【數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)】論文——生產(chǎn)與存儲的動態(tài)規(guī)劃模型

1、<p>　　生產(chǎn)與存儲的動態(tài)規(guī)劃模型</p><p>　　[摘要]：本文討論了關(guān)于生產(chǎn)與存儲的問題，這是一個多階段決策的生產(chǎn)問題，就此可建立一個動態(tài)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型．利用運籌學(xué)和計算機的數(shù)學(xué)軟件等相關(guān)知識，應(yīng)用動態(tài)規(guī)劃方法解決了這一問題，達到生產(chǎn)、需求與庫存之間的平衡，以及在資源限制條件下的最優(yōu)化的生產(chǎn)方案．并建立混合整數(shù)規(guī)劃模型用LINDON數(shù)學(xué)軟件進行檢驗.</p><p>　

2、　關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)模型；動態(tài)規(guī)劃；狀態(tài)變量；最優(yōu)指標(biāo)函數(shù)</p><p><b>　　1 問題的提出</b></p><p>　　設(shè)某工廠調(diào)查研究了解市場情況，估計在今后四個時期市場對產(chǎn)品的需求量，如表所示：</p><p>　　假定不論在任何時期，生產(chǎn)每批產(chǎn)品的固定成本費為3（千元），若不生產(chǎn)，則為0，每單位生產(chǎn)成本費為1（千元）.同時任何一個

3、時期生產(chǎn)能力所允許的最大生產(chǎn)批量不超過6個單位.又設(shè)每時期的每個單位產(chǎn)品庫存費為0.5（千元），同時規(guī)定在第一期期初及第四期期末均無產(chǎn)品庫存.試問：該工廠如何安排各個時期的生產(chǎn)與庫存，使所花的總成本費用最低？</p><p>　　2 符號說明與問題重述</p><p>　　生產(chǎn)過程劃分為四個階段，階段變量 即：</p><p>　　狀態(tài)變量 表示第k階段末的庫存

4、量，由已知得 </p><p>　　決策變量 表示第k階段的生產(chǎn)量， 表示第 k 階段的需求量.</p><p>　　狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程： ， </p><p>　　階段指標(biāo)函數(shù) 表示第 k階段的總成本，它由兩部分構(gòu)成，一部分是第 k階段的生產(chǎn)成本 ，另一部分是第 k 階段的存貯費 .最優(yōu)指標(biāo)函數(shù)</p><p>　　已知時段k某產(chǎn)品的需

5、求量為 (k=1,2,……K)，任一時段若生產(chǎn)該產(chǎn)品，需付出生產(chǎn)準(zhǔn)備費 ，且生產(chǎn)每單位產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為 n，若滿足本時段需求后有剩余，每時段每單位產(chǎn)品需付出存貯費.設(shè)每時段最大生產(chǎn)能力為 ，最大存貯量為，且第1時段初有庫存量 ，試制訂產(chǎn)品的生產(chǎn)計劃，即每時段的產(chǎn)量，使 K個時段的總費用最小.</p><p>　　為了通過具體的計算說明解決這問題的方法，現(xiàn)設(shè)，千元，n=1千元/單位，千元/單位.時期.，單位，

6、沒有給出，視為存貯量不受限制.</p><p><b>　　3 模型的建立</b></p><p>　　3.1 建立模型Ⅰ</p><p>　　在提出生產(chǎn)與存貯問題時，忽略生產(chǎn)準(zhǔn)備費用，首先考慮到生產(chǎn)、需求與庫存之間存在著的平衡關(guān)系，這是一個一般的線性規(guī)劃問題，可假設(shè)生產(chǎn)量為，，，，由于存貯費用取決于庫存量，則記第一、二、三時期末的庫存量為

7、，，，由此可以用生產(chǎn)成本與存貯費之和（記作Z）作為問題為目標(biāo)函數(shù)，在已知的第一期期初及第四期期末均無產(chǎn)品庫存，得到一個簡單的線性規(guī)模型：</p><p>　　此模型可用單純形法求解，或用數(shù)學(xué)軟件Maple求解,也可將上模型輸入LINDON求解，就可得到最優(yōu)解（略）.注意：這是在忽略生產(chǎn)準(zhǔn)備費用時的最優(yōu)解.</p><p>　　3.2 建立模型Ⅱ</p><p>　

