N，使得∠OMN＝45°，則x0 的取值范圍是 ．三．解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。（17）（本小題滿分 12 分）已知數(shù)列{an}滿足 a1＝1，an＋1＝3an＋1．,1,（Ⅰ）證明{an＋ }是等

10、比數(shù)列，并求{an}的通項公式；2,a1a2,1113,an2,（Ⅱ）證明：＋＋…＋＜ ．,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,D,C,B,A,,,,,（18）（本小題滿分 12 分）如圖，四棱錐 P-ABCD 中，底面 ABCD 為矩形，PA⊥平面 ABCD，E 為 PD 的中 點．（Ⅰ）證明：PB∥平面 AEC；（Ⅱ）設(shè)二面角 D-AE-C 為 60°，AP＝1，AD＝ 3，求三棱錐

11、 E-ACD 的體積．PE,第 4 頁共 15 頁,（19）（本小題滿分 12 分）某地區(qū) 2007 年至 2013 年農(nóng)村居民家庭純收入 y（單位：千元）的數(shù)據(jù)如下表：,（Ⅰ）求 y 關(guān)于 t 的線性回歸方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回歸方程，分析 2007 年至 2013 年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測該地區(qū) 2015 年農(nóng)村居民家庭人均純收入． 附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：,,,

12、??,n,n 2,?,i ?1,t ? t,??ti ? t ?? yi ? y ?,? i,,,b ? i ?1， a? ? y ? b?t ．,第 5 頁共 15 頁,,,（20）（本小題滿分 12 分）設(shè)x2y2F1，F(xiàn)2 分別是橢圓 C：＋ ＝1（a＞b＞0）的左右焦點，M 是 C 上一點且a2b2MF2 與 x 軸垂直，直線 MF1 與 C 的另一個交點為 N．,3,（Ⅰ）若直線 MN 的斜率為 ，求

13、 C 的離心率；4（Ⅱ）若直線 MN 在 y 軸上的截距為 2，且|MN|＝5|F1N|，求 a，b．,,,,,（21）（本小題滿分 12 分） 已知函數(shù) f(x)＝ex-e-x-2x．（Ⅰ）討論 f(x)的單調(diào)性；（Ⅱ）設(shè) g(x)＝ f(2x)-4bf(x)，當(dāng) x＞0 時，g(x)＞0，求 b 的最大值；（Ⅲ）已知 1.4142＜ 2＜1.4143，估計 ln2 的近似值（精確到 0.001）．,第 6 頁共 15 頁

14、,E,B,P,,C,D,請考生在第 22、23、24 題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計 分。做答時請寫清題號。（22）（本小題滿分 10）選修 4—1：幾何證明選講如圖，P 是⊙O 外一點，PA 是切線，A 為切點，割線 PBC 與⊙O 相交于點 B，C， PC＝2PA，D 為 PC 的中點，AD 的延長線交⊙O 于點 E．證明：（Ⅰ）BE＝EC；（Ⅱ）AD·DE＝2PB2．AO,（23）（本小題滿

15、分 10）選修 4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系 xOy 中，以坐標(biāo)原點為極點，x 軸為極軸建立極坐標(biāo)系，半圓 C 的,π,,,,,極坐標(biāo)方程為ρ＝2cosθ，θ∈[0， ]．2（Ⅰ）求 C 的參數(shù)方程；（Ⅱ）設(shè)點 D 在 C 上，C 在 D 處的切線與直線 l：y＝ 3x＋2 垂直，根據(jù)（Ⅰ） 中你得到的參數(shù)方程，確定 D 的坐標(biāo)．,第 7 頁共 15 頁,第 8 頁共 15 頁,（24）（本小題滿分 10）選修 4—5

16、：不等式選講,1,設(shè)函數(shù) f(x)＝|x＋ |＋| x-a|（a＞0）．a(chǎn)（Ⅰ）證明：f(x)≥2；（Ⅱ）若 f(3)＜5，求 a 的取值范圍．,2014 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國 卷 II）理科數(shù)學(xué)試題參考答案,一、選擇題,（1）D,（2）A,（3）A,∵N＝{x|x2－3x＋2≤0}＝{x|1≤x≤2}，∴M∩N＝{1，2}，故選：D．z1＝2＋i 對應(yīng)的點的坐標(biāo)為（2，1），∵復(fù)數(shù) z1，z2 在復(fù)平面內(nèi)的

