數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文-特殊的積分不等式及其在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

1、<p>　　特殊的積分不等式及其在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用</p><p><b>　　XXX</b></p><p>　　(數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，2006(4)班，06211420號(hào))</p><p>　　[摘 要]積分不等式在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，并已經(jīng)得到了很多深刻的研究結(jié)果，本文分別針對(duì)Putnam積分不等式, Chebyshev 積分不

2、等式,Kantorovich積分不等式和Gronwall積分不等式這四類積分不等式展開(kāi)討論，觀察它們的證明及其推論以及它們?cè)诟叩葦?shù)學(xué)中的應(yīng)用，力圖進(jìn)一步明確積分不等式與高等數(shù)學(xué)的密切聯(lián)系，為高等數(shù)學(xué)的教學(xué)與研究提供新的素材與方法.</p><p>　　[關(guān)鍵詞]積分不等式 高等數(shù)學(xué) 應(yīng)用</p><p>　　積分不等式在高等數(shù)學(xué)中有著重要的應(yīng)用，因而得到大量的研究，并且取得了許多有價(jià)值

3、的研究成果，但是以前對(duì)不等式的研究多局限于幾種常見(jiàn)的積分不等式，而且對(duì)積分不等式在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用的研究較少，針對(duì)這些情況，本文著重對(duì)Putnam積分不等式、Chebyshev 積分不等式、Kantorovich積分不等式和Gronwall積分不等式展開(kāi)討論，并對(duì)其在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用展開(kāi)更為深入細(xì)致的研究,以期為高等數(shù)學(xué)教學(xué)與研究提供新的素材和方法.</p><p>　　一、Putnam不等式</p>

4、<p>　?。ㄒ唬㏄utnam不等式的證明及其推論

5、 定理1 設(shè)是上的可微函數(shù)且當(dāng)時(shí)，則有</p><p>　　證 令</p><p><b>　　=-</b></p><p>　　因?yàn)?故我們只要證在（0，1）內(nèi)，事實(shí)上</p><p>　　由微分中值定由題設(shè)，故</p><p&g

6、t;<b>　　因?yàn)橐C明</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　從而要證明</p><p><b>　　，</b></p><p>　　記</p><p><b

7、>　　那么</b></p><p>　　因此因此我們得到從而命題成立，證畢. </p><p>　　我們可以把這個(gè)命題作如下推廣. </p><p>　　推論1 設(shè)是上的可微函數(shù),且當(dāng)時(shí)則</p><p>　　其中為常數(shù). </p><

8、;p><b>　　證 令</b></p><p><b>　　有</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　故我們只要證明</p><p><b>　　，</b></p><p>　

9、　而這等價(jià)于，由上面的定理1知這是成立的，故推論得證.注1 如果，那么命題中的不等式取反號(hào)，這可以從上面的推論1證明中看出.</p><p>　?。ǘ㏄utnam不等式在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用例1 證明 </p><p><b>　　證令</b></p><p>　　, 可利用Putnam不等式得， <

10、/p><p>　　不等式右邊整理后可得</p><p>　　因此</p><p><b>　　例2 證明 .</b></p><p>　　證令</p><p>　　因?yàn)槭巧系目晌⒑瘮?shù)，且當(dāng)時(shí)，，，</p><p>　　則可利用Put

11、nam不等式得</p><p>　　不等式右邊整理后得 </p><p><b>　　則</b></p><p>　　不等式兩邊同乘以8得</p><p>　　注2 Putnam不等式常用于證明高等數(shù)學(xué)中滿足下列條件的積分不等式</p><p>　?。?）被積分的函數(shù)

12、在上是可微的；</p><p><b>　?。?）當(dāng)時(shí)，有且.</b></p><p>　　二、Chebyshev不等式</p><p>　　（一）Chebyshev不等式的證明 定理2設(shè)在上是連續(xù)函數(shù)，并設(shè)是正的，而</p><p

13、>　　在上式單調(diào)增加的，則有下列的Chebyshev不等式</p><p><b>　?。?）</b></p><p><b>　　成立.</b></p><p>　　證任取由單調(diào)性，有</p><p>　　對(duì)積分得</p><p

14、><b>　　，</b></p><p><b>　　將不等式展開(kāi)</b></p><p><b>　　，</b></p><p><b>　　兩邊同乘并對(duì)積分得</b></p><p><b>　　將變量換成表示得</b>&