8、　以上用混合整數(shù)規(guī)劃求解過多階段生產(chǎn)計劃，實際上，這是一類典型的動態(tài)優(yōu)化問題，與用變分法建立連續(xù)動態(tài)優(yōu)化模型不同的是，多階段生產(chǎn)計劃屬于離散動態(tài)優(yōu)化問題，動態(tài)規(guī)劃模型是解決這類問題的有效方法.本文先討論確定需求下的最優(yōu)生產(chǎn)計劃，并將它轉(zhuǎn)化為典型的動態(tài)優(yōu)化模型——最短路問題，然后研究隨機需求下如何求解最優(yōu)生產(chǎn)計劃.由上述數(shù)據(jù)、假設(shè)，可建立一個動態(tài)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型.</p><p><b>　　由題可知：&

9、lt;/b></p><p><b>　　所以：</b></p><p><b>　　基本方程為： </b></p><p><b>　　4 模型Ⅱ的求解</b></p><p>　　動態(tài)規(guī)劃的尋優(yōu)方向一般有用逆序算法（反向遞歸）或順序算法（正向遞歸）進行求解.當(dāng)問題的

10、第一階段初和第三階段末的狀態(tài)方程均已知時，即，可采用兩種方法求解.下面用順序算法求解：</p><p>　　為了簡化這個多階段生產(chǎn)計劃問題，可以將它從前向后地分解為一個個單時段問題.</p><p>　?。?）首先看第一個時期，為使4個時期的總費用最小，對于第一時期期初的存貯量，則可由狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：，考慮到，在最大生產(chǎn)能力為 與第一時期的需求量出發(fā)，則可能存在的的5種情況：</p&g

11、t;<p><b>　　當(dāng)時，有</b></p><p><b>　　這時狀態(tài)集合為：</b></p><p>　　下面就各狀態(tài)分別計算：</p><p><b>　　， 所以 </b></p><p><b>　　， 所以</b>&

12、lt;/p><p><b>　　， 所以，</b></p><p>　　同理可得： ，所以，</p><p><b>　　，所以</b></p><p><b>　　（2）當(dāng)時，由 </b></p><p><b>　　其中由：，</b

13、></p><p>　　而狀態(tài)集合是： </p><p>　　下面就各狀態(tài)分別計算：</p><p><b>　　所以，</b></p><p><b>　　所以，同理可得：</b></p><p><b>　　，所以</b></

14、p><p><b>　　，所以</b></p><p>　　注意：在計算和時，需要用到和，由于每個時期的最大生產(chǎn)批量為6單位，故和沒有意義的，就取，其余類推.</p><p><b>　?。?）當(dāng)時，由：</b></p><p><b>　　,</b></p><

15、;p>　　其中，而狀態(tài)集合為：</p><p>　　下面就各狀態(tài)分別計算：</p><p><b>　　，所以；</b></p><p><b>　　，所以或3；</b></p><p><b>　　，所以</b></p><p><b>

16、;　　，所以</b></p><p><b>　　，所以</b></p><p>　　（4）當(dāng)時，因為要求第4時期期末的庫存量為0，即為，故有：</p><p><b>　　所以有.</b></p><p>　　再回代求最優(yōu)策略：由，得：</p><p><

17、b>　　，所以有，</b></p><p><b>　　，所以有，</b></p><p><b>　　，所以</b></p><p><b>　　故最優(yōu)生產(chǎn)策略為：</b></p><p><b>　　，，，</b></p>

18、<p>　　而相應(yīng)的全個生產(chǎn)過程中的4個時期的最小總成本是：20.5千元.</p><p><b>　　5 模型的檢驗</b></p><p>　　這時我們可以建立一個混合整數(shù)規(guī)劃模型來檢驗動態(tài)規(guī)劃方法的結(jié)果正確性：</p><p>　　建立模型Ⅲ：與模型Ⅰ比較，除了考慮隨產(chǎn)品數(shù)量變化的費用（生產(chǎn)成本和存貯費用）外，還要考慮與生