17、對應(yīng)點關(guān)于虛軸對稱，∴（2，1）關(guān)于虛軸對稱的點的坐標(biāo)為（－2，1），則對應(yīng)的復(fù)數(shù)，z2＝－2＋i，則 z1z2＝（2＋i）（－2＋i）＝i2－4＝－1－4＝－5，故選：A．∵|a＋b|＝10，|a－b|＝6，∴分別平方得 a2＋2a?b＋b2＝10，a2－2a?b＋b2＝6， 兩式相減得 4a?b＝10－6＝4，即 a?b＝1，故選：A．,（4）B,1,2,∵鈍角三角形 ABC 的面積是 ，,,,,,AB＝c＝1，BC＝a

18、＝ 2，,∴S＝ ac sinB＝ ，即 sinB＝,11 2,,,,,222,，,,,,,,,,,2,2①當(dāng) B 為鈍角時，cosB＝－ 1－sin2B＝－，,,,,,利用余弦定理得：AC2＝AB2＋BC2－2AB?BC?cosB＝1＋2＋2＝5，即 AC＝5，,,,,,,,,,2,2②當(dāng) B 為銳角時，cosB＝－ 1－sin2B＝，,,,,,（5）A,（6）C,利用余弦定理得：AC2＝AB2＋BC2－2AB?

19、BC?cosB＝1＋2－2＝1，即 AC＝1， 此時 AB2＋AC2＝BC2，即△ABC 為直角三角形，不合題意，舍去，則 AC＝ 5．故選：B．設(shè)隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率為 P，則有題意可得 0.75×P＝0.6，解得 P＝0.8，故選：A．幾何體是由兩個圓柱組成，一個是底面半徑為 3 高為 2，一個是,底面半徑為 2，高為 4，組合體體積是：32π?2＋22π?4＝34π．底面半徑為 3cm，高為 6cm

20、 的圓柱體毛坯的體積為：32π×6＝54π．,切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為：,,54?,,54?? 34?10,第 9 頁共 15 頁,＝ 27 ．故選：C．,,,1,（7）D若 x＝t＝2，則第一次循環(huán)，1≤2 成立，則 M＝ 1 ×2＝2，S＝2＋3＝5，,,2,k＝2，第二次循環(huán)，2≤2 成立，則 M＝ 2 ×2＝2，S＝2＋5＝7，k＝3，此時 3≤2 不成立，輸出 S＝7，故選：D

21、．,（8）D,,1,（9）B,y′＝a? x ? 1 ，∴y′(0)＝a－1＝2，∴a＝3．故答案選 D．作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如陰影部分 ABC． 由 z＝2x－y 得 y＝2x－z，平移直線 y＝2x－z，由圖象可知當(dāng)直線 y＝2x－z 經(jīng)過點 C 時， 直線 y＝2x－z 的截距最小，此時 z 最大．,?x ? y ? 7＝0?x＝5由?x ? 3y ? 1＝0 ，解得? y＝2 ，??即 C（5，2），代入

22、目標(biāo)函數(shù) z＝2x－y， 得 z＝2×5－2＝8．故選：B．,（10）D,,,,,∵直線 AB：y= ? 3 (x ? 3 )，34代入拋物線方程可得 4y2－12 3 y－9＝0， 設(shè) A（x1，y1），B（x2，y2），,,,則所求三角形面積 S＝ 1 × 3 ×,,,,,121 2,( y ? y ) ? 4 y y,,244,= 9 ，故選：D．,（11）C,以 C 為原點，CA

23、為 x 軸，CB 為 y 軸，CC1 為 z 軸建立空間向量坐標(biāo)系， 則設(shè) CA＝CB＝1，,,,,,,,則 B（0，1，0），M（ 1 ， 1 ，1），A（1，0，0），N（ 1 ，0，1），222∴ BM =（ 1 ，－ 1 ，1）， AN =（－ 1 ，0，1），222,,,,,BM ? AN,????? ????,,,,,,,34,?,,,30,第 10 頁共 15 頁,∴ cos BM , AN ? ?

24、???????? ?| BM | ? | AN |6 ? 51022,，故選：C．,（12）C,,∵ f ? x ? 的極值為?,3 ，,??,2,?0 ?,∴ ? f x ? ? 3 ，,,,,0,mm,∵ f ' (x ) ? ?? 3 cos ?x0 ? 0 ，,,,∴ ?x0 ? k?? ?, k ? z ，m2,,,,,,,0,m2m222,∴ x0 ? k ? 1 , k ? z

25、即| x0 |?| k ? 1 |? 1 ，∴| x |?| m | ，即,22,0,x0 ?[ f (x )] ?,,4,m2 ?,??,2,2,2,0,??,3，而已知 x0 ? ? f x ? ? m ，,,2,4,m2,∴ m ?? 3，故,,4,3m2,? 3 ，解得m ? 2 或m ? ?2 ，故選：C．,二、選擇題,,（13） 1,2,（14）1,（15）（－1，3）,（16）[－1，1],三、填空題,n?1,n

