全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題不等式

1、1全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題不等式不等式證明不等式就是對(duì)不等式的左右兩邊或條件與結(jié)論進(jìn)行代數(shù)變形和化歸，而變形的依據(jù)是不等式的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)分類羅列如下：不等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì)：.00????????babababa這是不等式的定義，也是比較法的依據(jù).對(duì)一個(gè)不等式進(jìn)行變形的性質(zhì)：（1）abba???（對(duì)稱性）（2）cbcaba?????（加法保序性）（3）.00bcaccbabcaccba????????（4）).(

2、0Nnbababannnn??????對(duì)兩個(gè)以上不等式進(jìn)行運(yùn)算的性質(zhì).（1）cacbba????（傳遞性）.這是放縮法的依據(jù).（2）.dbcadcba??????（3）.dbcadcba??????（4）.00bcaddbcacdba???????含絕對(duì)值不等式的性質(zhì)：（1）.)0(||22axaaxaax????????（2）.)0(||22axaxaxaax????????或（3）||||||||||||bababa?????（三角

3、不等式）.（4）.||||||||2121nnaaaaaa?????????證明不等式的常用方法有：比較法、放縮法、變量代換法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法、構(gòu)造函數(shù)方法等.當(dāng)然在證題過(guò)程中，常可“由因?qū)Ч被颉皥?zhí)果索因”.前者我們稱之為綜合法；后者稱為分析法.綜合法和分析法是解決一切數(shù)學(xué)問(wèn)題的常用策略，分析問(wèn)題時(shí)，我們往往用分析法，而整理結(jié)果時(shí)多用綜合法，這兩者并非證明不等式的特有方法，只是在不等式證明中使用得更為突出而已.此外，具體地證明一個(gè)

4、不等式時(shí)，可能交替使用多種方法.因此，要熟練掌握不等式的證明技巧，必須從學(xué)習(xí)這些基本的常用方法基本的常用方法開(kāi)始。1比較法（比較法（比較法可分為差值比較法和商值比較法。）（1）差值比較法（原理：）差值比較法（原理：A－B＞0A＞B）例1設(shè)abc∈R，3所以只需證明，)1(1)1(1)1(1)1(1abbabbaa???????也就是證，)1)(1()1)(1(babbabaaba???????只需證b(ab)≤a(ab)，即(ab)2≥

5、0，顯然成立。所以命題成立。3綜合法綜合法例5若abc0，求證：abc≥(abc)(bca)(cab)。證明:∵(abc)(bca)=2b＞0(bca)(cab)=2c＞0(cab)(abc)=2a＞0∴abcbcacab中至多有一個(gè)數(shù)非正.(1)當(dāng)abcbcacab中有且僅有一個(gè)數(shù)為非正時(shí)原不等式顯然成立.(2)abcbcacab均為正時(shí)則????????2abcbcaabcbcab???????????同理????????abc

6、acbabcaacbc??????????三式相乘得abc≥(abc)(bca)(cab)例6已知△ABC的外接圓半徑R=1，S△ABC=，abc是△ABC的三邊長(zhǎng)，令S=，t=。求證：tS。解：由三角形面積公式:.正弦定理：asinA=2R.可得abc=1.1sin2bcA所以2t=2bc2ac2ab.由因?yàn)閍.b.c均大于0。所以2t=2a2b2c=222=2()=2s.bcacabaabcbabccabcabc所以ts。4反證法反