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文檔簡介
1、2014 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試,理科數(shù)學(xué)(全國卷Ⅱ),6 月 7 日 15:00-17:00,注意事項:本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。答卷前,考生務(wù)必將自己的姓 名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上?;卮鸬冖窬頃r,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改 動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效?;卮鸬冖蚓頃r,將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。考試結(jié)束后,將本試卷
2、和答題卡一并交回。,第Ⅰ卷一.選擇題:本大題共 12 小題,每小題 5 分,在每小題給出的四個選項中,只有一 項是符合題目要求的。(1)設(shè)集合 M={0,1,2},N={x|x2-3x+2≤0},則 M∩N=()(A){1}(B){2}(C){0,1}(D){1,2}(2)設(shè)復(fù)數(shù) z1,z2 在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點關(guān)于虛軸對稱,z1=2+i,則 z1z2=,(,)(A)-5(B)5(C)-4+i,(D)-4-i,,,,
3、,,,,,),(3)設(shè)向量 a,b 滿足|a+b|= 10,|a-b|= 6,則 a·b=((A)1(B)2(C)3(D)5,1,,,,,(4)鈍角三角形 ABC 的面積是 ,AB=1,BC= 2,則 AC=( 2,),,,,,(A)5(B) 5(C)2(D)1某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明,一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是 0.75,連續(xù)兩 天為優(yōu)良的概率是 0.6,已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良,則隨后一天的空氣質(zhì)量為
4、 優(yōu)良的概率是()(A)0.8(B)0.75(C)0.6(D)0.45如圖,網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為 1(表示 1cm),圖中粗線畫出的是某零 件的三視圖,該零件由一個底面半徑為 3cm,高為 6cm 的圓柱體毛坯切削得 到,則切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為(),第 1 頁共 15 頁,姓名 準(zhǔn)考證號,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,開 始,輸入,M=1,S
5、=k=1,,k≤t,M,M=x kS=M+Sk=k+1,結(jié) 束,輸出 S,是,否,(A),17,27,(B),5,9,(C),10,27,(D),1,3,(7)執(zhí)行右圖程序框圖,如果輸入的 x,t 均為 2,則輸出的 S=,(A)4(B)5(C)6(D)7,),(8)設(shè)曲線 y=ax-ln(x+1)在點(0,0)處的切線方程為 y=2x,則 a=((A)0(B)1(C)2(D)3,(9)設(shè) x,,?,y 滿足約
6、束條件?,?,? x ? y ? 7≤0,?3x ? y ? 5≥0,x ? 3y ?1≤0 ,則,z=2x-y 的最大值為(,),(A)10(B)8(C)3(D)2(10)設(shè) F 為拋物線 C:y2=3x 的焦點,過 F 且傾斜角為 30°的直線交 C 于 A,B 兩 點,O 為坐標(biāo)原點,則△OAB 的面積為(),(A),,,,,3 39 3,,,,,(B)(C)(D),639,48324,,,,,
7、,,,,,,直三棱柱ABC-A1B1C1 中,∠BCA=90°,M,N 分別是 A1B1,A1C1 的中點,BC=CA=CC1,則 BM 與 AN 所成的角的余弦值為()(A設(shè)函數(shù) f(x)= 3sin πx.若存在 f(x)的極值點 x0 滿足 x02+[f(x0)]2<m2,則 mm的取值范圍是(),第 2 頁共 15 頁,第 3 頁共 15 頁,(A)(-∞,-6)∪(6,+∞)(C)(-∞,-2)∪
8、(2,+∞),(B)(-∞,-4)∪(4,+∞)(D)(-∞,-1)∪(1,+∞),第Ⅱ卷本卷包括必考題和選考題兩部分。第 13 題~第 21 題為必考題,每個試題考生必須做答。第 22 題~第 24 題為選考題,考生根據(jù)要求做答。二.填空題:本大題共 4 小題,每小題 5 分。(13)(x+a)10 的展開式中,x7 的系數(shù)為 15,則 a= .(用數(shù)字填寫答案)函數(shù) f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(
9、x+φ)的最大值為 .已知偶函數(shù) f(x)在[0,+∞)單調(diào)遞減,f(2)=0.若 f(x-1)>0,則 x 的取值范 圍是 .設(shè)點 M(x0,1),若在圓 O:x2+y2=1 上存在點 N,使得∠OMN=45°,則x0 的取值范圍是 .三.解答題:解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟。(17)(本小題滿分 12 分)已知數(shù)列{an}滿足 a1=1,an+1=3an+1.,1,(Ⅰ)證明{an+ }是等
