初等數論-緒論 (1)

1、歡迎你參加,初等數論的學習,2024/3/21,阜陽師范學院 數科院,2,緒 論,2024/3/21,阜陽師范學院 數科院,3,,一 初等數論及其主要內容,數論是研究整數性質的一門很古老的數學分支，其初等部分是以整數的整除性為中心的，包括整除性、不定方程、同余式、連分數、素數（即質數）分布 以及數論函數等內容，統稱初等數論（elementary number theory）。 初等數論是數論中不求助于其他數學學科的幫助，只

2、依靠初等的方法來研究整數性質的分支。,2024/3/21,阜陽師范學院 數科院,4,數論中的一些簡單問題,(123456+234561+345612+456123+561234+612345)÷6,例2.11112222個棋子排成一個大長方形，每一橫行的棋子數比每一直行的棋子數多一個，這個長方陣每一橫行有棋子_________個。,例3.狐貍在跑道上跳遠，每次跳遠150CM從起點開始每隔130CM設一個陷阱，問狐貍跳了

3、幾次后掉進井中？,例1. 計算,例4：71427和19的積被7整除是幾？,2024/3/21,阜陽師范學院 數科院,5,自古以來，數學家對于整數性質的研究一直十分重視，初等數論的大部份內容早在古希臘歐幾里德的《幾何原本》（公元前3世紀）中就已出現。歐幾里得證明了素數有無窮多個，他還給出求兩個自然數的最大公約數的方法，即所謂歐幾里得算法。我國古代在數論方面亦有杰出之貢獻，現在一般數論書中的“中國剩余定理”，正是我國古代《孫子算經》中的下

4、卷第26題，我國稱之為孫子定理。 近代初等數論的發(fā)展得益於費馬、歐拉、拉格朗日、勒讓德和高斯等人的工作。1801年，德國數學家高斯集中前人的大成，寫了一本書叫做《算術探究》，開始了現代數論的新紀元。高斯還提出：“數學是科學之王，數論是數學之王”。,二 數論的發(fā)展史,2024/3/21,阜陽師范學院 數科院,6,由于自20世紀以來引進了抽象數學和高等分析的巧妙工具，數論得到進一步的發(fā)展，從而開闊了新的研究領域，出現了代數數

5、論、解析數論、幾何數論等新分支。而且近年來初等數論在計算機科學、組合數學、密碼學、代數編碼、計算方法等領域內更得到了 廣泛的應用，無疑同時也促進著數論的發(fā)展。,2024/3/21,阜陽師范學院 數科院,7,三 幾個著名數論難題,初等數論是研究整數性質的一門學科，歷史上遺留下來沒有解決的大多數數論難題其問題本身容易搞懂，容易引起人的興趣，但是解決它們卻非常困難。,其中，非常著名的問題有：哥德巴赫猜想 ；費爾馬大定理 ；孿生素

6、數問題 ；完全數問題等。,2024/3/21,阜陽師范學院 數科院,8,1742年,由德國中學教師哥德巴赫在教學中首先發(fā)現的。1742年6月7日，哥德巴赫寫信給當時的大數學家歐拉,正式提出了以下的猜想： 一個大于6的偶數可以表示為不同的兩個質數之和。 陳景潤在1966年證明了“哥德巴赫猜想”的“一個大偶數可以表示為一個素數和一個不超過兩個素數的乘積之和”〔所謂的1+2〕，是篩法的光輝頂點，至今仍是“哥德巴赫猜想”的最好結果。,

7、1、哥德巴赫猜想：,2024/3/21,阜陽師范學院 數科院,9,2、費爾馬大定理：,費馬是十七世紀最卓越的數學家之一，他在數學許多領域中都有極大的貢獻，因為他的本行是專業(yè)的律師，世人冠以“業(yè)余王子”之美稱。在三百七十多年前的某一天，費馬正在閱讀一本古希臘數學家戴奧芬多斯的數學書時，突然心血來潮在書頁的空白處，寫下一個看起來很簡單的定理。,經過8年的努力，英國數學家 安德魯·懷爾斯 終于在1995年完成了該定理的證

