3.1中值定理_第1頁
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1、第一節(jié)第一節(jié)中值定理中值定理教學目的:理解并會用羅爾定理、拉格朗日定理,了解柯西中值定理。教學目的:理解并會用羅爾定理、拉格朗日定理,了解柯西中值定理。教學重點:羅爾定理、拉格朗日定理的應用。教學重點:羅爾定理、拉格朗日定理的應用。教學過程:教學過程:一、羅爾定理一、羅爾定理定理定理1:若函數(shù)f(x)滿足:(i)f(x)在[ab]上連續(xù);(ii)f(x)在(ab)可導,(iii)f(a)=f(b)則在(ab)內至少存在一點,使得f()=

2、0.?證明證明:由(i)知f(x)在[ab]上連續(xù),故f(x)在上必能得最大值M和最小值m,此時,又有二種情況:(1)M=m,即f(x)在[ab]上得最大值和最小值相等,從而知,此時f(x)為常數(shù):f(x)=M=m,=0,因此,可知為(ab)內任一點,都有f()?)(xf??=0。(2)Mm此時M和m之中,必有一個不等于f(a)或f(b),不妨設Mf(a)(對m?f(a)同理證明),這時必然在(ab)內存在一點,使得f()=M即f(x)

3、???在點得最大值。下面來證明:f()=0??首先由(ii)知f()是存在的,由定義知:?f()=…….()?????????????xMxfxfxfxx)(lim)()(lim因為為最大值,對有f(x)Mf(x)-M0M?x????當x時,有0?????????xMxfxfxf)()()(?當x時,有0。?????????xMxfxfxf)()()(?又因為(﹡)的極限存在,知(﹡)極限的左、右極限都存在,且都等于,)(?f?即,然而

4、,又有)()()(_???fff??????0)()(lim)()(???????????????xfxfffx和。0)()(lim)()(???????????????xfxfffx0)(????f2:定理中的結論,可以寫成,此式也稱為拉))(()()(abfafbf?????)(ba???格朗日格朗日公式,其中可寫成:???????)10()(???aba……(3))))((()()(ababafafbf???????若令……(4)

5、hhafafhafhab)()()(?????????3:若,定理中的條件相應地改為:在上連續(xù),在內可ba?)(xf][ab)(ab導,則結論為:也可寫成))(()()(bafbfaf?????))(()()(abfafbf?????可見,不論哪個大,其拉格朗日拉格朗日公式總是一樣的。這時,為介于之間的ba?ba一個數(shù),(4)中的不論正負,只要滿足條件,(4)就成立。h)(xf4:設在點處有一個增量,得到點,在以和為端點的區(qū)間上xx?x

6、x??xxx??應用拉格朗日拉格朗日中值定理,有xxxfxfxxf?????????)()()(?)10(???即這準確地表達了和這兩個增量間的關系,故xxxfy???????)(?y?x?該定理又稱為微分中值定理。5:幾何意義:如果曲線在除端點外的每一點都有不平行于軸的切)(xfy?y線,則曲線上至少存在一點,該點的切線平行于兩端點的聯(lián)線。由定理還可得到下列結論:推論1:如果在區(qū)間上的導數(shù)恒為0,則在上是一個常數(shù)。)(xfy?I)(x

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