19、產(chǎn)數(shù)量無關(guān)的費用，即生產(chǎn)準(zhǔn)備費用，只要某個時期開工生產(chǎn)時就需要有的這項費用，引入了變量，當(dāng)時表示不生產(chǎn)，當(dāng)生產(chǎn).</p><p><b>　　（）</b></p><p>　　這一模型也可將數(shù)據(jù)輸入LINDON求解（代碼附后），就可得到：</p><p>　　最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)為：20.5</p><p><b>　

20、　各變量值為：</b></p><p>　　w1=1 w2=0 w3=1 w4=0 x1=5 x2=0 x3=6 x4=0</p><p>　　s1=3 s2=0 s3=4</p><p>　　由此可驗證動態(tài)規(guī)劃方法的正確性.</p><p><b>　　參考文獻：</b><

21、;/p><p>　　[1]葉其孝.大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽輔導(dǎo)教材.長沙：湖北教育出版社.1993</p><p>　　[2]劉來福、曾文藝.數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模.北京：北京師范大學(xué)出版社.1997</p><p>　　[3]姜啟源等編.數(shù)學(xué)模型（第三版）.北京：高等教育出版社.2003</p><p>　　[4]胡知能.徐玖平編著.運籌學(xué)線性系統(tǒng)優(yōu)化.

22、北京：科學(xué)出版社.2003</p><p>　　[5]盧開澄.編著.單目標(biāo)、多目標(biāo)與整數(shù)規(guī)劃.北京：清華大學(xué)出版社.1999</p><p>　　[6]黃桐城、鮑祥霖編.數(shù)學(xué)規(guī)劃與對策論.上海：上海交通大學(xué)出版社.2002</p><p>　　[7]劉滿鳳、傅波、聶高輝編.運籌學(xué)模型與方法教程例題分析與題解.北京：清華大學(xué)出版社.2000</p>&l

23、t;p>　　[8]魏權(quán)齡、王日爽、徐兵等編.數(shù)學(xué)規(guī)劃與優(yōu)化設(shè)計.北京：國防工業(yè)出版社.1984</p><p>　　[9]張有為編.動態(tài)規(guī)劃.長沙：湖南科學(xué)技術(shù)出版社.1991</p><p>　　[10]羅伯特.E.拉森、約翰.L.卡斯梯編（陳偉基等譯）.動態(tài)規(guī)劃原理.北京：清華大學(xué)出版社.1984</p><p>　　Produce with saving

24、 of development programming model</p><p>　　00Grade,Department of Mathematics,Shaoguan University,Shaoguan 512005,Guangdong ,China</p><p>　　Abstract： This text discussed concerning produce with t

25、he saving problem, this is mathematics model that a many production problems that the stage make policy, can establish now a development programming. make use of the strategy learn with the related knowledge in etc. in s

26、oftware in mathematics of the calculator, applying the development programming method resolved this problem, attaining the production, need and equilibrium of the stock, and limit the superior the production project that

27、 turn</p><p>　　Key words：Mathematics model; The development programs； the appearance changes the deal；superior index sign function</p><p>　　用LINDON計算混合整數(shù)規(guī)劃模型Ⅲ，代碼：</p><p>　　min 3w1+3

28、w2+3w3+3w4+x1+x2+x3+x4+0.5s1+0.5s2+0.5s3</p><p><b>　　s.t. </b></p><p><b>　　x1-s1=2</b></p><p>　　x2+s1-s2=3</p><p>　　x3+s2-s3=2</p><

29、p><b>　　x4+s3=4</b></p><p><b>　　x1-6w1<=0</b></p><p><b>　　x2-6w2<=0</b></p><p><b>　　x3-6w3<=0</b></p><p><

30、b>　　x4-6w4<=0</b></p><p><b>　　x1>=0</b></p><p><b>　　x2>=0</b></p><p><b>　　x3>=0</b></p><p><b>　　x4>=0&