2003年北京夏季高考數(shù)學(xué)試題分析節(jié)選

1、2003年北京市夏季高考數(shù)學(xué)試題分析（節(jié)選）年北京市夏季高考數(shù)學(xué)試題分析（節(jié)選）清華同方教育技術(shù)研究院數(shù)學(xué)所薛文敘（特級(jí)教師）2003高考北京卷第高考北京卷第19題有三個(gè)新興城鎮(zhèn)，分別位于A，B，C三點(diǎn)處，且AB＝AC＝a，BC＝2b今計(jì)劃合建一個(gè)中心醫(yī)院，為同時(shí)方便三鎮(zhèn)，準(zhǔn)備建在BC的垂直平分線(xiàn)上的P點(diǎn)處（建立坐標(biāo)系如圖）（Ⅰ）若希望點(diǎn)P到三鎮(zhèn)距離的平方和為最小，點(diǎn)P應(yīng)位于何處？（Ⅱ）若希望點(diǎn)P到三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離為最小，點(diǎn)P應(yīng)位于何處？

2、(Ⅰ)解：由題設(shè)可知，記，設(shè)P的坐標(biāo)為，則P至三鎮(zhèn)0??ba22bah??)0(y距離的平方和為222)()(2)(yhybyf????，222232)3(3bhhy????所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值3hy?)(yf答：點(diǎn)P的坐標(biāo)是)310(22ba?(Ⅱ)解法一：P至三鎮(zhèn)的最遠(yuǎn)距離為??????????????.||||||)(222222yhybyhyhybybyg當(dāng)當(dāng)由解得，記，于是||22yhyb???hbhy222??hbhy

3、222????????????.||)(22yyyhyyybyg當(dāng)當(dāng)當(dāng)≥0，即h≥b時(shí)，因?yàn)樵谏鲜窃龊瘮?shù)，hbhy222??22yb?)[??y而在上是減函數(shù)，||yh?](y??由此可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值yy?)(yg答：當(dāng)h≥b時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為；P)220(2222baba??當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中bh?P)00(22bah??解法三解法三（略）（略）見(jiàn)《問(wèn)答與導(dǎo)學(xué)》高三見(jiàn)《問(wèn)答與導(dǎo)學(xué)》高三2003年第三期年第三期本題是能力立意、

4、發(fā)展性的好題，主要考查函數(shù)，不等式等基本知識(shí)；考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力；特別突出對(duì)數(shù)學(xué)核心能力——邏輯思維能力的考查，同時(shí)也考察考生理解現(xiàn)實(shí)問(wèn)題、建立簡(jiǎn)單模型的能力題目有深刻的應(yīng)用背景，屬于運(yùn)籌學(xué)中最優(yōu)選址問(wèn)題，在很多領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用可以說(shuō)本題更具有數(shù)學(xué)應(yīng)用題的意味，體現(xiàn)了大學(xué)對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的要求，體現(xiàn)數(shù)學(xué)發(fā)展的要求本題傳遞這樣的信息：對(duì)數(shù)學(xué)的理解應(yīng)更拓寬，數(shù)學(xué)與社會(huì)生活緊密聯(lián)系只有理解數(shù)學(xué)，用數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問(wèn)題，才會(huì)對(duì)