10、比數(shù)列,并求{an}的通項公式;2,a1a2,1113,an2,(Ⅱ)證明:++…+< .,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,D,C,B,A,,,,,(18)(本小題滿分 12 分)如圖,四棱錐 P-ABCD 中,底面 ABCD 為矩形,PA⊥平面 ABCD,E 為 PD 的中 點.(Ⅰ)證明:PB∥平面 AEC;(Ⅱ)設(shè)二面角 D-AE-C 為 60°,AP=1,AD= 3,求三棱錐
11、 E-ACD 的體積.PE,第 4 頁共 15 頁,(19)(本小題滿分 12 分)某地區(qū) 2007 年至 2013 年農(nóng)村居民家庭純收入 y(單位:千元)的數(shù)據(jù)如下表:,(Ⅰ)求 y 關(guān)于 t 的線性回歸方程;(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回歸方程,分析 2007 年至 2013 年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況,并預(yù)測該地區(qū) 2015 年農(nóng)村居民家庭人均純收入. 附:回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為:,,,
12、??,n,n 2,?,i ?1,t ? t,??ti ? t ?? yi ? y ?,? i,,,b ? i ?1, a? ? y ? b?t .,第 5 頁共 15 頁,,,(20)(本小題滿分 12 分)設(shè)x2y2F1,F(xiàn)2 分別是橢圓 C:+ =1(a>b>0)的左右焦點,M 是 C 上一點且a2b2MF2 與 x 軸垂直,直線 MF1 與 C 的另一個交點為 N.,3,(Ⅰ)若直線 MN 的斜率為 ,求
13、 C 的離心率;4(Ⅱ)若直線 MN 在 y 軸上的截距為 2,且|MN|=5|F1N|,求 a,b.,,,,,(21)(本小題滿分 12 分) 已知函數(shù) f(x)=ex-e-x-2x.(Ⅰ)討論 f(x)的單調(diào)性;(Ⅱ)設(shè) g(x)= f(2x)-4bf(x),當(dāng) x>0 時,g(x)>0,求 b 的最大值;(Ⅲ)已知 1.4142< 2<1.4143,估計 ln2 的近似值(精確到 0.001).,第 6 頁共 15 頁
14、,E,B,P,,C,D,請考生在第 22、23、24 題中任選一題做答,如果多做,則按所做的第一題計 分。做答時請寫清題號。(22)(本小題滿分 10)選修 4—1:幾何證明選講如圖,P 是⊙O 外一點,PA 是切線,A 為切點,割線 PBC 與⊙O 相交于點 B,C, PC=2PA,D 為 PC 的中點,AD 的延長線交⊙O 于點 E.證明:(Ⅰ)BE=EC;(Ⅱ)AD·DE=2PB2.AO,(23)(本小題滿
15、分 10)選修 4—4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系 xOy 中,以坐標(biāo)原點為極點,x 軸為極軸建立極坐標(biāo)系,半圓 C 的,π,,,,,極坐標(biāo)方程為ρ=2cosθ,θ∈[0, ].2(Ⅰ)求 C 的參數(shù)方程;(Ⅱ)設(shè)點 D 在 C 上,C 在 D 處的切線與直線 l:y= 3x+2 垂直,根據(jù)(Ⅰ) 中你得到的參數(shù)方程,確定 D 的坐標(biāo).,第 7 頁共 15 頁,第 8 頁共 15 頁,(24)(本小題滿分 10)選修 4—5
16、:不等式選講,1,設(shè)函數(shù) f(x)=|x+ |+| x-a|(a>0).a(chǎn)(Ⅰ)證明:f(x)≥2;(Ⅱ)若 f(3)<5,求 a 的取值范圍.,2014 年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(全國 卷 II)理科數(shù)學(xué)試題參考答案,一、選擇題,(1)D,(2)A,(3)A,∵N={x|x2-3x+2≤0}={x|1≤x≤2},∴M∩N={1,2},故選:D.z1=2+i 對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(2,1),∵復(fù)數(shù) z1,z2 在復(fù)平面內(nèi)的
17、對應(yīng)點關(guān)于虛軸對稱,∴(2,1)關(guān)于虛軸對稱的點的坐標(biāo)為(-2,1),則對應(yīng)的復(fù)數(shù),z2=-2+i,則 z1z2=(2+i)(-2+i)=i2-4=-1-4=-5,故選:A.∵|a+b|=10,|a-b|=6,∴分別平方得 a2+2a?b+b2=10,a2-2a?b+b2=6, 兩式相減得 4a?b=10-6=4,即 a?b=1,故選:A.,(4)B,1,2,∵鈍角三角形 ABC 的面積是 ,,,,,,AB=c=1,BC=a
18、= 2,,∴S= ac sinB= ,即 sinB=,11 2,,,,,222,,,,,,,,,,,2,2①當(dāng) B 為鈍角時,cosB=- 1-sin2B=-,,,,,,利用余弦定理得:AC2=AB2+BC2-2AB?BC?cosB=1+2+2=5,即 AC=5,,,,,,,,,,2,2②當(dāng) B 為銳角時,cosB=- 1-sin2B=,,,,,,(5)A,(6)C,利用余弦定理得:AC2=AB2+BC2-2AB?
