[學習]概率論與數理統(tǒng)計課件第4章

1、第四章 隨機變量的數字特征,數學期望,方差,* 協(xié)方差與相關系數,大數定律與中心極限定理,數學期望的引例,Mathematical Expectation,例如：某7人的高數成績?yōu)?0，85，85，80，80， 75，60，則他們的平均成績?yōu)?以頻率為權重的加權平均,,數學期望E(X),Mathematical Expectation,定義 設離散型隨機變量的概率分布為,離散型隨機變量,隨機變量X的數學期望，記作E

2、（X），即,數學期望的計算,已知隨機變量X的分布律：,例,求數學期望E（X）,解,連續(xù)型隨機變量的數學期望E(X),連續(xù)型隨機變量,定義,設連續(xù)型隨機變量X的概率密度為 f (x), 則,即,數學期望的計算,已知隨機變量X的密度函數為,例,求數學期望。,解,數學期望的意義,試驗次數較大時，X的觀測值的算術平均值 在E(X)附近擺動,數學期望又可以稱為期望值(Expected Value)，均值(Mean),,,E(X)反映了隨機變

3、量X取值的“概率平均”,是X的可能值以其相應概率的加權平均。,二維隨機變量的數學期望及邊緣分布的數學期望,(X,Y)為二維離散型隨機變量,(X,Y)為二維連續(xù)型隨機變量,(1) 求k,(2) 求X和Y的邊緣密度,(3) 求E(X), E(Y).,(1)由,解,所以,所以,得,（３）,時,,（３）另解,無需求邊緣分布密度函數,,隨機變量的函數的數學期望,定理 1：一維情形,離散型,連續(xù)型,概率密度為,因為,所以,例,解,隨機變量

4、的函數的數學期望,定理 2：二維情形,聯(lián)合概率密度為,,連續(xù)型,離散型,例 設相互獨立的隨機變量X，Y的密度函數分別為,求E（XY）,解,,數學期望的性質,,.,.,,設（X,Y）在由4個點（0，0）（3，0），（3，2),(0,2)決定的矩形域內服從均勻分布，求E(X+Y),E(X2)E(Y2),E(XY).,練一練,答案：,0-1分布的數學期望,X服從0-1分布，其概率分布為,P(X=1)=p,P(X=0)=1- p,若X 服

5、從參數為 p 的0-1分布， 則E(X) = p,分布律,數學期望,If X~B( n, p ), then E(X)= np,二項分布的數學期望,分布律,X服從二項分布，其概率分布為,數學期望,,其中,則,泊松分布的數學期望,If , then,分布律,數學期望,,均勻分布的期望,分布密度,數學期望,,X~ N (μ，σ2）,正態(tài)分布的期望,分布密度,,數學期望,,指數分布的

6、期望,分布密度,數學期望,數學期望在醫(yī)學上的一個應用,An application of Expected Value in Medicine,考慮用驗血的方法在人群中普查某種疾病。集體做法是每10個人一組，把這10個人的血液樣本混合起來進行化驗。如果結果為陰性，則10個人只需化驗1次；若結果為陽性，則需對10個人在逐個化驗，總計化驗11次。假定人群中這種病的患病率是10%，且每人患病與否是相互獨立的。試問：這種分組化驗的方法與通常的逐

7、一化驗方法相比，是否能減少化驗次數？,分析：,設隨機抽取的10人組所需的化驗次數為X,我們需要計算X的數學期望，然后與10比較,,化驗次數X的可能取值為1，11,先求出化驗次數X的分布律。,(X=1)=“10人都是陰性”,（X=11)=“至少1人陽性”,結論：,分組化驗法的次數少于逐一化驗法的次數,注意求 X期望值的步驟！,1、概率p對是否分組的影響,問題的進一步討論,若p=0.2，則,當p>0.2057時，E(X)>10,

8、2、概率p對每組人數n的影響,,當p=0.2時，可得出n<10.32，才能保證EX<10.,當p=0.1時，為使,例 獨立地操作兩臺儀器，他們發(fā)生故障的概率分別為p1和p2.證明：產生故障的儀器數目的數學期望為 p1 + p2,設產生故障的儀器數目為X,則X的所有可能取值為0，1,,解,,所以,方差大數定律中心極限定理,方 差 的 引 入,E( X1 )=5,E( X2 )=5,設有兩種球形產品，其直徑的取值規(guī)律如下

9、：,兩種產品的直徑均值是相同的，但產品2的偏差大，如果需要使用直徑為5的產品，則產品1較產品2理想。,方差（Variance）的定義,定義,均方差（標準差）,設 是一隨機變量，如果 存在，則稱為 的方差，記作 或,即,方差的計算公式,Proof.,,一維隨機變量的方差,設離散型隨機變量X的概率分布為,離散型,連續(xù)型,設連續(xù)型隨機變量X的分布密度為 f (x)

10、,其中,方 差 的 計算,E( X1 )=5,E( X2 )=5,例 設有兩種球形產品，其直徑的取值規(guī)律如下：,求D(X1) ,D(X2),解,0-1分布的方差,分布律,方差,其中,二項分布的方差,If X ~ B ( n, p ) , then D ( X ) = n p ( 1- p ),分布律,方差,X ~ B ( n, p ),其中,推導？,泊松分布的方差,分布律,方差,推導？,均勻分布的方差,分布密度,方差,,,正

11、態(tài)分布的方差,分布密度,方差,,,,指數分布的方差,分布密度,方差,,,常見分布及其期望和方差列表P84,分布名稱 數學期望E（X） 方差D（X）,0-1分布,二項分布,泊松分布,均勻分布,正態(tài)分布,指數分布,方差的計算步驟,Step 1: 計算期望 E(X),Step 2: 計算 E(X2),Step 3: 計算 D(X),離散型,連續(xù)型,離散型,連續(xù)型,方差的性質,證明,二維隨機變量的方差,(X,Y)

