[學習]天津大學概率論與數理統計ch

1、第二章隨機變量,隨機變量與分布函數離散型隨機變量連續(xù)型隨機變量 一維隨機變量函數的分布,,,,,一、隨機變量,,,,,,隨機變量的特點:,(1)隨機變量的全部可能取值是互斥且完備的。,(2)隨機變量的部分可能取值描述隨機事件。,14,隨機變量的分類：隨機變量,,,,,?,請舉幾個實際中隨機變量的例子,,,,,二、 隨機變量的分布函數,,,,,,,1、分布函數的概念,2、分布函數的性質,反之，具有上述三個性質的任意實函數，必定

2、是某個隨機變量的分布函數。故該三條性質是分布函數的充分必要性質。,,,,,X落入開區(qū)間或閉區(qū)間或左閉右開的概率求法,,,,,,,,,,如何利用F(x)求出X取任一指定值a的概率P{X=a}呢,2024/3/26,24,,設隨機變量X 的分布函數：,計算,例2,解,例1,2024/3/26,25,§2.2離散型隨機變量及其概率分布,定義,若隨機變量 X 的可能取值是有限個或可列個, 則稱 X 為離散型隨機變量,描述X 的概率特

3、性常用概率分布或分布律,或,即,§2.2,分布律的性質,X ~,或,F( x) 是分段階梯函數, 在 X 的可能取值 xk 處發(fā)生間斷, 間斷點為第一類跳躍間斷點,在間斷點處有躍度 pk .,其中 .,解,例1 設汽車在開往甲地途中需經 過 4 盞信號燈, 每盞信號燈獨立地 以概率 p 允許汽車通過.,首次停下時已通過的信號

4、燈盞數, 求 X 的概率分布與 p = 0.4 時的分布函數.,令 X 表示,例1,Ch2-31,(1) 0 – 1 分布,是否超標等等.,凡試驗只有兩個結果, 常用0 – 1,分布描述, 如產品是否合格、人,口性別統計、系統是否正常、電力消耗,0 < p < 1,或,(2) 二項分布,n 重Bernoulli 試驗中, X 是事件A 在 n 次試驗中發(fā)生的次數 , P (A) = p ,若,則稱 X 服從參數為n,

5、p 的二項分布，記作,0–1 分布是 n = 1 的二項分布,Ch2-33,例2: 某股票市場投資者有一份現值為25的股票，若股票的每次變化以概率0.55升1,以概率0.45降1. 每次變化是獨立的,試求5天后她賠了的概率.,,34,例3.從某大學到火車站途中有6個交通崗,假設在各個交通崗是否遇到紅燈相互獨立,并且遇到紅燈的概率都是1/3.(1)設X為汽車行駛途中遇到的紅燈數,求X的分布律.(2)求汽車行駛途中至少遇到5次紅燈的概率

6、.,解:(1)由題意,X~B(6,1/3),于是,X的分布律為:,,,,,Ch2-35,例3: 某股票市場投資者有一份現值為25的股票，如果股票降到10或升到40，她決定拋出，若股票的每次變化以概率0.55升1,以概率0.45降1. 每次變化是獨立的,試求她賠了的概率.,,三、某射手對靶射擊，單發(fā)命中概率都為0.6，現他扔一個均勻的骰子，扔出幾點就對靶獨立射擊幾發(fā)，求他恰好命中兩發(fā)的概率。,,,,,(3) Poisson 分布,若,的P

7、oisson 分布.,在某個時段內：,大賣場的顧客數；,某地區(qū)撥錯號的電話呼喚次數；,市級醫(yī)院急診病人數；,某地區(qū)發(fā)生的交通事故的次數.,①②③④⑤,一個容器中的細菌數；,一本書一頁中的印刷錯誤數；,一匹布上的疵點個數；,⑥⑦⑧,放射性物質發(fā)出的 粒子數；,39,例5.設電話總機在某段時間內接收到的呼喚次數服從參數為3的泊松分布。求：（1）恰好接收到5次呼喚的概率；（2）接收到不超過5次呼喚的概率。,解:設X表

8、示電話總機接收到的呼喚次數，則,,,,,都可以看作是源源不斷出現的隨機質點流 , 若它們滿足一定的條件, 則稱為 Poisson 流, 在 長為 t 的時間內出現的質點數 Xt ~ P ( ?t ),例6 設一只昆蟲所生蟲卵數為隨機變量 X ,,例6,設各個蟲卵是否能發(fā)育成幼蟲是相互獨立的.,已知X ~ P(?)，且每個蟲卵發(fā)育,成幼蟲的概率為 p.,求一昆蟲所生的蟲卵發(fā)育成幼蟲數 Y 的概率分布.,解,昆蟲,,X 個

