數學史 (1)

1、第三章 數與數系的發(fā)展,主要內容原始人類的數感（Number Sence）數的抽象概念與數的符號數域擴張（簡稱“擴域”）形成五大數系公理化的方法創(chuàng)造超復數 四元數一一對應的計數方法 超限數的連續(xù)假設,3.1 數的起源,“數和形的概念不是從其它任何地方，而是從現實世界中得來的?！?對數的起源的進程歸結為：依賴于本能感覺，形成一一對應的計數方法，建立集合的等價關系并給出其一個標準（或代表集合）規(guī)定符號。,3.1.

2、1 數感,數感，即感知事物多少的心理能力。原始人類較早的“有”與“無”、“多”與“少”的認識某些鳥類和黃蜂具有數感，例如，烏鴉的數感,3.1.2 一一對應計數法與進位制,一一對應的計數方法 例如，是用手指計數物體的個數荷馬（約公元前9~8世紀）的詩史中，獨眼巨人波呂斐摩斯用石子計數羊只澳洲土著人用身體的各部分來對應自然數 一一對應的計數方法很容易形成自然數的概念, 它是數概念發(fā)展的重要途徑。,進位

3、制當計數較多的實物時，人類學會了一次用更大的單位計數的方法。如，五進制：一五，一十，十五，二十，…… 十進制，這時從1到10的十個數都有自己的特殊名稱，而從11開始，就用10的進位表示了。在英語中，eleven意指“剩下”或“比10多1”，twelve意指“比10多2”，thirteen即“3和10”，……；twenty意指“兩個10 ”，而hundred則指“10個10”。,,古代巴比倫人的六十進位制瑪雅數系中的二十進位

4、制計算機技術中的二進位制進位制的轉化例如，四進制數（3021）4轉化為十進制數的方法為：（3021）4=3·43+0·42+1·4+2=198,3.1.3 度量的數,使用具有確定標準的容器、長度（稱為單位）等去度量，度量出的次數之大小就產生量的概念。人類的度量活動是產生數概念的途徑之一。 度量數可以發(fā)展非整數性的小數和分數的概念,如，畢德哥拉斯學派從音調的不同高度中抽象出數的理念， 在古代

5、中國的“黃鐘起度”的傳說,圖3.1是西漢末年王莽律嘉量斛的結構示意圖；中間大的圓柱為斛量，中間底部圓柱形為斗，左右兩邊各有一耳，都呈圓柱形，左耳為升量，右耳上為合量、下為龠量。,3.1.4抽象的數,數與被計算的東西分離開來了，出現了1，2，3，…這些無名數，無名數的出現標志著抽象的數概念的產生， 懷特海（1861~1947）：“首先注意到七條魚和七天的共同點的人畢竟使思想史前進了一大步。他是第一個具有純數學觀念的人”。

6、 教育的啟示 學會1、2、3，…的概念，并不意味著就可以脫離具體事物進行抽象的數的思維。相反，當人們接觸到數的符號或名稱時，仍然與那些需要計算對象的某些具體表象聯系在一起。,3.1.5 神秘的數,神秘數廣泛存在于古代人類社會，數字在這里不表示什么同類的序列，也不用于最簡單的數學運算，而是利用數本身的神秘性來預卜事物的未來。數被想象成具有神秘屬性的代表物，它便通過宗教、神話來影響人類的生活。原始人類對自然的認識是有限的，往往借助

7、數——這個思維的抽象物，來解釋世界上無法理解或控制的各種現象。于是神秘數就被不斷用于卜筮、祈禱或其它宗教活動之中。甚至成為治國的工具。,如，夏王朝的“天有九野，地有九州，王有九鼎，籌有《九疇》”的治國方針。夏王朝將天分為 “九天”；地為“九州”，并將州的官員稱為“牧”。九州牧貢銅，鑄造九鼎，以九鼎象征九州，向天下昭示自己為九州之主。 春秋時期，用于籌算的“九九”表在中國也普遍使用。這或許可以看出，神秘數與運算中的數在歷史發(fā)展中

8、的先后順序。,3.2數的表示方法,3.2.1 結繩與書契結繩記數成為人類早期表示記數的方法圖3.2臺灣高山族的結繩（現藏中央民族大學）中國古籍上記有伏羲“結繩而治”。,結繩記數成為人類早期表示記數的方法,圖3.3日本琉球群島的結繩,,“書契”，就是刻劃?！皶笔莿澓郏捌酢笔强毯?如，在青海，1974年至1978年出土一批帶刻口的骨片，是新石器時代末期用于記事、記數的實物。,3.2.2文字記數,新石器時代中晚期

