解析幾何中設而不求專題練習(含參考答案)

1、1解析幾何中設而不求專題練習解析幾何中設而不求專題練習設而不求是解析幾何的重要解題策略，在許多題目的解答中，常?？梢云鸬胶喕嬎愕淖饔谩ＴS多同學會問：什么情況下，可以通過設而不求解答問題呢？一、利用曲線與方程的關系：一、利用曲線與方程的關系：1.已知兩圓，，求兩圓的公共弦方程221:210240Cxyxy?????222:2280Cxyxy?????及弦長。解：兩圓方程相減，得，兩圓的交點坐標均滿足此方程，故此方程即為公共弦所在直240

2、xy???線方程。又圓的圓心到公共弦的距離，且（為公2C2(11)C??12455d?????22222ldr????????l共弦長），，即公共弦長為。222225lrd????25注：其中求公共弦的方程時即用到了設而不求思想。2.過圓外一點P（a，b）引圓的兩條切線，求經過兩個切點的直線方程。222ryx??解：設兩個切點分別為P1（），P2（），則切線方程為：，11yx，22yx，211PPrbyax:1??l。222PPrbya

3、x:2??l可見P1（），P2（）都滿足方程，由直線方程的定義得：，即11yx，22yx，2rbyax??2rbyax??為經過兩個切點的直線方程。二、利用圓錐曲線的定義：二、利用圓錐曲線的定義：1.已知橢圓為焦點，點P為橢圓上一點，，求。2122FF19y25x、，??3PFF21???21PFFS?1.解析：由題意知點P為橢圓上一點，根據橢圓的定義。10|PF||PF|21??再注意到求的關鍵是求出這一整體，則可采用如下設而不求的解

4、法：21PFFS?|PF||PF|21?設2211r|PF|r|PF|??，由橢圓定義得①10rr21??由余弦定理得②643cosrr2rr212221????①2－②得，12rr21?333sinrr21S21PFF21?????三、利用點差法：三、利用點差法：1.求過橢圓內一點A（1，1）的弦PQ的中點M的軌跡方程。16y4x22??解析：設動弦PQ的方程為，設P（），Q（），M（），則：)1x(k1y???11yx，22yx，0

5、0yx，①16y4x2121??②16y4x2222??3.1373231262319)1(2)(2)1(222222?????????????????kkkkkkkxxkxxkBABA解此不等式得.0131315613732222??????kkkk即于是③.31151322??kk或由①、②、③得.11513314122????kk或故k的取值范圍為)11513()3321()2133()15131(???????2.已知平面上一定

6、點C（4，0）和一定直線為該平面上一動點，作，垂足為Q，且Pxl1:?lPQ?.0)2)(2(???????????????PQPCPQPC（1）問點P在什么曲線上？并求出該曲線的方程；（2）設直線與（1）中的曲線交于不同的兩點A、B，是否存在實數k，使得以線段AB1:??kxyl為直徑的圓經過點D（0，－2）？若存在，求出k的值，若不存在，說明理由.解：（1）設P的坐標為，由得)(yx0)2()2(????PQPCPQPC（2分）∴（

7、（4分）0||4||22??PQPC0)1(4)4222?????xyx化簡得∴P點在雙曲線上，其方程為（6分）.112422??yx.112422??yx（2）設A、B點的坐標分別為、，)(11yx)(22yx由得（7分）?????????1124122yxkxy0132)3(22????kxxk，（8分）22122131332kxxkkxx???????∵AB與雙曲線交于兩點，∴△0，即0)13)(3(4422????kk解得（9分

8、）.213213???k∵若以AB為直徑的圓過D（0，－2），則AD⊥BD，∴，1???BDADkk即，（10分）1222211?????xyxy∴12121212(2)(2)0(3)(3)0yyxxkxkxxx?????????∴)12.(09323)313)(1(09)(3)1(22221212分??????????????kkkkkxxkxxk解得，故滿足題意的k值存在，且k值為.)213213(414872??????kk414