圖像表示的若干問題研究.pdf

1、圖像表示是圖像處理和計算機視覺領域的重要研究課題之一。有效的數學工具與圖像表示緊密相連。目前稀疏表示、變分方法和偏微分方程(PDE)在圖像處理的各個研究領域占據著主導地位，其理論已日趨成熟，但仍有很多未解決的問題和新的研究方向。本文以圖像處理為背景，以圖像表示的數學工具為主線(稀疏表示，Radon域表示，圖像的局部與非局部刻畫，四元數域刻畫)，對相關領域的若干關鍵問題進行了探討。首先，探索了基于字典學習的稀疏表示方法，我們建立了多任務，

2、多字典學習模型；其次，在一個一般的兩步冪零Lie群上給出了逆Radon變換的一個特征子空間；第三，基于圖像的局部與非局部刻畫，提出了兩種新的變分模型；最后，討論了四元數小波理論(包括連續(xù)小波與離散小波)和四元數PDE及其在彩色圖像處理中的應用。
　　 本文的主要創(chuàng)新性研究成果有以下幾個方面：
　　 1.圍繞多字典學習方法，系統地提出了多字典學習的圖像處理和分解方法。具體包括空間引導的多字典學習，不相關約束的多字典學習，伴

3、隨字典的多字典學習。提出了多字典和結構稀疏表示的基因數據識別方法。
　　 2.第一類典型域的無界實現為Siegel域，其Silov邊界是一般的兩步冪零Lie群。我們在這個一般的兩步冪零Lie群上，定義了一個特征子空間，證明了Radon變換在這個特征子空間上是雙射；其次，定義了一個具有衰減性的函數子空間，證明了兩個子空間的等價性，表明了特征子空間元素的衰減性。最后，結合小波變換，給出Radon變換在弱意義下的反演公式。
　　

4、 3.基于圖像的局部與非局部刻畫，提出了兩種新的變分模型和相應的算法。基于局部刻畫，提出了一般的L1投影模型及分裂Bregman算法，從理論上證明了提出算法的收斂性?；诜蔷植靠坍?，從算子特征向量展開的觀點分析了圖像噪聲的抑制原理，給出了新的模型和算法。一系列的實驗結果驗證了兩個模型和提出算法的有效性。
　　 4.從平方可積群表示論的觀點，在平方可積的四元數值函數空間L2(R2，H；dx)上，通過定義實值內積，給出容許條件的特

5、征，建立了L2(R2，H；dx)上的連續(xù)小波變換的Parseval等式及反方程。與經典連續(xù)小波(復數域)不同，此時Parseval等式的成立需要附加條件。運用四元數與某類復矩陣的對應關系，給出四元數濾波器的構造，使用彩色圖像的四元數表示，提出彩色圖像的四元數小波分解和重構算法，并給出數值實驗。
　　 5.基于四元數代數，提出了兩類四元數擴散方程。先討論了一般的彩色圖像的四元數域擴散方程，在此基礎上，給出了利用四元數運算性質的顏色