9、的遺址（西安半坡、山東城子崖等都出現了數字符號。 如，在西安半坡人的遺址（距今約5000~6000年）中，發(fā)現陶器上刻的符號中有數字符號：“”（五）、“”（六）、“”（七）、“”（八）、“”（十）、“”（二十）,,,商代的甲骨文 “金文”（“鐘鼎文”或“彝銘”）的十進制。個、十、百、千、萬五個十進制的數字（盡管表達形式尚不統一）都能準確無誤的給以表達。商代對于數字的表述尚未形成位值制，但在沿襲前人數字符號表示法的基礎上，又創(chuàng)造

10、了百、千、萬等數字名稱。,表示數的符號在人類歷史上經歷了漫長的演變過程，一直到1522年所謂阿拉伯數碼（叫印度數碼更確切些）才被世界各國所接受。中國到1892年才開始采用阿拉伯數碼，但數的寫法還是豎寫，直到20世紀才采用現代寫法。,3.2.3 位值制記數法,十進制的位值記數法，它不僅采用十進制，而且在不同位置上的數碼，表示這個數碼與10的某個冪次的乘積。即用位置來表示數。,,中國古代的籌算中的位值制記數法?；I式的數碼有縱、橫兩種形式：

11、 1 2 3 4 5 6 7 8 9縱式 橫式,,,,,,,,,,,籌式數字擺放的方法規(guī)定：個位、百位、萬位以上的數用縱式，十位、千位、十萬位上的數用橫式，縱橫相間，以免發(fā)生誤會；又規(guī)定用空位來表示零。 例如197和1907的籌式分別表示為 和,,不完全的定位制――“累加制”，它是同一單位用同一符號累加，達到較高單位時才

12、換一個新符號。 如羅馬數字采用五進累加制，它用大寫拉丁字母表示數的單位：I（1）,V（5）, X（10）, L（50）, C（100）, D（500）, M（1000）。在表示其它數時，大單位在左，小單位在右，表示累加，如VⅡ(7); 若大單位在右、小單位在左，表示減法，如IV(4)。,,巴比倫人發(fā)展了應用定位不完全的60進位制的數系 一方面，60以上的數目依定位原則寫出；另一方面，60以內的數則按照以十進制的簡單分群數

13、系寫出，如524,551=2×603+25×602+42×60+31= 其中分別代表1和10 。,,埃及象形文字數系是以10進位制為基礎的。用來表示1和10的頭幾次方的稱號是：,,任何數現在都可以用這些符號相加的方法給以表示了，其中每一個符號重復必要的次數。于是，13015=1×104+3×103+1×10+5=另外，埃及人比較習慣于從右往左寫，而我們寫這個數，還是

14、從左往右。,,古代瑪雅人的數系是16世紀在墨西哥發(fā)現的。研究認為，法定的瑪雅年是360天，因此其數系本質上是二十進制。但從第二次數群的冪次不是202，而是18×20，對于更高次的數群亦采用18×20n的形式。如： 43，480=6×18×202+0×18×20+14×20。當然，古代瑪雅人沒有計算符號，其數字是由表示6、0、14的符號自上而下排列的。,3.2.

15、4干支記數法,干支記數法是一種特有的60進制的記數方法十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥,六十甲子,,,圖3.4 甲骨文中的干支表拓片如圖3.4。這些干支表盡管都有些殘損，但從排列上看，全是由上到下豎行排列，而且都是甲起頭，10對一行，排列整齊，說明商代人已有了序數的概念。,甲骨文中的干支表,中國早在商代就使用干支紀日法。干支紀年，始于東漢初年,如，殷商的帝王們也

16、大多用其出生的那一天的干支名來命名。 據考證，中國古代自春秋時期魯隱公三年（公元前720年）二月己巳日（這天發(fā)生一次全日食）起，就開始連續(xù)使用干支紀日，直至清末，2600年從未間斷，這是世界上使用時間最長的紀日法。 干支紀年，我們今天仍用在農歷紀年上，近代史上許多重大事件，也常以該事件發(fā)生的干支年號來命名，如“辛亥革命”、“甲午戰(zhàn)爭”、“辛丑條約”、“庚子賠款”等。,3.3 數系在計算中發(fā)展,3.3.1負數