26、n?1,,n,,22,（17）（Ⅰ）由a＝3 a ＋1 得a＋ 1 ＝3( a ＋ 1 )。,,,1,又a1 ? 2 ? 2,,n,3 ，所以?a,1 ?,?,?,??,,3,22,是首項為，公比為 3 的等比數(shù)列。,,,1,22,3n,an ??,,2,3n ?1,，因此?an ? 的通項公式為an ?,。,,,2,n,（Ⅱ）由（Ⅰ）知 1 ?,a3n ?1,因為當(dāng)n ? 1時， 3n ?1 ? 2 ? 3

27、n ?1 ，所以,,,1,?,3n ?1,12 ? 3n ?1,。,,,,,,,1,2,12n,aaa3,3n?1,,于是 1 ? 1 ? ... ? 1 ? 1? 1 ? ... ?? 3 (1? 1,,3,3n )＜ 2 。,,,,,所以 1 ＋ 1 ＋…＋ 1 ＜ 3 。a1a2an2（18）（Ⅰ）連接 BD 交 AC 于點 O，連結(jié) EO。因為 ABCD 為矩形，所以 O 為 BD 的中點。 又 E

28、為 PD 的中點，所以 EO∥PB。EO ? 平面 AEC，PB ? 平面 AEC，所以 PB∥平面 AEC。（Ⅱ）因為 PA ? 平面 ABCD，ABCD 為矩形，所以 AB、AD、AP 兩兩垂直。,第 11 頁共 15 頁,E,,,,,,,,,,,D,C,P,A,,,O,y,z,Bx,,,????如圖，以 A 為坐標(biāo)原點， AB 的方向為 x 軸的正方向， AP 為單位長，建立,,,,,31,22,空間直角坐標(biāo)系 A ?

29、 xyz ，則 D（0， 3 ，0），E（0，，）， AE ＝（0，,,,,31,22,，）。,,,設(shè) B（m，0，0）（m＞0），則 C（m， 3 ，0）， AC ＝（m， 3 ，0）。,??n1 ? AC ? 0,??n1 ? AE ? 0,設(shè)n1 ＝（x，y，z）為平面 ACE 的法向量，則?????,，即,,,?mx ?3y ? 0,?,? 31y ?z ? 0,?,? 22,1,，可取n ＝（,,,3

30、 ，m,,－1， 3 ）。,又n2 ＝（1，0，0）為平面,DAE 的,法向量，由題設(shè),,,,,,,,12,cos n , n? 1 ，即2,,,,,,,,3,3 ? 4m22,? 1 ，,,3,解得m ?。2,,1,2,因為 E 為 PD 的中點，所以三棱錐 E ? ACD 的高為。三菱錐 E ? ACD 的體,,,,,,,,32228,積 V＝ 1 ? 1 ? 3 ? 3 ? 1 ?,3 。,（19）（Ⅰ）

31、由所給數(shù)據(jù)計算得,,,7,t ? 1 (1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4,,,7,y ? 1 (2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3,,7,1,?(t ? t)2 ＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28,,t ?17 ?(t1 ? t)( y1 ? y)t ?1＝( ? 3)×( ? 1.4)＋( ? 2)×( ? 1)＋( ? 1)×( ? 0.7)＋0×

32、0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×,第 12 頁共 15 頁,1.6＝14，,,,,7,7,2,1428,?(t1 ? t)( y1 ? y),?(t1 ? t)t ?1,b? ? t ?1?,? 0.5 ，,,,,,,,,,a? ? y ? b?t ? 4.3 ? 0.5? 4 ? 2.3 。所求回歸方程為?y ? 0.5t ? 2.3 。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b＝0

33、.5＞0，故 2007 年至 2013 年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐年增加，平均每年增加 0.5 千元。將 2015 年的年份代號 t＝9 帶入（I）中的回歸方程，得?y ? 0.5? 9 ? 2.3 ? 6.8 ，故預(yù)測該地區(qū) 2015 年農(nóng)村居民家庭人均純收入為 6.8 千元。（20）b2,2,（Ⅰ）根據(jù)c ?a2 ? b2 及題設(shè)知 M（c，）， 2b ? 3ac 。,,,,a將b2 ? a2 ? c2

34、 代入2b2 ? 3ac ，解得 c ? 1 ， c ? ?2 （舍去）。a2a,,1,2,故 C 的離心率為。,,,,,,,,,,（Ⅱ）由題意，原點O 為 F1F2 的中點， MF2 ∥ y 軸，所以直線MF1 與 y 軸的交點b2D（0，2）是線段MF1 的中點，故 a ? 4 ，即b2 ? 4a ①由 MN ? 5 F1N 得 DF1 ? 2 F1N 。設(shè) N（ x1 ， y1 ），由題意知 y1 ＜0，則,1

