蛛網(wǎng)迭代

1、差分方程建模示例1:人口增長模型,● Malthus 模型,設xn是某人類群體在第n個時間段(例如年)末時的總數(shù)，若在單位時間段內(nèi)人口相對增長率為r（出生率與死亡率之差）,那么人口增長數(shù)與原人口數(shù)成正比,從而,xn+1＝ xn ＋r xn,即 xn+1 = a xn,其中 a=r+1.,,,這是一個如下線性映射的迭代 f (x) =

2、a x,從而 xn= a xn－1= a2xn－2 =…= an x0,Malthus的結(jié)論：人口增長呈幾何級數(shù),約35年增加一倍，與1700－1961年世界人口統(tǒng)計結(jié)果一致,與近年統(tǒng)計結(jié)果有誤差，由a >1,xn趨向無窮，模型在人口長期預測方面必定是失效的.,.,● Logistic模型,生存資源是重要的因素，修改的模型為：,xn+1 － xn= r xn－ b xn2,其中－ b xn2為競爭或約束項，r、

3、b 稱生命系數(shù)記a=r+1，那么,xn+1= a xn- bxn2,數(shù)據(jù)觀察 (迭代計算與國家統(tǒng)計局發(fā)表數(shù)字比較),基本接近存在極限值,這是一個如下非線性映射的迭代 f(x)=ax-bx2,四．問題的討論和分析,● Logistic映射,通過變量代換簡化為logistic 映射 f(x)=a x(1- x)， x在[0,1]內(nèi)變化,相應的迭代為

4、 xn+1=a xn(1-xn),,從[0,1]內(nèi)點x0出發(fā)，由Logistic映射的迭代形成了一個序列，即,xn=f n(x0), n = 0,1,2,…,序列{xn}稱為x0的軌道,● 數(shù)值迭代,1．倍周期分叉現(xiàn)象,■ 當0<a <1時，由于0<xn<axn+1 xn →0 物種逐漸滅亡,■ 當1<a<3時，任

5、何(0,1)中初始值的軌道趨于 x*=1-1/a其中x*是方程f(x)=x的解，為映射f 的不動點(周期1點)例：a=1.5時 xn → 1/3.,兩個不動點x1*, x2* ,一個穩(wěn)定(吸引),另一個不穩(wěn)定，軌道{xn}趨向穩(wěn)定點,,這兩個數(shù)滿足,,■ 當3<a<1+61/2時， xn 繞著兩個數(shù) x3*，x4*振動,,例a =3.2

6、 x2k-1 →0.799455 x2k →o.513045,■ 當1+61/2<a<3.5440903506…時, 從任意的點x0出 發(fā)的軌道將逐漸沿著四個數(shù)值振動,例a=3.45 x4k → 0.44391661 x4k+1 → 0.84768002 x4k+2 → 0.44596756 x4k+3 → 0.85242774,也

7、稱為周期2點,對應軌道稱周期2軌道.(原來周期點失穩(wěn)),這四個數(shù)滿足,,稱為周期4點，對應軌道稱周期4軌道(原有周期點又失穩(wěn)),若a再增大，周期4點又會失穩(wěn)，而產(chǎn)生新的穩(wěn)定周期8點，這個周期不斷加倍的過程將重復無限次，會依次出現(xiàn)周期16點，周期32點…. ，(請考慮什么是周期n) 這種過程稱為倍周期分叉.相應的分叉值c1=3, c2=1+61/2…構(gòu)成一個單調(diào)增加的數(shù)列{ck}.其極限值為c*=3.569945557391…。,分叉值如

8、何求?,任務：求分叉值和畫分叉圖,依賴于數(shù)值方法,2．渾沌與遍歷性,當c*<a<4時，Logistic映射進入渾沌區(qū)域.反映出的是：,■ 遍歷性：點 x0的軌道不趨向任何穩(wěn)定的周期軌道, 它的軌道在(0,1)(或其中某些區(qū)間)內(nèi)的任何一個子區(qū)間(a,b)內(nèi)都會出現(xiàn)無數(shù)次.這是渾沌的,■ 敏感性： 軌道表現(xiàn)出對初始條件的強烈敏感性,即不同初始值，即使它們離得非常近，它們的軌道也終將以某種方式分離.,■ 存在周期小窗口 渾