17、在中國傳統數學中，較早形成負數和相關運算法則。 《九章算術》方程章中提出了負數的概念以及它們的運算法則：“異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之”。在古代演算使用算籌進行的。為了區(qū)分正負數，劉徽在注文中說“正算赤，負算黑，否則以斜正為異。”如 表示+6， 表示—6。,西方數學家更多地是研究負數存在的合理性,如，16、17世紀的帕斯卡認為從0減去4是純粹的胡說 帕斯卡的朋友阿潤德提出一種有趣的說法來反對負數，他說

18、如果(－1)：1 = 1：(－1)，那么較小數與較大數的比怎么等于較大數與較小數的比呢？ 英國數學家瓦里士認為負數小于零而大于無窮大（1655）。他對此解釋道：因為時，。而負數 故。 英國著名代數學家德·摩根在1831年仍認為負數是虛構的。他用以下的例子說明這一點：“父親56歲，其子29歲。問何時父親的年齡將是兒子的2倍？”他列方程56 + x = 2（29 + x），開解得x = －2。他稱此解是荒唐的。

19、 當然，歐洲在18世紀排斥負數的人已經不多了。隨著19世紀整數的理論基礎的建立，負數在邏輯上的合理性才真正確立。,3.3.2無理數,公元前5世紀， 圖3.5 黃金比的幾何作圖法(一)畢德哥拉斯學派發(fā)現了一些直角三角形的三邊不能用整數或整數之比來表示的事實,,圖3.6黃金比的幾何作圖法(二)在古希臘幾何學家試圖作正五邊形時,就曾遇到過一個有趣的無理數。為了作正五邊形，只要能作出360的角即可，因為這個角的二倍（即720的角）

20、是圓內接正五邊形一邊所對的圓心角。于是問題轉化為作頂角為360的等腰三角形。為此，如圖3.5中，設AC平分底角OAB。這時，OC=AC=AB，且△BAC與△AOB相似。 取OA=1，設AB=x，于是有AB/BC=OA/AB，x/（1－x）=1/x，即 x2+x－1=0。由此得到x=（－1）/2。運用古希臘尺規(guī)作圖的方法，不難作出這樣的x：,,如圖3.6所示，其中OA=1， MO=1/2，因而AM= /2，以及AB=AN=

21、AM－MN=（－1）/2=x。這里的無理數x被稱為“黃金比”（有的資料上把它的倒數（+1）/2≈1.618稱為“黃金比”），它在自然界中，以及在科學和藝術中，處處都會出現。它是早期被發(fā)現的無理數之一。,,第一次數學危機與古希臘數學家歐道克索斯的“量”理論 無理數最早出現在中國《九章算術》中時，絲毫沒有引起人們的異議。《九章算術》的開方術中說：“若開不盡者，為不可開，當以面命之?！?有理數和無理數的小數表達式,任何有理數都具有一個

22、有限的或循環(huán)的小數表達式，反之，任何有限的或循環(huán)的小數表達式都表示一個有理數。而無理數的小數表達式是無限不循環(huán)的；反之，任何無限不循環(huán)小數表達式都表示一個無理數。重要的性質：在任何兩個不同的正無理數之間都存在一個有理數。事實上，如果a和b（o＜a＜b）表示兩個無理數，且它們的小數表達式為a=a0.a1a2… 和 b=b0。b1b2…，設i是使得an≠bn（n=0，1，2，…）的第一個n值。于是，c= b0。b1b2…bi就是

23、a和b之間的一個有理數。,3.3.3復數,虛數是負數開平方的產物，它是在代數方程求解過程中逐步為人們所發(fā)現的 公元三世紀的丟番圖只接受正有理根而忽略所有其它根，當方程兩個負根或虛根時，他就稱它是不可解的。 十二世紀印度的婆什伽羅指出：“負數沒有平方根，因為負數不可能是平方數” 卡當（1545）解方程得到根和。這使卡當迷惑不解，并稱負數的平方根是“虛構的”、“超詭辯的力量”。 17世紀，盡管用公式法解方程時經常產