19、BC?cosB=1+2-2=1,即 AC=1, 此時 AB2+AC2=BC2,即△ABC 為直角三角形,不合題意,舍去,則 AC= 5.故選:B.設(shè)隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率為 P,則有題意可得 0.75×P=0.6,解得 P=0.8,故選:A.幾何體是由兩個圓柱組成,一個是底面半徑為 3 高為 2,一個是,底面半徑為 2,高為 4,組合體體積是:32π?2+22π?4=34π.底面半徑為 3cm,高為 6cm
20、 的圓柱體毛坯的體積為:32π×6=54π.,切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為:,,54?,,54?? 34?10,第 9 頁共 15 頁,= 27 .故選:C.,,,1,(7)D若 x=t=2,則第一次循環(huán),1≤2 成立,則 M= 1 ×2=2,S=2+3=5,,,2,k=2,第二次循環(huán),2≤2 成立,則 M= 2 ×2=2,S=2+5=7,k=3,此時 3≤2 不成立,輸出 S=7,故選:D
21、.,(8)D,,1,(9)B,y′=a? x ? 1 ,∴y′(0)=a-1=2,∴a=3.故答案選 D.作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如陰影部分 ABC. 由 z=2x-y 得 y=2x-z,平移直線 y=2x-z,由圖象可知當(dāng)直線 y=2x-z 經(jīng)過點 C 時, 直線 y=2x-z 的截距最小,此時 z 最大.,?x ? y ? 7=0?x=5由?x ? 3y ? 1=0 ,解得? y=2 ,??即 C(5,2),代入
22、目標(biāo)函數(shù) z=2x-y, 得 z=2×5-2=8.故選:B.,(10)D,,,,,∵直線 AB:y= ? 3 (x ? 3 ),34代入拋物線方程可得 4y2-12 3 y-9=0, 設(shè) A(x1,y1),B(x2,y2),,,,則所求三角形面積 S= 1 × 3 ×,,,,,121 2,( y ? y ) ? 4 y y,,244,= 9 ,故選:D.,(11)C,以 C 為原點,CA
23、為 x 軸,CB 為 y 軸,CC1 為 z 軸建立空間向量坐標(biāo)系, 則設(shè) CA=CB=1,,,,,,,,則 B(0,1,0),M( 1 , 1 ,1),A(1,0,0),N( 1 ,0,1),222∴ BM =( 1 ,- 1 ,1), AN =(- 1 ,0,1),222,,,,,BM ? AN,????? ????,,,,,,,34,?,,,30,第 10 頁共 15 頁,∴ cos BM , AN ? ?