8、明。,2024/3/21,阜陽師范學院 數科院,10,3、孿生素數問題,存在無窮多個素數 p, 使得 p+2 也是素數。,究竟誰最早明確提出這一猜想已無法考證，但是1849年法國數學 Alphonse de Polignac 提出猜想：對 于任何偶數 2k, 存在無窮多組以2k為間隔的素數。對于 k=1，這就是孿生素數猜想，因此人們有時把 Alphonse de Polignac 作為孿生素數猜想的提出者。不同的 k

9、對應的素數對的命名也很有趣，k=1 我們已經知道叫做孿生素數； k=2 (即間隔為4) 的素數對被稱為 cousin prime ；而 k=3 (即間隔為 6) 的素數對竟然被稱為 sexy prime (不過別想歪了，之所以稱為 sexy prime 其實是因為 sex 正好是拉丁文中的 6。),2024/3/21,阜陽師范學院 數科院,11,4、最完美的數——完全數問題,下一個具有同樣性質的數是28, 28=1+2+4+7+1

10、4.接著是496和8128.他們稱這類數為完美數. 歐幾里德在大約公元前350-300年間證明了:,注意以上談到的完全數都是偶完全數,至今仍然不知道有沒有奇完全數。,完美數又稱為完全數,最初是由畢達哥拉斯的信徒發(fā)現的,他們注意到,數6有一個特性,它等于它自己的因子(不包括它自身)的和， 如：6=1+2+3.,2024/3/21,阜陽師范學院 數科院,12,四、我國古代數學的偉大成就,公元前100多年，漢朝人撰，是一部既談天

11、體又談數學的天文歷算著作，主要討論蓋天說，提出了著名的“勾三股四弦五”這個勾股定理的一個特例。,1、周髀算經,2、孫子算經 約成書于四、五世紀，作者生平和編寫年代都不清楚?，F在傳本的《孫子算經》共三卷。卷上敘述算籌記數的縱橫相間制度和籌算乘除法則，卷中舉例說明籌算分數算法和籌算開平方法。卷下第31題，可謂是后世“雞兔同籠”題的始祖，后來傳到日本，變成“鶴龜算”。,2024/3/21,阜陽師范學院 數科院,13,具

12、有重大意義的是卷下第26題：今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？《孫子算經》不但提供了答案，而且還給出了解法。南宋大數學家秦九韶則進一步開創(chuàng)了對一次同余式理論的研究工作，推廣“物不知數”的問題。德國數學家高斯﹝1777-1855﹞于1801年出版的《算術探究》中明確地寫出了上述定理。1852年，英國基督教士偉烈亞士將《孫子算經》中物不知數問題的解法傳到歐洲，1874年馬蒂生指出孫子的解法

13、符合高斯的定理，從而在西方的數學史里將這一個定理稱為“中國剩余定理” 。,2024/3/21,阜陽師范學院 數科院,14,周髀算經,孫子算經,2024/3/21,阜陽師范學院 數科院,15,1983年在湖北省江陵縣張家山，出土了一批西漢初年，即呂后至文帝初年的竹簡，共千余支。經初步整理，其中有律令、《脈書》、《引書》、歷譜、日書等多種古代珍貴的文獻，還有一部數學著作，據寫在一支竹簡背面的字跡辨認，這部竹簡算書的書名叫《算

14、數書》。 《算數書》是中國現已發(fā)現的最古的一部算書，大約比現有傳本的《九章算術》還要早近二百年，而且《九章算術》是傳世抄本或刊書，《算數書》則是出土的竹筒算書，屬于更可珍貴的第一手資料，所以《算數書》引起了國內外學者的廣泛關注，目前正在被深入研究之中。,3、算數書,2024/3/21,阜陽師范學院 數科院,16,《數術記遺》相傳是漢末徐岳所作，亦有數學史家認為本書是北周甄鸞自著。 《數術記遺》把大數的名稱按