24、生虛數，但是對它的性質，當時仍沒有認識。萊布尼茲說：“那個我們稱之為虛的－1的平方根，是圣靈在分析奇觀中的超凡顯示，是介于存在與不存在之間的兩棲物，是理想世界的瑞兆?！?用幾何的直觀來認識復數,英國數學家瓦里士（1685）用幾何直觀表示實數系二次方程復根的方法：畫一條數軸，將根的實部在數軸上表示為一點，在此點處做一線段垂直于數軸，其長度等于的系數，即表示根的虛部。 丹麥數學家韋塞爾（1788年）做了改進：在已有數軸上，做與之垂直的

25、虛軸，并以為單位，這樣就建立了復平面，對于每個復數a+bi，都對應著一個由坐標原點出發(fā)的向量。韋塞爾用幾何方法的向量運算規(guī)定了復數的四則運算，這些定義在現今的教材中也仍保留著。 高斯在（1811年）提出a+bi可用點（a, b）表示，并于1831年闡述了復數的幾何加法與乘法。同時他指出，在這個幾何表示中人們可以看到復數的直觀意義已完全建立起來。復數的幾何表示促使人們改變了對虛數的神秘印象，成為直觀上可以接受的數學對象。,復數的公理

26、化定義,1837年英國數學家哈密頓指出，復數a+bi實數的有序偶（a, b），i在復平面上可表示為（0，1），用有序偶給出四則運算的定義，在這種定義下，通常的結合律、交換律及分配律，都能用實數的有序偶推導出來,3.3.4四元數,利用“域擴張”的方法，尋找新的數域――超復數域。 哈密頓的嘗試――從三元數到四元數 “模法則”：兩個數(a +bi + cj)、（x + yi + zj）相乘得到一個新數，它所對應的（三維空間）向量的長，

27、恰好是原先兩數所對應的向量的長的積。即對于 (a2 + b2 + c2)與(x2 + y2 + z2)，是否可以找到(u, v, w),使得(a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = u2 +v2 +w2。 此前，勒讓德就舉例說明模法則在三元數域中不可能成立：3 = 1 + 1 + 1 及21 = 16 + 4 + 1都可以表示為三個平方數的和，可是3×21 = 63卻不能表示為三個平方數的和。理

28、由是：凡是形如8n + 7的整數都不能表示為三個平方數的和。,布爾罕橋上的頓悟——i2=j2=k2=ijk=－1。,哈密頓經歷了十五年鍥而不舍的努力，終于使一個新的超復數域誕生了。這種四元數也像實數和復數那樣可以施行加、減、乘、除的運算，但是卻不能滿足乘法交換律。正如我們已經看到的，ij ≠ ji。,超復數域的發(fā)展,“八元數”，這是一種包含四元數的新數，不能滿足乘法結合律。 利用公理化方法構造數系 “2n元數”，并且證明了： n

29、 = 4且滿足“模法則”的數是不存在的（1848年） 能保持普通代數所有基本性質不變，而比復數域更大的數系是不具備這些基本性質的。（維爾斯特拉斯，1861年） 能滿足除乘法交換律之外的一切代數基本性質的超復數域，只有四元數一種（弗羅賓紐斯，1878年） 能施行加、減、乘、除的數系只有四種，他們分別是一維的實數域、二維的復數域、四維的四元數域及八維的八元數域（1958年）,3.4 數系的公理化,復數、微積分、幾何學的理論

30、的邏輯基礎都建立在實數系上。 人們用公理化方法建立實數的邏輯基礎，即實數系自身的嚴密化—— “分析的算術化”過程。在三個方面取得了進展：（1）運用公理化的方法，使實數建立在自然數系的基礎之上；（2）康托的基數序數理論，將自然數建立在集合論的基礎之上；（3）邏輯學家力圖從邏輯命題演算的基礎上導出集合論，將數學建立在純邏輯的基礎之上。這種方法尚未取得完美的結果。,3.4.1戴德金分割,無理數的邏輯定義（戴德金1872年）：將有理數集合

31、劃分成兩個非空集合A和，使得A中的任意的數都小于中的任一數。A和的分割記為。這樣的分割可能產生三種情況，（1）在A中沒有最大的數，而中有最小的數r；（2）在A中有最大的數r，而在中沒有最小的數；（3）在A中沒有最大的數，在中也沒有最小的數。在前面兩種情況中，分割產生有理數，或者說分割界定了有理數。在第三種情況中，界數不存在，分割不能界定任何有理數。這時規(guī)定：任何屬于第三種情況的分割就界定了一個無理數。,3.4.2自然數公理,“皮亞諾公理

