基于μ基的曲面隱式化、參數(shù)化和奇異點(diǎn)計(jì)算.pdf

1、在計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)(Computer Aided Geometric Design，CAGD)中，曲線和曲面有兩種基本的表示方法：參數(shù)形式與隱式形式。這兩種表示方式在實(shí)際應(yīng)用中有著各自的優(yōu)缺點(diǎn)，例如：參數(shù)形式在圖形的繪制上很有優(yōu)勢(shì)，且得到的曲線曲面易于調(diào)控，這點(diǎn)在工業(yè)設(shè)計(jì)中十分重要。另一方面，隱式形式易于判斷空間其它點(diǎn)與這個(gè)曲線(面)的位置關(guān)系。如果我們同時(shí)擁有這兩種表現(xiàn)形式，將對(duì)曲線(面)求交等其它應(yīng)用很有意義。
　　 在幾

2、何造型領(lǐng)域，人們通常會(huì)根據(jù)具體的問(wèn)題選擇其中一種表示方法，因此曲線(面)的這兩種表示形式之間的相互轉(zhuǎn)換成為人們所關(guān)心的問(wèn)題，即參數(shù)形式的隱式化和隱式形式的參數(shù)化問(wèn)題。在理論上已經(jīng)證明了任何參數(shù)表示的有理曲線(面)都一定可以轉(zhuǎn)化為隱式表示，但是反過(guò)來(lái)并不總是成立。常見(jiàn)的隱式化方法有結(jié)式方法、Groebner基方法、吳方法、插值方法等。但這些方法在有效性、通用性、計(jì)算復(fù)雜度方面有著各自的局限。而由Sederberg，陳發(fā)來(lái)等人提出的動(dòng)曲線(

3、曲面)方法以及從它發(fā)展起來(lái)的μ基理論在有效性、通用性、和計(jì)算復(fù)雜度等方面顯示了相當(dāng)?shù)膬?yōu)勢(shì)，且其可以作為聯(lián)系兩種形式的橋梁，方便地得到兩種形式(如果可以參數(shù)化)。
　　 本文將在已有的研究結(jié)果的基礎(chǔ)上，以計(jì)算代數(shù)幾何與動(dòng)曲面方法為研究工具，對(duì)低次曲面的隱式化和參數(shù)化進(jìn)行研究，并給出了有理參數(shù)曲面上奇異點(diǎn)的計(jì)算方法。最后討論了一般的張量積曲面隱式化的通用框架。
　　 在第二章中，我們討論了曲面上奇異點(diǎn)的階數(shù)和動(dòng)平面的關(guān)系，為

4、我們后面幾章中計(jì)算低次曲面上的奇異點(diǎn)提供了基礎(chǔ)。同時(shí)，我們也給出了一般有理參數(shù)曲面上的奇異點(diǎn)的計(jì)算方法。
　　 在第三章和第四章，我們系統(tǒng)地研究了參數(shù)二次曲面的隱式化和參數(shù)化，及其上奇異點(diǎn)的計(jì)算方法。而聯(lián)系這些內(nèi)容的關(guān)鍵是關(guān)于參數(shù)變?cè)且淮蔚膭?dòng)平面(或弱μ基)。從參數(shù)形式，我們可以易得其弱弘基，有了弱弘基，我們可以輕松地得到隱式方程。并且從弱μ基出發(fā)，可以簡(jiǎn)單地得到曲面的逆公式和曲面奇異點(diǎn)的計(jì)算。反過(guò)來(lái)，從曲面的隱式形式出發(fā)，通