第十一章-模糊數學方法及其應用

1、第十一章 模糊數學方法及其應用,模糊數學是用數學方法研究和處理具有“模糊性”現象的數學。所謂的模糊性主要是指客觀事物差異的中間過渡界線的“不分明性”。如儲層的含油氣性、油田規(guī)模的大小，成油地質條件的優(yōu)劣，圈閉的形態(tài)，巖石的顏色等。這些模糊變量的描述或定義是模糊的，各變量的內部分級沒有明顯的界線。地質作用是復雜的，對其產生的地質現象有些可以采用定量的方法來度量，有些則不能用定量的數值來表達，而只能用客觀模糊或主觀模糊的準則進行推斷或識

2、別。1965年美國控制論專家 L.A.Zadeh 提出,這一概念后，模糊數學得到迅速發(fā)展并應用到各個領域，地學種主要用于礦產資源評價，各種地質現象的分類、識別、決策和模擬。,在此介紹油氣勘探中常用的模糊聚類分析和模糊識別。,§1 模糊聚類分析,模糊聚類分析是在模糊相似矩陣的基礎上，對分類對象進行定量分類的方法。,一、數據標準化,1.原始數據 設論域U是n個被分類對象構成的集合,每個對象又有m個描述對象特征的變量,

3、它們的觀測值構成原始數據矩陣：,,2.極差正規(guī)化,求模糊矩陣時要求將數據壓縮到區(qū)間[0,1]上，為此對原始數據進行極差正規(guī)化處理。,極差是變量觀測值的最大值與最小值之差，即,,極差正規(guī)化是變量的每個觀測值減去觀測值的最小值再除以極差。變換公式為：,,,由上可知，對原始數據正規(guī)化處理以后，變量最大值為1，最小值為0，即新數據在區(qū)間[0,1]內。,二、模糊相似矩陣,模糊相似矩陣是進行模糊聚類的基礎。下面介紹建立模糊相似矩陣的常用方法。,,(

4、1)數量積法,1.相似系數法,其中,,(2)夾角余弦法 見相似性度量聚類中的相似系數。,(3)相關系數法 見相似性度量聚類中的相關系數。,符號 “?”和“?”分別表示兩個元素取小和取大。,(5)算術平均最小法,(4)最大最小法,2.距離法,,上述(4)、(5)、(6)三種方法要求 ,否則,要進行適當變換。,(6)幾何平均最小法,(1)絕對值倒數法,,適當選取M，使得 。,

5、(2)歐氏距離 見相似性度量聚類中的相似系數。,建立模糊相似矩陣的其他方法，就不再介紹了。,(3)切比雪夫距離,三、聚類,,,,,1.模糊等價矩陣,,,,給定U上的一個模糊關系 ,若它滿足: (1)自反性（ =1）； (2)對稱性（ ）； (3)傳遞性（ ）；則稱R是U上的一個

6、模糊等價矩陣。,式中“○”表示矩陣的合成運算，類似矩陣乘法運算，但要將元素的相乘改為求最小值、相加改為求最大值。,*相似性度量的相關、相似系數矩陣滿足自反性和對稱性，但不一定滿足傳遞性。 *對于傳遞性,可先計算R○R(記作 ),然后看其是否滿足傳遞性。若不滿足,經過,2.模糊等價矩陣的λ截矩陣,,,,,設 是模糊等價矩陣，對任意λ∈[0,1]，稱 為

7、 的λ截矩陣，其中,,3.分類 由模糊等價矩陣的λ截矩陣可知，當 時，i與j應為同類，否則為異類。讓λ由大到小變化，可形成動態(tài)聚類圖。,…運算,可將R改造成滿足傳遞性的模糊等價矩陣。,,,對于不同的λ∈[0,1]，可得不同的分類方案，從而形成一種動態(tài)聚類圖。這對全面了解對象的分類情況是比較形象和直觀的。但有的實際問題需要選擇某個閥值λ，確定一個具體的分類，這就是確定閥值λ的為題。,二、

8、最佳閥值λ的確定,在動態(tài)聚類過程中，調整λ的值以得到適當的分類。另外，也可由熟悉專業(yè)的專家確定閥值λ，得到閥值λ水平上的分類。,1.按實際需要確定,設對應于λ的分類數為r，第j類的樣品數為nj，第j類的樣本記為： ，第j類的聚類中心為向量:其中 為第j類中第k個變量的平均值：,2.用F-統(tǒng)計量確定λ的最佳值,,,其中為 與 的距離，

9、 為第j類中樣品 與 距離。,定義F-統(tǒng)計量為:,F越大，表明類間的差異越大,分類效果就越好。,,假設各類差異不明顯，對于給定的檢驗水平α，查Fα(r-1，n-r)分布表，得臨界值Fα，若F>Fα，則認為各類之間有明顯的差異。,F服從自由度為r-1，n-r的F分布。,粗略地講，模型識別就是根據研究對象具有的某些特征對其進行識別并歸類。如采集的一個植物標本識別它屬于哪一綱那一目；又如撥打一個電話，