32、”：（1）1是一個自然數。（2）每一個確定的自然數a，都有一個確定的后繼數，而也是一個自然數。（3）1不是任何自然數的后繼數，即1≠。（4）一個數只能是某一個數的后繼數，或者根本不是后繼數，即由=，一定能推得a = b。（5）任何一個自然數的集合，如果包含1，并且假設包含a，也一定包含a的后繼數，那么這個集合就包含所有的自然數?！?上帝創(chuàng)造自然數；其余一切都是人為的?！肆_內克）,3.5 超限基數,無限是整個數學的基

33、礎。 無限是許多怪事和悖論棲身之處 如，芝諾悖論，表述第五公設的表述，無窮小量（第二次數學危機） 希爾伯特說：“自古以來，沒有別的問題象無限這樣深深地激動過人的情緒，沒有別的想法象它這樣富有成效地煥發(fā)過人的精神。同時，沒有別的概念象它這樣迫切需要澄清。”,3.5.1一一對應方法與可列集,定義：如果能根據某一法則使集合M與集合N中的元素建立一一對應，那么M與N等價（按現代數學家的語言：稱M與N“等勢”或具有“相同基數

34、”）。 例如，偶數集E與自然數集N、整數集Z與自然數集N的一一對應可以定義為：當n∈N，有E中元2 n與之對應； 當n∈N，有Z中與之對應。,,定義：能與自然數集 N 構成一一對應關系的集合，就稱為可列集或可數集。記為 。如， 。,,證明有理數集Q也是可列集（采用對角線的對應方法）,,,定理：如果有可數個可列集A1,A2,A3,…，則它們的并集仍舊是可列集。,事實上，不妨假定對于任何i、j，Ai和Aj沒

35、有共同元素。我們現在對A1,A2,A3,…的元素編號如下：A1：a11①，a12②，a13④，a14⑦，…A2：a21③，a22⑤，a23⑧…A3：a31⑥，a32⑨…A4：a41⑩，………對于固定k,Ak的元素形如：ak1,a k2,a k3,… 。我們定義一一對應F：{1，2，3，…} 其中F (1) = a 11, F (2) = a 12 ,F (3) = a21 , F (4) = a 13, F (5)

36、= a 22, F (6) = a 31,F (7) = a 14, …, 從上圖可以直觀看出這個映射是一一對應。因此，仍舊是可數集。 由以上的性質可以知道Q一定是可數集。,,定義：有限集合不能通過一一對應映射到自己的真子集合上，而無窮集合卻可以通過一一對應映射到自己的真子集合上。例如上面講到的，整數集合可以映入偶數集合。而偶數集合顯然是整數集合的真子集合。,3.5.2實數集R是不可列的,證明（0，1）是不可列的。將（0，1）上的實

37、數用小數表示，若它們是可列的， a1 = 0. a11 a12 a13…，a2 = 0. a21 a22 a23…， ak= 0.ak1 ak2…。選實數Z = 0.b1 b2…，定義bk = 由于至少對于第k位，bk≠akk，則Z≠ak (k∈N)。所以(0,1)是不可列的。 于是，康托把（0，1）區(qū)間作為一個新的、更大超限基數的標準，其基數用C（英文“連續(xù)統”一詞第一個字母）表示。,,R與（0，1）的一一對應

38、關系可表示為y x∈(0,1) 所以R與（0，1）的基數均為C， 證明，無理數集合也是不可列集。事實上，R是由實數集與無理數集的并集構成的。如果無理數集是可列集，那么由上節(jié)康托定理可得，R是可列的。這顯然矛盾。,3.5.3超限基數比大小,定義 若集合A與B的某一子集間存在一一對應關系，則。設，若A與B間無一一對應關系，則定理：若 且 則。奇異的命題如，二維平面上點的個數與一維直線上點的個數一樣多平面上全部點，以

39、及三維立方體中的點，都只有基數C,3.6 發(fā)展數感,“發(fā)展數感”的課程目標。在《標準》中對數感的學習的目標規(guī)定為： “理解數的意義；能用多種方法來表示數；能在具體情景中把握數的相對大小關系；能用數來表達和交流信息；能為解決問題而選擇適當的算法；能估計運算結果；并對結果的合理性做出解釋?！?,印度近代數學家拉馬努金（1887—1920）具有對數字敏銳的洞察能力 1729是能用兩種方法表示成兩個整數立方和的最小整數。它等于13+123