[武漢科技大學(xué)]武漢科技大學(xué)_信號與系統(tǒng)習(xí)題精解第2章

1、28第2章時域連續(xù)信號的頻域分析時域連續(xù)信號的頻域分析2.1本章要點(diǎn)信號具有時域特性和頻域特性，本章討論信號的頻域特性，其目的一是掌握信號頻域特性的分析，二是為系統(tǒng)的頻域分析方法作準(zhǔn)備。從本章開始由時域轉(zhuǎn)入變換域分析，頻域分析將時間變量變換成頻率變量，揭示了信號內(nèi)在的頻率特性以及信號時間特性與其頻率特性之間的密切關(guān)系，從而導(dǎo)出了信號的頻譜、帶寬以及濾波、調(diào)制和頻分復(fù)用等重要概念。1、信號的正交分解若個函數(shù)構(gòu)成一個函數(shù)集，當(dāng)這些函數(shù)在區(qū)間

2、內(nèi)滿足n)()()(21tgtgtgn?)(21tt(21)?????????2100)()(ttijijikjidttgtg式中，為一常數(shù)。則稱此函數(shù)集為在區(qū)間上的正交函數(shù)集。在區(qū)間內(nèi)ik)(21tt)(21tt相互正交的n個函數(shù)構(gòu)成正交信號空間。當(dāng)時，上述函數(shù)集就稱為是歸一化正交的。1?ik如果在正交函數(shù)集之外，不存在任何函數(shù)滿足??)()()(21tgtgtgn?)0)((??t(22)???210)()(ttidtt

3、tg?)21(ni??則稱此函數(shù)集為完備正交函數(shù)集。也就是說，如能找到一個函數(shù)使得式(26)成立，()t?即與函數(shù)集的每一個函數(shù)都正交，那么它本身就應(yīng)屬于此函數(shù)集。顯然不包含()t?()igt的集是不完備的。()t?設(shè)有個函數(shù)在區(qū)間上構(gòu)成一個正交函數(shù)集，將任一函n)()()(21tgtgtgn?)(21tt數(shù)用這個正交函數(shù)的線性組合來近似，可以表示為：)(tfn(23)?????????niiinniitgctgctgctgctgctf

4、12211)()()()()()(??應(yīng)選取系數(shù)使得實際函數(shù)與近似函數(shù)之間誤差在區(qū)間內(nèi)最小。這里“誤差最ic)(21tt小”不是指平均誤差最小，因為平均誤差很小甚至等于零時，也可能出現(xiàn)較大的正誤差與較大的負(fù)誤差在平均過程中相互抵消，以致不能正確反映兩函數(shù)的近似程度。通常選擇誤差的均方值最小。誤差的均方值也稱為均方誤差，用符號表示：2?30(214)0000002()cosd1232()sind123tTnttTntaftnttnTbft

5、nttnT???????????????????(215)000FAa??以各諧波的振幅或虛指數(shù)信號的幅度||為縱坐標(biāo)，畫出的圖形，稱之為幅度(或振nAnF幅)頻譜，簡稱幅度譜。畫出各諧波初角與頻率(或角頻率)的線圖，稱之為相位頻譜。如n?果是實的，則可以用的正負(fù)來表示為或，這時將幅度譜和相位譜畫在一個圖nFnFn?0?上。3、非周期信號的頻譜分析——傅里葉變換(216)()()1()()2jtjtFjftedtftFjed??????

6、????????????????前者是由信號的時間函數(shù)變換為頻率函數(shù)，稱為傅里葉正變換式；后者是由信號的頻率函數(shù)變換為時間函數(shù)，稱為傅里葉反變換式。也可簡記為?()Fj??()ft?(()ft?1()Fj??217)或(218)()()ftFj??非周期信號的傅里葉變換也應(yīng)該滿足一定的條件才能存在。這種條件類似于傅里葉級數(shù)的狄里赫利條件，不同之處僅僅在于時間范圍從一個周期擴(kuò)展為無限區(qū)間，條件，即要求信號f(t)在無限區(qū)間內(nèi)絕對可積。但這

7、僅是充分條件，而不是必要條件，自從引入了廣義函數(shù)的概念以后，對于許多并不滿足絕對可積條件的函數(shù)(如階躍信號、符號函數(shù)及周期信號等)，其傅里葉變換可以有確定的表示式。一般情況下，頻譜函數(shù)是一個復(fù)函數(shù)，它可以寫成(219)()()|()|jFjFje?????亦稱為幅度頻譜，它是頻率的函數(shù)，它代表信號中各頻率分量的相對大小，|()|Fj?而各頻率分量的實際幅度是，它是一無窮小量。稱為相位頻譜，它也()2Fjd???()??是頻率的函數(shù)，它代