24、???????? ?| BM | ? | AN |6 ? 51022,,故選:C.,(12)C,,∵ f ? x ? 的極值為?,3 ,,??,2,?0 ?,∴ ? f x ? ? 3 ,,,,,0,mm,∵ f ' (x ) ? ?? 3 cos ?x0 ? 0 ,,,,∴ ?x0 ? k?? ?, k ? z ,m2,,,,,,,0,m2m222,∴ x0 ? k ? 1 , k ? z
25、即| x0 |?| k ? 1 |? 1 ,∴| x |?| m | ,即,22,0,x0 ?[ f (x )] ?,,4,m2 ?,??,2,2,2,0,??,3,而已知 x0 ? ? f x ? ? m ,,,2,4,m2,∴ m ?? 3,故,,4,3m2,? 3 ,解得m ? 2 或m ? ?2 ,故選:C.,二、選擇題,,(13) 1,2,(14)1,(15)(-1,3),(16)[-1,1],三、填空題,n?1,n
26、n?1,,n,,22,(17)(Ⅰ)由a=3 a +1 得a+ 1 =3( a + 1 )。,,,1,又a1 ? 2 ? 2,,n,3 ,所以?a,1 ?,?,?,??,,3,22,是首項為,公比為 3 的等比數(shù)列。,,,1,22,3n,an ??,,2,3n ?1,,因此?an ? 的通項公式為an ?,。,,,2,n,(Ⅱ)由(Ⅰ)知 1 ?,a3n ?1,因為當(dāng)n ? 1時, 3n ?1 ? 2 ? 3
27、n ?1 ,所以,,,1,?,3n ?1,12 ? 3n ?1,。,,,,,,,1,2,12n,aaa3,3n?1,,于是 1 ? 1 ? ... ? 1 ? 1? 1 ? ... ?? 3 (1? 1,,3,3n )< 2 。,,,,,所以 1 + 1 +…+ 1 < 3 。a1a2an2(18)(Ⅰ)連接 BD 交 AC 于點 O,連結(jié) EO。因為 ABCD 為矩形,所以 O 為 BD 的中點。 又 E
28、為 PD 的中點,所以 EO∥PB。EO ? 平面 AEC,PB ? 平面 AEC,所以 PB∥平面 AEC。(Ⅱ)因為 PA ? 平面 ABCD,ABCD 為矩形,所以 AB、AD、AP 兩兩垂直。,第 11 頁共 15 頁,E,,,,,,,,,,,D,C,P,A,,,O,y,z,Bx,,,????如圖,以 A 為坐標(biāo)原點, AB 的方向為 x 軸的正方向, AP 為單位長,建立,,,,,31,22,空間直角坐標(biāo)系 A ?
29、 xyz ,則 D(0, 3 ,0),E(0,,), AE =(0,,,,,31,22,,)。,,,設(shè) B(m,0,0)(m>0),則 C(m, 3 ,0), AC =(m, 3 ,0)。,??n1 ? AC ? 0,??n1 ? AE ? 0,設(shè)n1 =(x,y,z)為平面 ACE 的法向量,則?????,,即,,,?mx ?3y ? 0,?,? 31y ?z ? 0,?,? 22,1,,可取n =(,,,3
30、 ,m,,-1, 3 )。,又n2 =(1,0,0)為平面,DAE 的,法向量,由題設(shè),,,,,,,,12,cos n , n? 1 ,即2,,,,,,,,3,3 ? 4m22,? 1 ,,,3,解得m ?。2,,1,2,因為 E 為 PD 的中點,所以三棱錐 E ? ACD 的高為。三菱錐 E ? ACD 的體,,,,,,,,32228,積 V= 1 ? 1 ? 3 ? 3 ? 1 ?,3 。,(19)(Ⅰ)
31、由所給數(shù)據(jù)計算得,,,7,t ? 1 (1+2+3+4+5+6+7)=4,,,7,y ? 1 (2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3,,7,1,?(t ? t)2 =9+4+1+0+1+4+9=28,,t ?17 ?(t1 ? t)( y1 ? y)t ?1=( ? 3)×( ? 1.4)+( ? 2)×( ? 1)+( ? 1)×( ? 0.7)+0×
32、0.1+1×0.5+2×0.9+3×,第 12 頁共 15 頁,1.6=14,,,,,7,7,2,1428,?(t1 ? t)( y1 ? y),?(t1 ? t)t ?1,b? ? t ?1?,? 0.5 ,,,,,,,,,,a? ? y ? b?t ? 4.3 ? 0.5? 4 ? 2.3 。所求回歸方程為?y ? 0.5t ? 2.3 。(Ⅱ)由(Ⅰ)知,b=0
33、.5>0,故 2007 年至 2013 年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐年增加,平均每年增加 0.5 千元。將 2015 年的年份代號 t=9 帶入(I)中的回歸方程,得?y ? 0.5? 9 ? 2.3 ? 6.8 ,故預(yù)測該地區(qū) 2015 年農(nóng)村居民家庭人均純收入為 6.8 千元。(20)b2,2,(Ⅰ)根據(jù)c ?a2 ? b2 及題設(shè)知 M(c,), 2b ? 3ac 。,,,,a將b2 ? a2 ? c2