15、不同的涵義排列三個不同的數列，另一部份是關于一個幻方的清楚的說明，它成為數論中這一發(fā)現的最古的文字記載之一，書中至少提到了四種算盤，因此它是談到算盤的最古老的書籍。,4、數術記遺,2024/3/21,阜陽師范學院 數科院,17,算數書,數術記遺 中的算盤,2024/3/21,阜陽師范學院 數科院,18,根據研究，西漢的張蒼 、耿壽昌曾經做過增補和整理，其時大體已成定本。最后成書最遲在東漢前期。九章算術將書中的所有數學問題

16、分為九大類，就是“九章”。 三國時期的劉徽為《九章》作注，加上自己心得體會，使其便于了解，可以流傳下來。 唐代的李淳風又重新做注(656年)，作為《算數十經》之一，版刻印刷，作為通用教材。,5、九章算術,2024/3/21,阜陽師范學院 數科院,19,《九章算術》的出現，標志著我國古代數學體系的正式確立，當中有以下的一些特點：1.是一個應用數學體系，全書表述為應用問題集的形式；2.以算法為主要內容，全書以問

17、、答、術構成，“術”是主要需闡述的內容；3.以算籌為工具。 《九章算術》取得了多方面的數學成就，包括：分數運算、比例問題、雙設法、一些面積、體積計算、一次方程組解法、負數概念的引入及負數加減法則、開平方、開立方、一般二次方程解法等。《九章算術》的思想方法對我國古代數學產生了巨大的影響。自隋唐之際，《九章算術》已傳入朝鮮、日本，現在更被譯成多種文字。,2024/3/21,阜陽師范學院 數科院,20,6、海島算經

18、 《海島算經》由三國劉徽所著，最初是附于他所注的《九章算術》（263）之后，唐初開始單行，體例亦是以應用問題集的形式。 全書共9題，全是利用測量來計算高深廣遠的問題，首題測算海島的高、遠，故得名?！逗u算經》是中國最早的一部測量數學事著，亦為地圖學提供了數學基礎。,2024/3/21,阜陽師范學院 數科院,21,2024/3/21,阜陽師范學院 數科院,22,7、算經十書 　 唐代國子監(jiān)內設立算學館，置

19、博士、助教指導學生學習數學，規(guī)定《周髀算經》、《九章算術》、《孫子算經》、《五曹算經》、《夏侯陽算經》、《張丘建算經》、《海島算經》、《五經算術》、《綴術》、《緝古算經》十部算經為課本，用以進行數學教育和考試，后世通稱為算經十書．算經十書是中國漢唐千余年間陸續(xù)出現的十部數學著作．北宋時期（1084年），曾將一部算經刊刻發(fā)行，這是世界上最早的印刷本數學書．（此時《綴術》已經失傳，實際刊刻的只有九種）。,2024/3/21

20、,阜陽師范學院 數科院,23,8、測圓海鏡《測圓海鏡》由中國金、元時期數學家 李冶所著，成書于1248年。全書共有12卷，170問。這是中國古代論述容圓的一部專箸，也是天元術的代表作。《測圓海鏡》所討論的問題大都是已知 勾股形而求其內切圓、旁切圓等的直徑一類的問題。在《測圓海鏡》問世之前，我國雖有文字代表未知數用以列方程和多項式的工作，但是沒有留下很有系統的記載。李冶在《測圓海鏡》中系統而概栝地總結了天元術，使文詞代數開始演變成符

21、號代數。 所謂天元術，就是設“天元一”為未知數，根據問題的已知條件，列出兩個相等的多項式，經相減后得出一個高次方式程，稱為天元開方式，這與現代設x為未知數列方程一樣。歐洲的數學家，到了16世紀以后才完全作到這一點。,2024/3/21,阜陽師范學院 數科院,24,測圓海鏡,2024/3/21,阜陽師范學院 數科院,25,五、國外古代數學家及數學成果,1、萊因德紙草書 《萊因德紙草書》﹝Rhind Papyrus﹞是公元前1

22、650年左右的埃及數學著作，屬于世界上最古老的數學著作之一。作者是書記官阿默斯。內容似乎是依據了更早年代﹝1849 B.C. ─1801 B.C.﹞的教科書，是為當時的包括貴族、祭司等知識階層所作，最早發(fā)現于埃及底比斯的廢墟中。公元1858年由英國的埃及學者萊因德﹝A. H. Rhind﹞購得，故名?，F藏于倫敦大英博物館。該紙草書全長544厘米，寬33厘米。,2024/3/21,阜陽師范學院 數科院,26,紙草書主要內容