35、,1,?,??2 y ? 2,，即,,1,2,?2(?c ? x ) ? c?x ? ? 3 c,,?,?,??y1 ? ?1,,,代入 C 的方程，得4a2,b2,9c2 ? 1 ?,1。,,,,,,將①及c ?a2 ? b2 代入②得,,,4a2,第 13 頁共 15 頁,9(a2 ? 4a)1,?? 1， 4a,解得a ? 7 ， b2 ? 4a ? 28 ，,,,,,,,,,,,,,故a ? 7 ， b ? 2

36、7 。（21）（Ⅰ） f '(x) ＝ ex ? e? x ? 2 ? 0 ，等號僅當(dāng) x ? 0 時成立。 所以 f (x) 在（－∞，＋∞）單調(diào)遞增。（Ⅱ） g(x) ＝ f (2x) ? 4bf (x) ? e 2 x ? e ?2 x ? 4b(ex ? e ? x ) ? (8b ? 4)xg '(x) ＝ 2 ??e2 x ? e?2 x ? 2b(ex ? e? x ) ? (4b ? 2)??＝

37、 2(ex ? e? x ? 2)(ex ? e? x ? 2b ? 2)當(dāng)b ? 2 時， g '(x) ≥0，等號僅當(dāng) x ? 0 時成立，所以 g(x) 在（－∞，＋∞）單調(diào)遞增。而 g(0) ＝0，所以對任意 x＞0， g(x) ＞0；當(dāng) b＞2 時，若 x 滿足 2＜ ex ＋ e? x ＜2b－2，即 0＜x＜ln(b－1＋b2 ? 2b )時，g '(x) ＜0。而 g(0) ＝0，因此當(dāng) 0＜

38、x＜ln(b－1＋ b2 ? 2b )時， g(x) ＜0。 綜上，b 的最大值為 2。（Ⅲ）由（Ⅱ）知， g(ln2) ? 3 ? 2 2b ? 2(2b ?1) ln 2 。2,,,,,,12,當(dāng) b＝2 時， g(ln2) ? 3 ? 4 2 ? 6 ln 2 ＞0； ln 2 ＞ 8 2 ? 3 ＞0.6928；,,,,,,,,2當(dāng)b ? 3 2 ? 1時， ln(b ?1 ? b2 ? 2b) ? ln2

39、 ，4,,,,,2,g(ln2) ＝ ? 3 ? 2 2 ? (3 2 ? 2) ln 2 ＜0，,,,ln 2 ＜ 18 ?2 ＜0.6934，,28所以ln 2 的近似值為 0.693。,︵︵ 所以∠DAC＝∠BAD，從而BE＝EC。因此 BE＝EC。,（Ⅱ）由切割線定理得 PA2＝PB·PC。因為 PA＝PD＝DC，所以 DC＝2PB，BD＝PB。,E,B,P,（22）（Ⅰ）連結(jié) AB，AC。由題設(shè)知 P

40、A＝PD，故∠PAD＝∠PDA。 因為∠PDA＝∠DAC＋∠DCA∠PAD＝∠BAD＋∠PAB∠DCA＝∠PAB，A,,C,第 14 頁共 15 頁,D,O,由相交弦定理得 AD·DE＝BD·DC， 所以 AD·DE＝2PB2。（23）（Ⅰ）C 的普通方程為(x ?1)2 ? y2 ? 1(0 ? y ? 1) 。,? y ? sin t,可得 C 的參數(shù)方程為?x ? 1? cos t （t

41、 為參數(shù)， 0 ? t ? x ）。,,,?（Ⅱ）設(shè) D（1＋cos t，sin t）。由（Ⅰ）知 C 是以 G（1，0）為圓心，1 為半徑的上半圓。因為 C 在點 D 處的切線與 t 垂直，所以直線 GD 與 t 的斜率相同，tan t ?3 ， t ? ?。3,,,,3,,,3322,故 D 的直角坐標(biāo)為（1? cos ?， sin ?），即（，3 ）。,,,,,,,,,,（24）（Ⅰ）由 a＞0，有 f (

42、x) ? x ? 1 ? x ? a ? x ? 1 ? (x ? a ) ? 1 ? a ? 2 。aaa,,,,,,a,所以 f (x) ≥2。（Ⅱ） f (3) ? 3 ? 1 ? 3 ? a 。,,,,當(dāng)時 a＞3 時， f (3) ＝ a ? 1 ，由 f (3) ＜5 得 3＜a＜ 5 ?a2,21 。,,,,當(dāng) 0＜a≤3 時， f (3) ＝ 6 ? a ? 1 ，由 f (3) ＜5 得1? 5 ＜a≤3