34、 代入2b2 ? 3ac ,解得 c ? 1 , c ? ?2 (舍去)。a2a,,1,2,故 C 的離心率為。,,,,,,,,,,(Ⅱ)由題意,原點O 為 F1F2 的中點, MF2 ∥ y 軸,所以直線MF1 與 y 軸的交點b2D(0,2)是線段MF1 的中點,故 a ? 4 ,即b2 ? 4a ①由 MN ? 5 F1N 得 DF1 ? 2 F1N 。設(shè) N( x1 , y1 ),由題意知 y1 <0,則,1
35、,1,?,??2 y ? 2,,即,,1,2,?2(?c ? x ) ? c?x ? ? 3 c,,?,?,??y1 ? ?1,,,代入 C 的方程,得4a2,b2,9c2 ? 1 ?,1。,,,,,,將①及c ?a2 ? b2 代入②得,,,4a2,第 13 頁共 15 頁,9(a2 ? 4a)1,?? 1, 4a,解得a ? 7 , b2 ? 4a ? 28 ,,,,,,,,,,,,,,故a ? 7 , b ? 2
36、7 。(21)(Ⅰ) f '(x) = ex ? e? x ? 2 ? 0 ,等號僅當(dāng) x ? 0 時成立。 所以 f (x) 在(-∞,+∞)單調(diào)遞增。(Ⅱ) g(x) = f (2x) ? 4bf (x) ? e 2 x ? e ?2 x ? 4b(ex ? e ? x ) ? (8b ? 4)xg '(x) = 2 ??e2 x ? e?2 x ? 2b(ex ? e? x ) ? (4b ? 2)??=
37、 2(ex ? e? x ? 2)(ex ? e? x ? 2b ? 2)當(dāng)b ? 2 時, g '(x) ≥0,等號僅當(dāng) x ? 0 時成立,所以 g(x) 在(-∞,+∞)單調(diào)遞增。而 g(0) =0,所以對任意 x>0, g(x) >0;當(dāng) b>2 時,若 x 滿足 2< ex + e? x <2b-2,即 0<x<ln(b-1+b2 ? 2b )時,g '(x) <0。而 g(0) =0,因此當(dāng) 0<
38、x<ln(b-1+ b2 ? 2b )時, g(x) <0。 綜上,b 的最大值為 2。(Ⅲ)由(Ⅱ)知, g(ln2) ? 3 ? 2 2b ? 2(2b ?1) ln 2 。2,,,,,,12,當(dāng) b=2 時, g(ln2) ? 3 ? 4 2 ? 6 ln 2 >0; ln 2 > 8 2 ? 3 >0.6928;,,,,,,,,2當(dāng)b ? 3 2 ? 1時, ln(b ?1 ? b2 ? 2b) ? ln2
39、 ,4,,,,,2,g(ln2) = ? 3 ? 2 2 ? (3 2 ? 2) ln 2 <0,,,,ln 2 < 18 ?2 <0.6934,,28所以ln 2 的近似值為 0.693。,︵︵ 所以∠DAC=∠BAD,從而BE=EC。因此 BE=EC。,(Ⅱ)由切割線定理得 PA2=PB·PC。因為 PA=PD=DC,所以 DC=2PB,BD=PB。,E,B,P,(22)(Ⅰ)連結(jié) AB,AC。由題設(shè)知 P
40、A=PD,故∠PAD=∠PDA。 因為∠PDA=∠DAC+∠DCA∠PAD=∠BAD+∠PAB∠DCA=∠PAB,A,,C,第 14 頁共 15 頁,D,O,由相交弦定理得 AD·DE=BD·DC, 所以 AD·DE=2PB2。(23)(Ⅰ)C 的普通方程為(x ?1)2 ? y2 ? 1(0 ? y ? 1) 。,? y ? sin t,可得 C 的參數(shù)方程為?x ? 1? cos t (t
41、 為參數(shù), 0 ? t ? x )。,,,?(Ⅱ)設(shè) D(1+cos t,sin t)。由(Ⅰ)知 C 是以 G(1,0)為圓心,1 為半徑的上半圓。因為 C 在點 D 處的切線與 t 垂直,所以直線 GD 與 t 的斜率相同,tan t ?3 , t ? ?。3,,,,3,,,3322,故 D 的直角坐標(biāo)為(1? cos ?, sin ?),即(,3 )。,,,,,,,,,,(24)(Ⅰ)由 a>0,有 f (
42、x) ? x ? 1 ? x ? a ? x ? 1 ? (x ? a ) ? 1 ? a ? 2 。aaa,,,,,,a,所以 f (x) ≥2。(Ⅱ) f (3) ? 3 ? 1 ? 3 ? a 。,,,,當(dāng)時 a>3 時, f (3) = a ? 1 ,由 f (3) <5 得 3<a< 5 ?a2,21 。,,,,當(dāng) 0<a≤3 時, f (3) = 6 ? a ? 1 ,由 f (3) <5 得1? 5 <a≤3
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