23、有分數的分解：,分數的乘法運算；等差、等比數列的問題；圓、正方形、等腰三角形、等腰梯形的面積；體積計算；金字塔問題；比例問題等。,萊因德紙草書是了解埃及數學的最主要依據。它準確反映了當時埃及的數學知識狀況，其中鮮明地體現了埃及數學的實用性。對我們應該如何看待數學的起源問題有很大的啟發(fā)。,2024/3/21,阜陽師范學院 數科院,27,公元前3世紀，古希臘數學家歐幾里得在前人工作的基礎之上，對希臘豐富的數學成果進行了收集

24、、整理，用命題的形式重新表述，對一些結論作了嚴格的證明。他最大的貢獻就是選擇了一系列具有重大意義的、最原始的定義和公理，并將它們嚴格地按邏輯的順序進行排列，然后在此基礎上進行演繹和證明，形成了具有公理化結構的，具有嚴密邏輯體系的《幾何原本》。,2、幾何原本,2024/3/21,阜陽師范學院 數科院,28,《幾何原本》是歐幾里得的一部不朽之作，是當時整個希臘數學成果、方法、思想和精神的結晶，其內容和形式對幾何學本身和

25、數學邏輯的發(fā)展有著巨大的影響。自它問世之日起，在長達二千多年的時間里一直盛行不衰。它歷經多次翻譯和修訂，自1482年第一個印刷本出版后，至今已有一千多種不同的版本。,2024/3/21,阜陽師范學院 數科院,29,《幾何原本》按照公理化結構，運用了亞里士多德的邏輯方法，建立了第一個完整的關于幾何學的演繹知識體系。所謂公理化結構就是：選取少量的原始概念和不需證明的命題，作為定義、公設和公理，使它們成為整個體系的出發(fā)點和邏

26、輯依據，然后運用邏輯推理證明其他命題?！稁缀卧尽烦蔀榱藘汕Ф嗄陙磉\用公理化方法的一個絕好典范。 它的影響之深遠．使得“歐幾里得”與“幾何學”幾乎成了同義語。它集中體現了希臘數學所奠定的數學思想、數學精神，是人類文化遺產中的一塊瑰寶。,2024/3/21,阜陽師范學院 數科院,30,3、算術 公元3世紀，古希臘數學家丟番圖的著作《算術》是關于代數的一部最早的巨著，涉及代數數論的解析處理問題，代表了古希臘代數思

27、想的最高成就。 并且，這部著作中引用了許多縮寫符號，如未知量及其各次冪用S、△r、Kr、△r△、△Kr、KrK等符號。無論從內容與形式上講，這種完全脫離幾何的特征，與當時古希臘歐幾里得幾何盛行的時尚大異其趣。因此，丟番圖的《算術》雖然代表了古希臘代數學的最高水平，但是它遠遠超出了同時代人，而不為同時代人所接受，很快就被湮沒，沒有對當時數學的發(fā)展產生太大的影響。,2024/3/21,阜陽師范學院 數科院,31,直到

28、15世紀《算術》被重新發(fā)掘，鼓舞了一大批數學家在此基礎之上，把代數學大大向前推進了。首先是法國數學家蓬貝利認識到《算術》的重大價值，他的同胞韋達正是在丟番圖縮寫代數的啟示下才做出了符號代數的貢獻，到17世紀，費馬手持一本《算術》，并在其空白處寫寫畫畫，竟把數論引上了近代的軌道?！端阈g》中的不定分析，對現代數學影響也很深遠，在不同數域上，凡是涉及不定方程求解問題，現在都稱之為“丟番圖方程”或“丟番圖分析”。,2024/3

29、/21,阜陽師范學院 數科院,32,4、代數學 《代數學》由伊斯蘭數學家、天文學家花拉子莫﹝約783─約850﹞所著，該書1183年被譯成拉丁文傳入歐洲。比較流行的一種說法認為西文中“代數學”﹝Algebra﹞一詞是由阿拉伯文的拉丁轉寫al-jabr演變而來，后漸稱該書為《代數學》，一般認為該著作是近代意義下的代數學的真正肇始之作。,全書由三部分組成，第一部份講述現代意義下的初等代數；第二部份講各種實用算術問題。最后

