凸函數及其應用畢業(yè)論文

1、<p><b>　　凸函數及其應用</b></p><p><b>　　目 錄</b></p><p><b>　　摘要I</b></p><p>　　AbstractII</p><p><b>　　第一章 緒論1</b></p&

2、gt;<p>　　1.1凸函數的產生1</p><p>　　1.2凸函數的發(fā)展1</p><p>　　第二章 凸函數的定義及判定2</p><p>　　2.1 凸函數的國際定義2</p><p>　　2.2 凸函數的幾何意義2</p><p>　　2.3 凸函數的判定3</p>

3、<p>　　第三章 凸函數的定義及性質的應用4</p><p>　　3.1凸函數定義的應用4</p><p>　　3.2凸函數的性質6</p><p>　　3.3凸函數性質的應用7</p><p><b>　　第四章 結論8</b></p><p><b>　　參考文

4、獻9</b></p><p><b>　　致謝10</b></p><p><b>　　附錄11</b></p><p><b>　　摘要</b></p><p>　　凸函數是一種具有特殊性質的函數，在函數的研究領域中占有十分重要的地位.到目前為止，凸函數的研

5、究已經從定義的研究到凸性的研究，再到凸性應用的方面的研究.對函數凹凸性的研究，在數學分析的多個分支都有用處.特別是在函數圖形的描繪和不等式的推導方面，凸函數起著十分重要的作用.凸函數有其獨特的良好性質，由于凸函數理論的廣泛性，及其在數學各個領域都有廣泛的應用.因此，對凸函數的理論進一步深入地研究和推廣，就顯得尤為重要.</p><p>　　凸函數作為數學分析中一類特殊的函數，在實際課本中一般只介紹其定義以及判定，

6、然而它在證明不等式中具有得天獨厚的功用，卻極少涉及.所以，探討一些凸函數性質，并且利用這些性質證明一些初等數學無法證明的不等式，用以說明凸函數在不等式中的應用，是十分重要的.而且凸函數與一搬函數之間已有著千絲萬縷的聯系，利用其解決一般函數的相關問題也有著事半功倍的效果.</p><p>　　關鍵詞： 凸函數 性質 不等式 應用</p><p><b>　　Abstract<

7、/b></p><p>　　The convex function is a special kind of function, occupies a very important position in the research field of function. So far, research of convex function from to the convexity of the st

8、udy definition, research and then to convex applications. Research on the concavity and convexity of functions, are useful in a branch of mathematical analysis. Especially in the derived function of graphic descriptions

9、and inequality, convex function plays a very important role. It has good properties of co</p><p>　　Convex function is a kind of special function in mathematical analysis, in the actual text generally introdu

10、ces its definition and judgment, however it has be richly endowed by nature function in proving inequalities, but rarely involved. Therefore, summarizes some of the properties of convex function, inequality and use these

11、 properties to prove some elementary mathematics cannot prove, in order to explain application of convex function in inequality, is very important. And the convex function </p><p>　　Keywords: Convex functio

12、n Property Inequality Application</p><p><b>　　第一章 緒論</b></p><p>　　1.1 凸函數的產生</p><p>　　凸函數是一類重要的函數，它的概念源于Jensen著述[1905]中，在Jensen著述中是這樣介紹凸函數的：若函數滿足定義域上任意兩個數都有，則稱為凸函數.

13、凸函數的產生不僅給人們帶來</p><p>　　了一種新的研究函數的工具,也為函數這個“大家族”增枝散葉，隨著凸函數的出現人們對函數這個概念又多了一絲陌生感，也引起人們“認識”它的欲望.在Jensen定義凸函數后，有不少的數學家對凸函數進行了研究，其中就有閔科夫斯基和杜克等人.</p><p><b>　　1.2凸函數的發(fā)展</b></p><p&

14、gt;　　凸函數的研究起源于丹麥數學家約翰.詹森(Jensen)和愛因斯坦在瑞士的數學老師閔科夫斯基對凸函數的研究，但那是人們對凸函數并不看好，真正引起人們廣泛重視的是40-50年代馮.諾伊曼和杜克等人對策論和數學規(guī)劃的研究，由于這方面的需要，從50年代初到六十年代末人們對凸函數進行了大量的研究.60年代中期產生了凸分析.從此以后，關于凸函數的研究大多數都是圍繞凸分析所展開的.我國的數學愛好者對凸函數的研究也有涉及，其中的代表人物有張曉

