集列的上、下極限

1、集列的上、下極限集列的上、下極限摘要：康托爾（cant）在19世紀創(chuàng)立了集合論成為實變函數(shù)理論的出發(fā)點。其中，集列的上、下極限是實變函數(shù)中的一個難點。講述了上、下極限的定義，通過例題的分析，介紹了上、下極限的計算方法，并給出單調集列收斂的證明及應用。關鍵詞：集列上極限下極限單調1引言實變函數(shù)論是數(shù)學分析中微積分的發(fā)展，在數(shù)學分析中，人們研究了實變函數(shù)論中的可微，可積等基本性質，隨著微積分的日益發(fā)展，隨著數(shù)學其他分支和各類實際問題對微積分

2、要求的提高，人們發(fā)現(xiàn)數(shù)學分析的方法和結果并不能完全令人滿意。大家知道，黎曼積分是數(shù)學分析研究的主要內(nèi)容，但是，人們在實際運算中越來越感覺到riemann積分的缺陷，要擺脫限制，力求更靈活的運算，在這種要求下，實變函數(shù)應運而生。時至今日，實變函數(shù)論已經(jīng)滲入到數(shù)學的許多分支中，它在各支數(shù)學中的應用成了現(xiàn)代數(shù)學的一個特征，所以凡是想了解并且掌握近代數(shù)學的人，都應該認真地學習實變函數(shù)論這門課程。實變函數(shù)論的出發(fā)點是一般點集，粗略地說，實變函數(shù)論

3、是在點集和集合論的觀點與方法滲入數(shù)學分析的過程中產(chǎn)生的，用點集的方法研究n維歐氏空間中實變函數(shù)性質的學科。在實變中，人們把函數(shù)的分析轉化為點集關系的研究，從而在點集測度上建定義2[1]對集列a1a2…an…那種除有限個下標外屬于集列中每個集的元素全體所組成的集稱為這一集列的下限集或下極限記為或。用集合的概念表示如下。顯然。例1a1=a3=a5=…01，a2=a4=a6=…0則.就像數(shù)列未必有極限集合序列當然也可能沒有極限。定義3[1]若

4、則稱集列an收斂稱a為an的極限記為。2.2.2上、下極限的等價定義類似于數(shù)列的上、下極限我們可以定義集列的上、下極限。定理1對于任意一串集合a1a2…an…都有(1)(2)。證明：(1)若對任意的∈則對任意的n∈n存在m≥n使得∈am所以對任意的n∈n有從而.反之若則對任意的n∈n均有所以對任意的n∈n存在m≥n使得∈am從而即。(2)若對任意的則存在n∈n對任意的m≥n使得∈am所以存在n∈n均有從而。反之若存在n∈n均有所以存在n