9、沌區(qū)域內(nèi)某些地方仍有倍周期分叉，例如a＝3.835附近,,■ Feigenbaum常數(shù) 比值(ck-ck-1)/(ck+1-ck)在k 趨于無窮時，趨于常數(shù) q =4.6692016這常數(shù)的意義在于普適性，例如周期3窗口也適用，還適用其他映射,任務：驗證遍歷性、敏感性 周期3窗口的分叉、(結(jié)合Feigenbaum常數(shù) ),五. 圖象方法,● 蛛網(wǎng)迭代,在以xn為橫坐標、xn+1為

10、縱坐標的第一象限作拋物線弧： xn+1＝a xn(1- xn),■ 作圖的過程,任取(0,1)中的點x0,可以通過作圖來取得迭代的數(shù)值序列{xn},從而也通過圖象直觀地看出由 x0出發(fā)的軌道的變化. 這作圖的過程頗象蜘蛛織網(wǎng),故稱為蛛網(wǎng)迭代.,,,■ 1<a<3 從(0,1)中任何初值出發(fā)的軌道趨向不動點 (周期1點),,■3<a<61/2+1 從任何初值出發(fā)的軌道趨向周

11、期2點,■61/2+1<a< 3.54409035從任何初值出發(fā)的軌道趨向周期4點,■ a=3.58軌道進入渾沌狀態(tài),■ a= 4 軌道的渾沌性表現(xiàn)充分,蛛網(wǎng)迭代的優(yōu)點是軌道非常直觀形象.缺點是當周期數(shù)較大時不易看清軌道變化細節(jié),● 密度分布圖,■ 密度 從一個初始點 x0出發(fā)，由迭代所 產(chǎn)生的序列{xn} (n一般很大)在區(qū)間 [0,1]上的概率分布密度.,■ 具體算法 將[0,1]區(qū)間分成m個長度為h=1/m

12、的小區(qū)間，序列{xn}nN=0 落在各個小區(qū)間[ih,(i+1)h]的個數(shù)為ki,則該序列落在各小區(qū)間的概率（即密度)為,pi=ki/N i=0,1,2,…,m,■ 密度圖 橫軸為區(qū)間 [0,1], 縱軸為概率 p.每個小區(qū)間上的細柱線的高度等于該區(qū)間上密度,■ a=3.2 (m=100 N=10000 x0= 0.1),■ a=3.45,(這是周期4情況),(這是周期2情況),■ a=3.55,(周期8的情

13、況),以上密度圖顯示在 0<a<c*的情況下,{xn}只有極少數(shù)落在周期點以外的小區(qū)間,而最終以幾乎相等的概率落在周期點所在的小區(qū)間。,■ a=3.6,(進入渾沌區(qū)),(最渾沌狀態(tài)),■ a= 4,任務：用蛛網(wǎng)迭代的方法在計算機上作圖, 考察Logstic映射在a逐步變化時由同 一點出發(fā)的軌道情況.,任務：用密度圖的方法在計算機上作圖,考 察Logstic映射在a逐步變化時由同一

14、 初值點出發(fā)的{xn}的分布.,考察映射,進一步的任務,● 試考察當a逐漸增大時, 有沒有倍周期分叉情況出現(xiàn)? 求出第一個分叉值和第二個分叉值 利用Feigenbaum常數(shù)估計第三個分叉值和渾 沌可能在何時出現(xiàn) 驗證第三個分叉值,● 作出分叉圖 與Logistic映射的分叉圖比較,● 作出蛛網(wǎng)迭代或密度分布圖,然后由1/2開始慢慢地增加其值, 用數(shù)值方法和用密度圖的方法考察由初始值出發(fā)