15、明、劉光中和胡克等人，他們的研究成果多數是以教材的形式所展示，而且對凸函數的定義也不盡相同.譬如，同濟大學高等代數教材對凸函數所下定義與國際相反，國際定義的凸函數是指上方圖是凸集，而同濟大學高等代數數學教材則是指其下方圖是凸集，兩者定義剛好相反.由于人的求知欲是無限的和科技的不斷發(fā)展，人們對凸函數的研究還會更上一層樓.</p><p>　　第二章 凸函數的定義及判定</p><p>　　2

16、.1 凸函數的國際定義</p><p>　　由于目前對凸函數的理論研究是十分豐富的，而且對凸函數所給的定義也不盡相同，但人們常用凸函數的國際定義作為研究對象，本文也將采用凸函數國際定義.</p><p>　　定義2.1 設函數在區(qū)間上有定義，若對任意的及對任意的總有：，則稱函數為區(qū)間上的凸函數(convex function).</p><p>　　2.2 凸函數的

17、幾何意義</p><p>　　設為區(qū)間上的凸函數且圖像如圖2—1所示，若當，則弦AB的方程為：.若存在參數,則有，故弦AB的方程可改寫為：，由于函數為凸函數，則：.即連接凸函數圖像上的任意兩點的弦總位于對應圖像的上方(如圖2--2).</p><p>　　2.3 凸函數的判定</p><p>　　對任意的有，若是凸函數，則有：…...① </p>

18、<p>　　將帶入①式且經整理可得：</p><p><b>　　，即</b></p><p><b>　　若即……..②</b></p><p>　　將帶入②式且經整理可得：</p><p><b>　　經移項整理得：</b></p><p&

19、gt;<b>　　……..③</b></p><p>　　又將帶入③式且經整理可得：</p><p>　　……..④，由④式可得函數為所給區(qū)間的凸函數，由此可得：</p><p>　　定理2.1 函數為所給區(qū)間I上凸函數的充要條件為：對任意的.同理可得：</p><p>　　定理 2.2 函數為所給區(qū)間I上凸函數的

20、充要條件為：對任意的</p><p>　　定理 2.2證明過程與定理2.1的推理過程大同小異，故在此不再證明.</p><p>　　第三章 凸函數的定義及性質的應用</p><p>　　3.1 凸函數定義的應用</p><p>　　不等式是數學學科中一個重要的組成部分，不等式最關鍵的就是對它的證明，而有些不等式用常規(guī)的不等式的證明方法就顯得

21、十分麻煩和困難，如借助凸函數的定義去證明就十分便捷，如下幾例.</p><p><b>　　例3.1 設.</b></p><p>　　例3.2 （均值不等式）</p><p>　　由上可以看出，凸函數的定義在解決不等式（無論是困難的，還是簡單的）的證明方面都有著獨特的作用.</p><p>　　3.2 凸函數的性質

22、</p><p>　　無論是國外還是國內的數學愛好者都對凸函數進行了大量的研究，也發(fā)現凸函數的許多性質，本文著重介紹凸函數的以下四條性質：</p><p>　　性質1(有界性)若為上的凸函數，則在上有界.</p><p>　　性質2(連續(xù)性) 若為區(qū)間上的凸函數，則在任意點 處連續(xù).</p><p>　　性質3 (可導性)若為區(qū)間上的凸函數，

23、則(反之也成立).</p><p>　　性質4(單調性)若為區(qū)間上的凸函數，則</p><p>　　本文只證明性質1，其它的性質都具有相通之處，便不再累述.</p><p><b>　　證明性質1：</b></p><p>　　3.3凸函數性質的應用</p><p>　　上節(jié)介紹了凸函數的四條基本

24、性質，本節(jié)就以上的性質，作出實例，以充實理論.</p><p><b>　　第四章 結論</b></p><p>　　凸函數是一種具有特殊性質的輔助函數，它在函數圖像、函數最值及不等式系統(tǒng)中都起著十分重要的作用.如今隨著科技的發(fā)展和網絡的普及，人們對凸函數的認識越來越系統(tǒng)，研究也越來越全面,特別是凸函數的應用方面，許多數學愛好者都對其進行了大量的研究，他們的研究成果都

