發(fā)展方程的高精度有限元方法研究.pdf

1、本文主要針對幾類發(fā)展方程(諸如非線性Schr¨odinger方程、Benjamin-Bona-Mahony(BBM)方程、非定常不可壓縮Navier-Stokes方程、Cahn-Hilliard(CH)方程以及對流占優(yōu)擴散方程),分別從非協調有限元方法、協調和非協調混合元方法出發(fā),對其收斂性、超逼近和超收斂等進行了深入系統(tǒng)的研究。
　　本研究首先將一個非協調四邊形單元(改進類 Wilson元)運用于求解非線性 Schr-¨odin

2、ger方程.通過該單元相容誤差在能量模意義下可以達到 O(h3)階,比其插值誤差高兩階這一特殊性質,對于半離散以及兩種全離散格式(Backward-Euler(B-E)和Crank-Nicolson(C-N)格式),在廣義矩形網格下導出了最優(yōu)誤差估計和超逼近性質.進一步地,通過插值后處理技術,在矩形網格下得到了整體超收斂結果。最后給出數值算例來驗證理論的正確性和方法的有效性。其次,研究了BBM方程的低階非協調有限元方法及混合元新格式.一

3、方面,利用EQrot1元的兩個特殊性質(插值算子等價于Ritz投影算子,且相容誤差為O(h2)階,比插值誤差高一階),分別在半離散和兩種全離散格式(B-E和C-N格式)下導出其能量模意義下的超逼近和整體超收斂結果.另一方面,對該方程構造一種新的非協調混合元格式,借助于零階Raviart-Thomas(R-T)元的高精度特性,同樣在半離散以及全離散格式下得到了相關變量的超逼近和超收斂結果,并給出數值例子檢驗理論分析的正確性。再次,針對非定

4、常不可壓縮Navier-Stokes方程提出了一個低階非協調混合元方法.運用帶約束的旋轉Q1(CQrot1)元以及分片常數(Q0)元分別逼近速度?u和壓力p,并得到了能量模下?u以及L2模下p的超逼近和超收斂結果.同時還進行了數值實驗,所得數值結果與理論分析相吻合。而后,對CH方程建立一個新的非協調混合元分析框架.利用一類非協調元的特殊性質(相容誤差為O(h2)階,比插值誤差高一階)和插值后處理技術,分別在半離散和B-E全離散格式下得到