15、lt;/p><p><b>　　證畢.</b></p><p>　　注3 如果都是單調(diào)減少的，上面的不等式（1）要變號(hào).</p><p>　?。ǘ〤hebyshev不等式在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用</p><p>　　例3設(shè)在上連續(xù)，單調(diào)減少，</p><p><b>　　證取</b&

16、gt;</p><p>　　即</p><p><b>　　即</b></p><p>　　注4 若取由于單調(diào)性相反，利用不等式時(shí)不等號(hào)方面要改變符號(hào).</p><p><b>　　例4 證明</b></p><p>　　證由于在上單調(diào)性相同，故由

17、不等式得</p><p><b>　　即</b></p><p><b>　?。?） </b></p><p><b>　　即</b></p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　聯(lián)立(2)(3)即得

18、</p><p>　　注5 Chebyshev不等式在證明高等數(shù)學(xué)中的積分不等式問(wèn)題時(shí)要注意下列三點(diǎn)：</p><p>　　(1) 若積分不等式中已含有形如的式子，則要在給定的區(qū)間上是連續(xù)函數(shù),是正的且在給定的區(qū)間上單調(diào)性相同，則可利用Chebyshev不等式進(jìn)行證明;</p><p>　　(2) 若積分不等式中未含有形如的式子，有的積分不等</p&g

19、t;<p>　　可通過(guò)人為的構(gòu)造出含有該形式的式子，使其滿足（I）中的條件，則也可利用Chebyshev不等式進(jìn)行證明;</p><p>　　(3) 對(duì)于形如的式子，注意在給定區(qū)間上同時(shí)</p><p>　　調(diào)增加和同時(shí)單調(diào)減少兩種情況下，利用Chebyshev不等式進(jìn)行證明時(shí)不等號(hào)的改變情況.</p><p>　　三、Kantorovich不等式

20、</p><p>　?。ㄒ唬㎏antorovich不等式的證明及其推論</p><p>　　定理3 設(shè)在上是一個(gè)正值的連續(xù)函數(shù)，記，那么有 (4)</p><p>　　證 由題設(shè)，兩邊對(duì)積分得 </p><p>　　而由算術(shù)－

21、幾何平均值不等式得</p><p>　　從而得</p><p>　　上式兩邊平方并同除以，我們就得到（4）式成立,證畢.</p><p>　　推論2 在中插入個(gè)點(diǎn)，設(shè)為個(gè)實(shí)數(shù)</p><p>　　且滿足，令</p><p><b>　　,</b></p>

22、<p><b>　　則</b></p><p><b>　　記則定理變?yōu)?lt;/b></p><p>　　注6 推論2說(shuō)明所建立的不等式被稱為Kantorovich不等式的一種積分形式.</p><p>　?。ǘ㎏antorovich不等式在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用</p><p&

23、gt;<b>　　例5 證明 </b></p><p><b>　　證 等價(jià)于</b></p><p>　　令</p><p><b>　　則</b></p><p>　　因?yàn)槭巧系囊粋€(gè)正值的連續(xù)函數(shù)，則可利用Kantorovich不等式得<

24、;/p><p>　　因?yàn)?lt;/p><p>　　故</p><p>　　即</p><p><b>　　例6 證明 </b></p><p><b>　　證等價(jià)于</b></p>

25、<p>　　令</p><p><b>　　則</b></p><p>　　因?yàn)槭巧系囊粋€(gè)正值的連續(xù)函數(shù)，故可利用Kantorovich不等式得</p><p>　　因?yàn)?lt;/p><p><b>　　故</b&

26、gt;</p><p>　　即 </p><p><b>　　證畢.</b></p><p>　　注7 Kantorovich不等式常用于證明滿足下列條件的積分不等式</p><p>　　(1) 被積分函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是連續(xù)的正函數(shù)；</p><p>　　(2)函數(shù)在

27、給定區(qū)間內(nèi)存在最大值和最小值.</p><p>　　四、Gronwall不等式的證明及其推論</p><p>　?。ㄒ唬〨ronwall不等式的證明及其推論</p><p>　　定理4設(shè)與為區(qū)間上的連續(xù)非負(fù)實(shí)數(shù)值函數(shù),為非負(fù)常數(shù)，對(duì)有</p><p><b>　　則當(dāng)時(shí)有</b></p><p>

28、;　　證 （1）當(dāng)因?yàn)榉秦?fù)連續(xù)實(shí)數(shù)值函數(shù)，而</p><p>　　兩邊同時(shí)在到上積分得</p><p>　　即</p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　.</b></p><p><b>　　(2)當(dāng)