25、為我們更好的認識凸函數作出了巨大貢獻.</p><p>　　本文是對前人的研究進行歸納和總結，當然也有自己的一些觀點，在本次課題研究中，我發(fā)現：凸函數的定義及性質是研究凸函數的基石，無論我們是研究凸函數的淺顯概念還是其廣泛的應用都應從其定義及性質著手，凸函數的性質極多在研究其應用時我們應做到“對癥下藥”，不能盲目地使用其性質，盲目地使用其性質只會讓我們走進誤區(qū)，更有甚者走進死胡同，只有正確地使用凸函數的性質才能使

26、我們的研究事半功倍.</p><p><b>　　參考文獻</b></p><p>　　[1]華東師范大學數學系.數學分析（上）[M].北京:高等教育出版社,2010.7.151-157.</p><p>　　[2]劉三陽,于力,李廣民.數學分析選講[M].北京：科學出版社，2007.77-89. </p><p>

27、　　[3]熊鵬飛.凸函數的性質和應用[J].黑龍江科技信息，2011,(21）:180.</p><p>　　[4]劉小寧.關于凸函數的有趣不等式[J].黃岡職業(yè)技術學院院報，2013,(1):99-100.</p><p>　　[5]杜厚雄.凸函數的性質及應用[J].現代企業(yè)教育，2007,(16）：173-174.</p><p>　　[6]劉象華.凸函數的應用

28、[J].云南民族大學學報，1991,(4）：71-84.</p><p>　　[7]時貞軍.凸函數的若干性質及應用[J].應用數學，2004,(51）：1-4.</p><p>　　[8]楊再鵬.凸函數在不等式中的應用[J].成功（教育版），2009,(7）：173.</p><p>　　[9]劉佩.凸函數性質舉例[J].考試（高考教育版），2012,(8）：50-

29、51.</p><p>　　[10]羅超群.凸函數在分析中的應用初探[J].科教文匯（下旬刊），2010,(9）：92-93.</p><p>　　[11]郭志榮.利用凸函數的性質巧證積分不等式[J].數學學習與研究，2011,(7）：56.</p><p>　　[12]王強芳，魏元金.函數凹凸性在解題中的應用[J].上海中學數學，2007，（11）：31-32.&

30、lt;/p><p>　　[13]楊再鵬.凸函數在不等式中的應用[J].長江教育，2009,(7）：173.</p><p>　　[14]張小明.幾何凸函數[Ｍ] ．安徽大學出版社，2004.06.11-14.</p><p>　　[15]劉光中.凸分析與極值問題[M].北京：高等教育出版社，1991.05.222-246.</p><p>　　[

31、16](德)洛克菲拉.凸分析(英文版)[M].世界圖書北京出版公司，2011.01.10-50.</p><p><b>　　致謝</b></p><p>　　此次論文到此就接近尾聲了，在此我要感謝我的論文指導老師**老師，在她不辭辛勞的指導下，本論文才得以完美收筆.同時我也感謝在論文創(chuàng)作中幫過我的朋友及老師,正因為他們的幫助，我在書寫論文時才顯得游刃有余.最后，我還

32、要特別感謝我所參考的文獻作者，可以這么說，我是站在他們的肩膀上才摘得了成熟的果實,如沒有他們的研究，我可能很難發(fā)現前進的燈塔,更不可能自由航行.由于自身才疏學淺及書寫經驗不足，文中必有不足，還望各位高手不吝賜教！</p><p><b>　　附錄</b></p><p>　　閔可夫斯基（Minkowski，1864－1909）:德國數學家，出生于俄國的一個商人家庭，他

33、的主要成就是在數論、代數和數學物理上.在數論上，他對二次型進行了重要的研究,在1881年法國大獎中，Minkowski深入鉆研了高斯（Gauss）、狄利克雷（Dirichlet） 等人的論著.因為Gauss曾在研究把一個整數分解為三個平方數之和時用了二元二次型的性質，Minkowski由前人的工作中認識到把一個整數分解為五個平方數之和的方法與四元二次型有關.由此，他深入研究了n元二次型，建立了完整的理論體系.</p>&l