非線性方程的迭代與Adomian級數(shù)解法.pdf

1、非線性問題在現(xiàn)代科學計算中占有相當重要的地位,由實際問題經(jīng)過數(shù)學模型化后導出的方程(組)往往是非線性的,因此如何更好的合理解決這些非線性方程(組)在近幾十年來成為一個非常熱門的研究課題。文章研究的主要內容是解非線性方程(組)的迭代法和Adomian級數(shù)法,全文共分為四章。 在第一章中,主要介紹了非線性問題與迭代法研究的背景和歷史。對全文經(jīng)常用到的幾個概念作了交代。由于構造迭代法的一個重要手段是通過幾何途徑或者結合使用多步法的技巧

2、,所以本章著重對由此方法構造的一些比較重要的方法作了介紹。 在第二章中,介紹了基于單點信息的迭代族構造方法,也就是構造一個迭代法只用到在一點處的函數(shù)或者導數(shù)信息。先通過對一般的二次曲線近似代替函數(shù)f與x軸交點作為下一步的迭代值構造一含參數(shù)的無理迭代族,再通過近似處理將無理迭代族轉化為相應的有理迭代族。給出了相應的收斂性分析以證明新構造的無理與有理迭代族均為三階收斂的。由于在用二次函數(shù)逼近非線性函數(shù)f構造迭代法時要進行開方運算,這

3、有時是不方便的,為了避免對根式的計算,在構造迭代法時先對二次方程進行線性化處理,由此構造出一種新型的有理迭代族。通過收斂性分析可知,此迭代族也是三階收斂的。以上構造的有理迭代格式中均含有對f"的計算,為了避免對函數(shù)二階導數(shù)的運算,文中分別用了兩種方法對此進行了近似處理。最后在數(shù)值例子中分別對迭代族中參數(shù)取固定常數(shù)與每步自動調整與以往的經(jīng)典方法進行了比較。當采用參數(shù)每步自動調整的方法時,在不增加額外函數(shù)與導數(shù)值計算的前提下,有較好的收斂效

4、果。 在第三章中,介紹了基于兩點信息的迭代族構造方法,也就是構造一個迭代法要用到在兩個點處的函數(shù)或者導數(shù)信息。其中用以逼近函數(shù)f的函數(shù)分別取了拋物線和有理函數(shù),即用拋物線或有理函數(shù)與x軸的交點作為下一步的迭代值。當用拋物線法構造時,導出了相應的無理與有理迭代族。當用有理函數(shù)法構造時,導出了相應的有理迭代族。通過收斂性分析證明了上面兩種方法導出的迭代族均可達到五階收斂。由于在以上兩種有理迭代族中均要對f'(zn)進行計算,其中zn

5、是相應迭代的牛頓步,為了避免對f'(zn)的計算以減少每步迭代所需的開支,文中利用了在兩點處的差商代替導數(shù)的技巧,在差商代替時如果選擇適當?shù)膮?shù),則可使相應免f1(zn)計算的迭代族為四階收斂。在最后給出了相應的數(shù)值例子,與以往的經(jīng)典方法進行了比較,以說明新構造的迭代族的有效性。在第四章中,主要討論了Adomian級數(shù)法在構造迭代法時的一些結論。Adomian級數(shù)法是美國數(shù)學家G.Adomian在80年代初提出的用以解決非線性問題的一種