30、列舉了大量有關遺產繼承的各種問題。全書不使用符號，而是用語言敘述。,2024/3/21,阜陽師范學院 數科院,33,5、幾何學 《幾何學》是法國數學家笛卡兒一生中所寫的惟一的數學著作。它是作為笛卡兒的名著《更好地指導推理和尋求科學真理的方法論》（簡稱《方法論》）的三個附錄之一，于1637年出版的。 《幾何學》在《方法論》中大約占100頁，共分三卷，討論的全是關于幾何作圖問題。笛卡兒在這本書中，將邏輯、代數

31、和幾何方法結合到一起，勾畫了解析幾何的方法。笛卡兒所提出的方程與曲線的思想，最終被人們所逐漸接受，并且《幾何學》也被認為是論述解析幾何的一部經典之作。,2024/3/21,阜陽師范學院 數科院,34,《幾何學》首頁,笛卡兒，1596－1650，法國哲學家、數學家、物理學家，解析幾何學奠基人之一。,2024/3/21,阜陽師范學院 數科院,35,6、幾何基礎 《幾何基礎》（Grundlagen der Geometrie

32、）是德國著名數學家希爾伯特所著，1899年初版，此后不斷再版，至1930年已出第七版。希爾伯特精確地提出公理體系應有相容性、獨立性和完備性的要求，把空間內的點、直線、平面作為不定義的概念，規(guī)定它們之間存在著關聯關系順序關系、合同關系，這些關系由五組公理得以保障：關聯公理；順序公理；合同公理；平行公理；連續(xù)公理。記述了希爾伯特為歐幾里得幾何學給出的上述公理體系的《幾何基礎》出版后，立即引起了整個數學界的關注，并視為一部

33、經典的著作。因為，希爾伯特上述工作的意義遠超出了幾何基礎的范圍，而使他成為現代公理化方法的奠基人。,2024/3/21,阜陽師范學院 數科院,36,六、學習數論的意義,本課程主要簡單介紹在初等數論研究中經常用到的若干基礎知識、基本概念、方法和技巧。,通過本課程的學習，使學生加深對整數的性質的了解，更深入地理解初等數論與其它鄰近學科的關系, 使學生掌握初等數論的基本理論和方法，為從事中小學數學有關內容的教學奠定基礎。同時，

34、培養(yǎng)學生數論理論研究的能力，將數論應用于其他學科，尤其是信息科學研究的能力。,2024/3/21,阜陽師范學院 數科院,37,數論是一門高度抽象的數學學科，長期以來，它的發(fā)展處于純理論的研究狀態(tài)，它對數學理論的發(fā)展起到了積極的作用，但多數人不清楚它的實際意義。 由于近代計算機科學和應用數學的發(fā)展，數論得到了廣泛的應用。比如在計算方法、代數編碼、組合論等方面都廣泛使用了初等數論范圍內的許多研究成果；又文獻報道，現在

35、有些國家應用“孫子定理”來進行測距，用原根和指數來計算離散傅立葉變換等。此外，數論的許多比較深刻的研究成果也在近似分析、差集合、快速變換等方面得到了應用。特別是現在由于計算機的發(fā)展，用離散量的計算方法去逼近連續(xù)量而達到所要求的精度成為可能。,2024/3/21,阜陽師范學院 數科院,38,七 主要參考書1. 王雪琴 《初等數論》 東北林業(yè)大學出版社 20022. 戎士奎 《十章數論》 貴州教育出版社 1994

36、3. 閔嗣鶴 《初等數論》 高等教育出版社 19584. 陳景潤 《初等數論》 科學出版社 19885. U?杜德利著周仲良譯《基礎數論》上?？萍汲霭嫔?19826. 潘承洞、潘承彪著《初等數論》 北京大學出版社 19997. 編委會 《初等數論》 開明出版社 1998,2024/3/21,阜陽師范學院 數科院,39,附：相關數學家,2024/3/21,阜陽師范學院 數科院,40,歐幾里得[前330年～前2

