有理多項式曲線逼近的新方法【文獻綜述】

1、<p><b>　　畢業(yè)論文文獻綜述</b></p><p><b>　　信息與計算科學</b></p><p>　　有理多項式曲線逼近的新方法</p><p>　　CAGD（計算機輔助幾何設計）是一門迅速發(fā)展的新興學科，它的核心問題是要解決工業(yè)產(chǎn)品幾何形狀的數(shù)學描述。它的出現(xiàn)和發(fā)展既是現(xiàn)代工業(yè)發(fā)展的要求，又對現(xiàn)

2、在工業(yè)的發(fā)展起到了巨大的促進作用。它使幾何學從傳統(tǒng)時代進入數(shù)字化定義的信息時代，煥發(fā)出勃勃生機。有理函數(shù)（有理曲線、有理曲面）在CAGD（計算機輔助幾何設計）學科中占有重要的地位，有廣泛和重要的應用，它廣為人們接受，為CAGD的進一步發(fā)展奠定了堅實基礎。</p><p>　　由于有理曲線在幾何造型設計中有著廣泛和重要的應用，但是相比較多項式曲線的形式較復雜，尤其是微分和積分的形式。因此用多項式逼近有理曲線的問題具

3、有重要的理論和實際意義，并已得到廣泛的研究。</p><p>　　Bézie曲線是參數(shù)多項式曲線，由于它采用一組獨特的多項式基函數(shù)，使得它具有許多優(yōu)良的性質(zhì)，在諸多形式的參數(shù)多項式曲線中獨樹一幟，一經(jīng)問世，就受到工業(yè)界和CAGD學術界的廣泛重視，它是CAGD中最基本的造型工具之一，人們對它情有獨鐘。Bézier方法在實踐中表現(xiàn)出強大的生命力。</p><p>　　國內(nèi)外

4、研究文獻中已有許多多項式Bézier曲線逼近有理Bézier曲線的方法，例如：用混合多項式逼近有理函數(shù)、研究混合曲線控制點的移動范圍、利用多項式逼近有理函數(shù)和有理曲線的收斂條件，研究區(qū)間有理Bézier曲線的邊界、基于有理函數(shù)的混合表達式用Hermite 多項式逼近有理Bézier曲線，研究多項式逼近有理曲線的收斂條件、用Hermite 多項式逼近有理Bézier曲線的遞歸方法，以及通過

5、用低階的多項式曲線來插值有理參數(shù)曲線等。</p><p>　　此外，由于Bézier曲線可以不斷升階，從而得到一個控制多邊形序列，它們都定義同一條Bézier曲線。這個多邊形序列將收斂都一個極限，就是所定義的Bézier曲線。因此可以通過升階的方法使Bézier曲線一致收斂到有理多項式Bézier曲線。例如：參考文獻[7]中提到的方法：對一個任意給定連續(xù)升階的有理

6、Bézier曲線，用它的控制點構造Bézier曲線的控制點，得出任意給定階數(shù)的Bézier曲線序列的r階導數(shù)將一致收斂到對應的原有理Bézier曲線的r階導數(shù)。</p><p>　　這些方法各有特點，各有自己的適用場合，但是關于這一問題顯然還有值得完善和改進的地方。我將在已有研究方法的基礎上，構造一個新的Bézier曲線，實現(xiàn)用新構造的多項式Bézier

7、曲線逼近原有理Bézier曲線，與現(xiàn)有的研究方法相比，更具幾何直觀性，方法更簡潔直接，并且將盡可能提高逼近精度，便于計算機操作與應用的實現(xiàn)。</p><p>　　研究的主要內(nèi)容有以下幾點：</p><p>　　構造新的多項式Bézier曲線的解析表達式。</p><p>　　根據(jù)參考文獻[7]，對一個任意給定連續(xù)升階的有理Bézier曲

8、線，用它的控制點構造Bézier曲線的控制點，得出任意給定階數(shù)的Bézier曲線序列的r階導數(shù)將一致收斂到對應的原有理Bézier曲線的r階導數(shù),記升階后的有理Bézier曲線的控制點為{}，根據(jù)參考文獻[7]中的引理1：(See Farin, 1999.) 當 有理Bézier曲線不斷升階，它的控制點一致收斂到，用 {}和的線性組合構造新的控制點，用這些線性變化的控制點作為多項式B&#

9、233;zier曲線的控制點，以此實現(xiàn)課題研究的目的，用構造的多項式Bézier曲線逼近原有理Bézier曲線。</p><p>　　2、根據(jù)研究方案，找到線性變化的控制點，具體計算幾個有代表性的算例，這里選4階、5階、6階的Bézier曲線逼近同階的有理Bézier曲線，以此說明用構造的新的多項式Bézier曲線逼近原有理Bézier曲線的有效性和可行

10、性。</p><p>　　3、整理用代表性算例計算的算法和結果，針對算例中出現(xiàn)的問題，提高逼近精度。</p><p>　?、?、在Bézier曲線性質(zhì)的基礎上，移動Bézier曲線的控制點，調(diào)整逼近的方法。</p><p>　?、?、修正逼近的精度的算法。</p><p><b>　　參考文獻：</b>&

11、lt;/p><p>　　[1] 王國謹,汪國昭,鄭建明,計算機輔助幾何設計.北京市:高等教育出版社,2001.36-46.</p><p>　　[2] 陳效群,陳發(fā)來,陳長松.有理曲線的多項式逼近[J].高校應用數(shù)學學報A輯（中文版）,1998,(S1).</p><p>　　[3] 壽華好,王國瑾.區(qū)間Bezier曲線的邊界[J]. 高校應用數(shù)學學報A輯（中文版）,1

12、998,(S1).</p><p>　　[4] 陳效群,婁文平.有理曲線的區(qū)間Bezier曲線的逼近[J].中國科學技術大學學報,2001,(04).</p><p>　　[5] 孟祥國,王仁宏.有理曲面的區(qū)間Bezier曲面的逼近[J].數(shù)值計算與計算應用，2003,(04).</p><p>　　[6] Thomas W. Sederberg ,Masanori

13、 Kakimoto, Approximating rational curves using polynomial curves, in NURBS for Curve and Surface Design, G. Farin, ed., SIAM, Philadelphia, 1991, pp. 149--158.</p><p>　　[7] Huang Youdu ,Su Huaming ,Lin Hongw