29、時(shí)，此時(shí)</b></p><p><b>　　，</b></p><p>　　而，為非負(fù)連續(xù)實(shí)數(shù)值函數(shù)，則,有界,不妨設(shè)</p><p><b>　　,</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　

30、.</b></p><p>　　只有時(shí)上式恒成立.綜上所述，定理成立.</p><p>　　推論3設(shè)與是區(qū)間上的非負(fù)實(shí)數(shù)值函數(shù)，常數(shù)和非負(fù)，若對(duì)有</p><p><b>　　則當(dāng)時(shí)</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　?。ǘ〨r

31、onwall不等式在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用</p><p>　　例7如果在：，上連續(xù)且關(guān)于滿足Lipschitz條件，方程有在區(qū)間上的連續(xù)解且滿足初始條件：，這里.</p><p>　　證明：滿足這樣初始條件的解是唯一的.</p><p>　　證因?yàn)樗o的微分方程等價(jià)于積分方程</p><p>　　設(shè)滿足初始條件的解還有則</p

32、><p>　?。長(zhǎng)ipschitz常數(shù)），</p><p><b>　　由定理4（）知</b></p><p><b>　　所以</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　即證明了方程解的唯一性.</p><

33、p>　　例8設(shè)在全空間連續(xù)，對(duì)滿足局部Lipschitz條件且，為常數(shù).則對(duì)Cauchy初值問(wèn)題</p><p><b>　　的解的區(qū)間均為.</b></p><p>　　證只需證明在任一有限區(qū)間上，Cauchy初值問(wèn)題的解都是有界的即可.假設(shè)存在有限數(shù)使得解在上無(wú)界，</p><p>　　當(dāng)時(shí)有<

34、/p><p><b>　　由定理4得</b></p><p><b>　　.</b></p><p>　　這與在上無(wú)界矛盾，因此假設(shè)不成立，所以解向右對(duì)可延拓至,同時(shí)可證向左對(duì)可延拓至.</p><p>　　注8 Gronwall不等式適用于解決高等數(shù)學(xué)中有關(guān)求證解的唯一性和解的區(qū)間方面的問(wèn)題.<

35、;/p><p>　　本文主要討論了Putnam積分不等式, Chebyshev 積分不等式,Kantorovich積分不等式和Gronwall積分不等式及其在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，之所以選擇這四種特殊的積分不等式是因?yàn)檫@四種特殊的積分不等式與高等數(shù)學(xué)的聯(lián)系比較密切，而且這四種特殊的積分不等式在不等式理論中有極重要的應(yīng)用，探討這些重要不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用對(duì)于深刻理解積分理論和不等式理論有很好的借鑒作用，另外還有幾種積分不等

36、式與高等數(shù)學(xué)的聯(lián)系比較密切，限于篇幅暫不討論.</p><p><b>　　[參考文獻(xiàn)]</b></p><p>　　[1]魏章志,梅宇.不等式及其應(yīng)用.宿州師專學(xué)報(bào),2003.1.65-66</p><p>　　[2]汪明瑾.不等式的積分形式.高等數(shù)學(xué)研究,2005.1.18-21</p><p>　　[3]武璽,林明

37、花.積分性不等式妙用.高等數(shù)學(xué)研究,2006.1.46-48</p><p>　　[4]薛昌興.一個(gè)積分不等式及其應(yīng)用.甘肅教育學(xué)院報(bào),2003.10.1-4</p><p>　　[5]張新燕.幾個(gè)常見(jiàn)的積分不等式.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究（科研版）,2009.3.85</p><p>　　[6]王成新,王梅.不等式的推廣及應(yīng)用.泰山學(xué)院學(xué)報(bào),2003.5.17-20<

38、/p><p>　　[7]喬希民.積分不等式的加強(qiáng)式及應(yīng)用.寶雞文理學(xué)院學(xué)報(bào),2004.12.266-267</p><p>　　Special Integration Inequalities and Its Applications</p><p>　　in Higher Mathematics</p><p>　　Xiao Jingjing&

39、lt;/p><p>　　[Abstract] Integration inequalities have been used widely, and there are many profound researches on them. This paper respectively for Putnam integration inequalities, Chebyshev integration inequali

40、ties, Kantorovich integration inequalities Gronwall integration inequalities. The four such points inequalities extensive discussion, Observe them and the corollary and in the application of the mathematical.To further c