9、蟲卵,,Y 個幼蟲,已知,,由全概率公式,故,Ch2-44,都可以看作是源源不斷出現的隨機質點流 , 若它們滿足一定的條件, 則稱為 Poisson 流, 在 長為 t 的時間內出現的質點數 Xt ~ P ( ?t ),Ch2-45,(4):幾何分布例3:假設你每期買一張彩票，并設中獎的概率為p,求你第一次中獎所需買的期數的分布律.(設每次是否中獎是相互獨立的).,Ch2-46,每周一題5(1),自動生產線調整以后出現廢品

10、的概率為 p, 當生產過程中出現廢品時立即重新進行調整, 求在兩次調整之間的合格產品數的分布.,問 題,Ch2-47,進行獨立重復試驗，每次成功的概率為p，令X表示直到出現第m次成功為止所進行的試驗次數，求X的分布律。,(5)帕斯卡分布,例3 一門大炮對目標進行轟擊,假定此目標必須被擊中r 次才能被摧毀. 若每次擊中目標的概率為p (0 < p < 1), 且各次轟擊相互獨立,一次次地轟擊直到摧毀目標

11、為止.求所需轟擊次數 X 的概率分布.,例3,,帕斯卡分 布,,Ch2-49,有N件產品，其中M件次品,N-M件正品,現從中任取n件,令X表示次品件數,求X的分布律.,(6)超幾何分布,二項分布的取值情況,設,由圖表可見 , 當 時，,分布取得最大值,此時的 稱為最可能成功次數,Ch2-51,設,由圖表可見 , 當 時，,分布取得最大值,二項分布中最可能出現次數的定義與推導,則

12、稱 為最可能出現的次數,,,當( n + 1) p ? 整數時, 在 k = [( n + 1) p ] 處的概率取得最大值,例4 獨立射擊5000次, 命中率為0.001,,例4,解 (1) k = [( n + 1)p ],= [( 5000+ 1)0.001] =5,求 (1) 最可能命中次數及相應的概率；,(2) 命中次數不少于1 次的概率.,(2) 令X 表示命中次數,則 X ~ B(5000,0.0

13、01),本例啟示,Ch2-58,由此可見日常生活中“提高警惕, 防火,由于時間無限, 自然界發(fā)生地震、海,嘯、空難、泥石流等都是必然的，早晚的,同樣, 人生中發(fā)生車禍、失戀、患絕,癥、考試不及格、炒股大虧損等都是正常,現象, 大可不必怨天尤人, 更不要想不開而,防盜”的重要性.,事，不用奇怪，不用驚慌.,跳樓自殺.,啟示,Poisson定理說明若X ~ B( n, p), 則當n 較大，p 較小, 而 適中,

14、則可以用近似公式,問題 如何計算 ？,證,記,類似地, 從裝有 a 個白球，b 個紅球的袋中不放回地任取 n 個球, 其中恰有k 個白球的概率為,對每個 n 有,結 論,超幾何分布的極限分布是二項分布,二項分布的極限分布是 Poisson 分布,Ch2-62,例：已知一本500頁的書上有100個錯別字，假設每個錯別字等可能地分布在每一頁，求指定的一頁至少有兩個錯誤的概率.,由題

15、意,多少個產品？,例5,得 n +1 = 6 , n = 5,故每箱至少應裝105個產品,才能符合要求.,應用Poisson定理,在實際計算中,當 n ? 20, p ?0.05時, 可用上述公式近似計算; 而當 n ? 100, np ?10 時, 精度更好,0 0.349 0.358 0.369 0.366 0.368,1 0.305 0.377 0.37

16、2 0.370 0.368,2 0.194 0.189 0.186 0.185 0.184,3 0.057 0.060 0.060 0.061 0.061,4 0.011 0.013 0.014 0.015 0.015,在Poisson 定理中，,由此產生了一種離散型隨機變量的

17、概率分布— Poisson 分布,Ch2-67,5(2),已知運載火箭在飛行中進入其儀,器艙的宇宙粒子數服從參數為 2 的泊,松分布. 而進入儀器艙的粒子隨機落,到儀器重要部位的概率為 0.1, 求落到,儀器重要部位的粒子數的概率分布 .,第五周,問題,解 (1) 設 需要配備 N 個維修工人,設 X 為90 臺,設備中發(fā)生故障的臺數，則 X ~ B( 90, 0.01),自學（詳解見教材 P.61例6 ),附例,令,則,查附