12、為二維離散型隨機變量,,,二維隨機變量的方差,,,(X,Y)為二維連續(xù)型隨機變量,,,,求,.,練一練,解 因為 相互獨立，所以,而,所以,例 某地出產的某品種的蘋果的總量X服從正態(tài)分布。若E(X)=148, D(X)=162.寫出X的分布律和概率密度，并用積分表示,解,若隨機變量X服從均值為2，方差為σ2的正態(tài)分布，且P{2<X<4}=0.3,求P{X<0}。,練一練,所以,解,若隨機變量X服

13、從均值為2，方差為σ2的正態(tài)分布，且P{2<X<4}=0.3,求P{X<0}。,練一練,所以,得,所以,例 已知一批玉米種子的發(fā)芽率是75％，播種時每穴種三粒，求每穴發(fā)芽種子粒數的數學期望、方差及均方差.,,,,,,.,設發(fā)芽種子數為 X，則 X 服從二項分布，且,解,設X表示10次獨立重復射擊命中目標的次數，每次射擊命中的概率為0.4，求 X 的數學期望。,練一練,所以,所以這種動物的平均壽命為10年，標準差為

14、10年.,解,練一練,設隨機變量X服從參數為1的指數分布，求,解 X的密度函數為,練一練,設隨機變量X服從參數為1的指數分布，求,所以,而,所以,解 X的密度函數為,練一練,設隨機變量X服從參數為1的指數分布，求,所以,證畢,證明,,,證畢,證明,大數定律中心極限定理,大 數 定 律,在大量的隨機現象中，隨機事件的頻率具有穩(wěn)定性,大量的隨機現象的平均結果具有穩(wěn)定性,概率論中用來闡明大量隨機現象平均結果的穩(wěn)定性的一系列定理，

15、稱為大數定律（law of large number),切比雪夫（Chebyshev)不等式,設隨機變量X具有有限數學期望EX和方差DX，則對于任意正數 ，如下不等式成立。,——切比雪夫不等式,證明 設X為連續(xù)型隨機變量，其密度函數為,則,證畢,切比雪夫（Chebyshev)不等式的應用,在隨機變量X的分布未知的情況下，只利用X的期望和方差，即可對X的概率分布進行估值。,例 已知正常男性成人血液中，每毫升白細胞數的平均

16、值是7300，均方差是700，利用切比雪夫不等式估計每毫升血液含白細胞數在5200~9400之間的概率。,解 設X表示每毫升血液中含白細胞個數，則,則,而,所以,練一練,設隨機變量X的方差為2.5，利用切比雪夫不等式估計概率,,練習 設隨機變量X的方差為2.5，利用切比雪夫不等式估計概率,解,樣本平均數穩(wěn)定性定理,定理 設隨機變量X1，X2，…，Xn，…相互獨立，且服從同一分布，并具有數學期望 及方差

17、，則對于任意正數 ，恒有,觀測量X在相同的條件下重復觀測n次，當n充分大時，“觀測值的算術平均值接近于期望”是一大概率事件。,即,依概率收斂于,即n充分大時，,——辛欽大數定理,伯努利大數定理（頻率的穩(wěn)定性）,定理 設 是n次獨立試驗中事件A發(fā)生的次數，p是事件A在每次試驗中發(fā)生的概率，則對于任意正數恒有,定理的應用：可通過多次重復一個試驗，確定事件A在每次試驗中出現的概率,中心極限定理（Central l

18、imit theoem),客觀背景：客觀實際中，許多隨機變量是由大量相互獨立的偶然因素的綜合影響所形成，每一個微小因素，在總的影響中所起的作用是很小的，但總起來，卻對總和有顯著影響，這種隨機變量往往近似地服從正態(tài)分布。,概率論中有關論證獨立隨機變量的和的極限分布是正態(tài)分布的一系列定理稱為中心極限定理。,獨立同分布的中心極限定理,設隨機變量X1，X2，…，Xn相互獨立，服從同一分布，且有有限的數學期望 和方差

19、 ，則隨機變量 的分布函數 滿足如下極限式,定理的應用：對于獨立的隨機變量序列 ，不管 服從什么分布，只要它們是同分布，且有有限的數學期望和方差，那么，當n充分大時，這些隨機變量之和 近似地服從正態(tài)分布,例 一部件包括10部分，每部分的長度是一個隨機變量，

20、相互獨立，且具有同一分布。其數學期望是2mm，均方差是0.05mm，規(guī)定總長度為20±0.1mm時產品合格，試求產品合格的概率。,解 設部件的總長度為X，每部分的長度為 Xi（i=1,2,…,10)，則,由定理4.5可知：X近似地服從正態(tài)分布,即,續(xù)解 則產品合格的概率為,棣莫弗—拉普拉斯中心極限定理,(De Moivre-Laplace),定理 設隨機變量 服從二項分布

21、 ，則對于任意區(qū)間 ，恒有,二項分布的極限分布是正態(tài)分布,例 現有一大批種子，其中良種占1/6，今在其中任選6000粒，試問在這些種子中良種所占的比例與1/6之差小于1%的概率是多少？,解 設取出的種子中的良種粒數為X，則,所求概率為,續(xù)例 種子中良種占1/6，我們有99%的把握斷定在6000粒種子中良種所占的比例與1/6之差是多少？這時相應的良種數落在哪個范圍？,解 設良種數為X，則,設良