廣義逆逆序律與Drazin逆的研究.pdf

1、廣義逆是上世紀矩陣理論中的一項極為重要的新發(fā)現(xiàn)，特別是自1950年以來，廣義逆矩陣理論和計算方法的研究取得了長足的發(fā)展，并在數(shù)理統(tǒng)計、數(shù)學規(guī)劃、計量經濟、數(shù)值分析、博弈論、控制論和網絡理論等領域得到了不同程度的應用。隨著廣義逆的不斷發(fā)展，又產生了Drazin逆等其他廣義逆，矩陣Drazin逆在許多領域中都有著非常廣泛的應用，如奇異的微分方程，奇異的差分方程，算子理論，Markov鏈，密碼學，迭代法等方面。根據(jù)廣義逆的類型，本文的研究內容

2、可分為兩部分。第一部分是關于Moore-Penrose逆及其衍生出來的廣義逆的研究，包括廣義逆逆序律、公共最小二乘解、偏序等內容；第二部分是關于Drazin逆的研究，包括矩陣之和的Drazin逆、修正矩陣的Drazin逆以及分塊矩陣的Drazin逆。具體結構安排如下。
　　 在第2章，我們研究了多個矩陣乘積的{1，2，3}-逆和{1，2，4}-逆的普通逆序律，基于{2}-逆的一個秩等式，證明了An{1，2，i}…A2{1，2，i

3、}A1{1，2，i}()(A1A2…An){1，2，i}和An{1，2，i}…A2{1，2，i}A1{1，2，i}=(A1A2…An){1，2，i}的等價性，徹底解決了關于這兩種逆序律的遺留問題。
　　 第3章，利用廣義Schur補極秩的有關結論，研究了兩個矩陣乘積的{1，2，i)-逆(i=3，4)的混合型逆序律，得到了以下幾種關系成立的充要條件
　　 {(A(1，2，3)AB)(1，2，3)A(1，2，3)}())=)

4、{(AB)(1，2，3)}
　　 {B(1，2，3)(ABB(1，2，3))(1，2，3)}={(AB)(1，2，3)}
　　 {B(1，2，4)(ABB(1，2，4))(1，2，4)}()(=){(AB)(1，2，4)}
　　 {(A(1，2，4)AB)(1，2，4)A(1，2，4)}={(AB)(1，2，4)}
　　 第4章，首先給出了矩陣方程A1XB1=C1和A2XB2=C2存在公共最小二乘解的充要

5、條件，和其公共最小二乘解的表達式。其次，根據(jù)這些結論研究了矩陣方程AXB=C存在Hermitian最小二乘解的條件及其解的表示形式。最后，給出了Hermitian最小二乘廣義逆和Hermitian最小范數(shù)廣義逆的存在定理及其表達式。
　　 第5章，考慮了矩陣P+Q的Drazin逆，得到了其在條件PQP=O和PQ2=0(或QPQ=0和P2Q=0)下(P+Q)D的表達式。另外，也考慮了一種特殊情形下的修正矩陣的Drazin逆，即，當

6、A為冪等矩陣時，A-CB的Drazin逆。根據(jù)得到的P+Q的Drazin逆的結論。
　　 第6章，我們研究了2×2分塊矩陣的Drazin逆，在更弱條件下，得到了此分塊矩陣的Drazin逆的表達式，改進了部分已有的結論；同時也研究了反三角矩陣的群逆和Drazin逆。
　　 第7章，我們主要研究行分塊和列分塊矩陣的偏序，即，偏序關系4