10、識別對應的電話機。這種模型識別具有2個本質的特征：,§1 模糊模型識別,一、基本概念,① 事先已知若干標準模型（稱為標準模型庫），模型具有明顯的界線；,1. 模型識別,模糊模型識別是指標準模型庫中的模型是模糊的(模型間沒有明顯的界線）。如據電測或氣測資料，建立的儲層含油氣性（油層、油氣層、油水同層、氣層、含水油層、干層等）標準模型庫，又如由不同沉積相巖樣觀測值構成的巖樣標準模型庫，它們中的模型都是模糊的。因此，根據測井信息

11、或者巖樣的觀測值判斷鉆穿儲層的含有氣性或者巖樣的沉積相是一個模糊集對標準模糊集的識別問題。,對于這類模型識別問題，可據模型的界線對待識別對象進行歸類。,② 有待識別歸類的對象，并且它所屬的類必然是若干標準模型之一。,2. 模糊模型識別,為了解決上述問題，需要一個度量模糊集與標準模糊集靠近程度的指標，這就是下面介紹的： 隸屬度和貼近度。,(1)模糊向量及其內外積 若0

12、≤ai≤1(i=1,2,…,n),則稱向量a=(a1,a2,…,an)為模糊向量。,二、隸屬度和貼近度,1.隸屬度,為向量a與b內積和外積。,設a，b是模糊向量，則分別稱：,,符號 “?”和“?”分別表示兩個元素取小和取大。,,、 —和取大、取小運算,示例：,,設,,,,,設 是論域U上的n個模糊子集，稱以模糊集 為分量的模糊向量為模糊向量集合族，記為:,(2)模糊向量集合族,(3)

13、隸屬度,設論域U上有n個模糊子集 ,其隸屬函數為 ,當 為模糊向量集合族， 為普通向量時，則：,為 對 的隸屬度。,基于不同考慮，隸屬度也有其他的定義形式，如：應用模糊數學方法的關鍵是建立符合實際的隸屬函數，但它是目前尚未完全解決的問題。我國的汪培莊教授提出的隨機集落影理論對于相當一部分模糊集的隸屬函

14、數的客觀實在性給出了滿意的解釋，基于這一理論的模糊統(tǒng)計方法是確定一類模糊集隸屬度的有效方法?，F確定隸屬函數的方法有模糊統(tǒng)計法、指派法、借用已有尺度法等。,(4)最大隸屬度原則,原則Ⅰ: 設論域 上有m個模糊子集 ( 即m個模型)，構成一個標準模型庫，若對任一 ，有 ，使得則認為 隸屬于 。,為便于理解，下面給出兩個應用的例子：

15、,解決這個問題，要先建立模糊集 的屬函數。有人用指派法建立了論域U=[0,100]的 的隸屬函數為：,原則Ⅰ的例子。 ①在論域U=[0,100](分數)上確定三個代表學習成績的模集糊 =“優(yōu)”， =“良”， =“差”。當**的數學成績?yōu)?8分時，該同學的數學成績該評為優(yōu)、良、還是差？,把x=88分別代入上述三個隸屬函數，得據原則Ⅰ，88分相對三個模型應隸屬于 ，即可評為優(yōu)。,,,,,,原則Ⅱ的

16、例子,②設論域 （三名學生的學習成績)，在U上確定以一個模糊集 =“優(yōu)”，若三個學生的英語成績分別為 ，現據英語成績從三名學生中招聘一人做教師，應優(yōu)先招聘誰？,由計算結果可知，第三位同學的成績最靠近優(yōu)。據原則Ⅱ應首先聘任第三位同學。,,,,(2)擇近原則 設論域U上有m個模糊子集

17、 構成一個標準模型庫 為待識別的對象。若存在 使得：,2.貼近度及其擇近原則,(1)貼近度 貼近度是描述模糊集之間彼此靠近程度的指標，是我國學者汪培莊教授提出來的。由于研究的問題不同，貼近度也有不同的定義形式，它的一般定義為：,設A，B是論域U上的兩個模糊子集，則稱為A與B的貼近度。,,(3)實用貼近度 下面是幾個在實

18、際工作中實用的貼近度計算公式：,例1 茶葉的模型識別 設論域U={茶葉}，茶葉等級標準模型庫，待識別的茶葉樣品為B，衡量茶葉質量指標為：條索、色澤、凈度、湯色、香氣和滋味。模型庫與樣品的有關數據如右表：,三、應用,按擇近原則, 。,上述兩種計算貼近度公式，計算數值不同，但歸類果一樣，為什么，那一種更好？,茶葉樣品 。,,,(1) 建立標準模式庫 在

19、試油證實的油層、油水同層、含油水層、油氣層、干層等各取若干個樣品，每個以樣品都有相同的氣測指標。各類氣測指標的平均值構成論域 ， 是論域U上的模糊子集，一種氣測指標就是U上的一個模糊變量。,例2 識別儲層含油氣性,在樁海地區(qū)試油證實的層位中，取油層樣品10個、油水同層樣品7個、含油水層樣品14個、干層樣品12個。由上述43