37、75年]歐氏幾何學的開創(chuàng)者 ，古希臘數學家，以其所著的《幾何原本》聞名于世。,丟番圖Diophante 246～330“代數學之父”古希臘數學家，著《算術》,2024/3/21,阜陽師范學院 數科院,41,劉徽，生于公元250年左右，三國時期數學家，是世界上最早提出十進小數概念的人，著《九章算術注》10卷；《海島算經》；《九章重差圖》.割圓術求圓面積和圓周率.,祖沖之，429─500，數學家，科學家，算出π在3.14159

38、26和3.1415927之間，求球體積公式著有《綴術》.天文歷法和機械方面的成就〔略〕。,2024/3/21,阜陽師范學院 數科院,42,宋元數學四大家,秦九韶[約1202～1261]，著《數書九章》,最重要的數學成就——“大衍總數術”[一次同余組解法]與“正負開方術”[高次方程數值解法]，在中世紀世界數學史上占有突出地位。,李冶1192～1279, 著《測圓海鏡》，主要目的就是說明用開元術列方程的方法。“開元術”與現代代

39、數中的列方程法相類似。,朱世杰[1300前后]，著《算學啟蒙》和《四元玉鑒》。《算學啟蒙》是一部通俗數學名著，曾流傳海外，影響了朝鮮、日本數學的發(fā)展?！端脑耔b》則是中國宋元數學高峰的又一個標志，其中最杰出的數學創(chuàng)作有“四元術”[多元高次方程列式與消元解法]、“垛積法”[高階等差數列求和]與“招差術”[高次內插法]。,楊輝[1250前后]，是世界上第一個排出豐富的縱橫圖和討論其構成規(guī)律的數學家。著《詳解九章算法》,《日用算

40、法》等。,2024/3/21,阜陽師范學院 數科院,43,費馬 [法]1601-1665，是數學史上最偉大的業(yè)余數學家，提出了費馬大、小定理；在坐標幾何，無窮小，概率論等方面有巨大貢獻。,哥德巴赫 1690-1764， 德國數學家；曾擔任中學教師，1725年到俄國，被選為彼得堡科學院院士.,2024/3/21,阜陽師范學院 數科院,44,歐拉1707－1783，瑞士數學家，自然科學家。是數學史上最多產的數學家，每年

41、寫出八百多頁的論文，《無窮小分析引論》、《微分學原理》、《積分學原理》等都成為數學中的經典著作。,高斯1777—1855，德國數學家、物理學家、天文學家、大地測量學家。在數論、非歐幾何、微分幾何、超幾何級數、復變函數論以及橢圓函數論等方面均有開創(chuàng)性貢獻。,2024/3/21,阜陽師范學院 數科院,45,勒讓德[法]1752～1833，在分析學、數論、初等幾何與天體力學，取得了許多成果，是橢圓積分理論奠基人之一。對

42、數論的主要貢獻是二次互反律，還是解析數論的先驅者之一.,雅可比[德]1804～1851，在偏微分方程中，引進了“雅可比行列式。對行列式理論作了奠基性的工作，在代數學、變分法、復變函數論、分析力學 、動力學及數學物理方面也有貢獻。,2024/3/21,阜陽師范學院 數科院,46,希爾伯特[德]1862～1943，他領導的數學學派是19世紀末20世紀初數學界的一面旗幟，希爾伯特被稱為“數學界的無冕之王”。著《數論報告

43、》、《幾何基礎》、《線性積分方程一般理論基礎》.,華羅庚1910—1985，是中國解析數論、矩陣幾何學、典型群、自安函數論等多方面研究的創(chuàng)始人和開拓者。以華氏命名的數學科研成果很多。被列為芝加哥科學技術博物館中當今世界88位數學偉人之一。,2024/3/21,阜陽師范學院 數科院,47,陳景潤1933－1996，主要研究解析數論，他研究哥德巴赫猜想和其他數論問題的成就，至今仍然在世界上遙遙領先。其成果也被稱之為陳