求線性差分方程的通項之數(shù)學實驗

1、1欽州學院數(shù)學與計算機科學學院數(shù)學實驗報告實驗完成日期2010年11月8日，第11周，星期一成績等級（五級分制）評閱教師評閱日期年月日數(shù)學實驗報告填寫要求：思路清晰，中間結果和最終結果真實；字跡工整，報告完整。[實驗題目及內(nèi)容實驗題目及內(nèi)容]實驗題目：借助計算機，求解下列線性差分方程（即求出數(shù)列的通項公式）。?????????83222112aaaaannn內(nèi)容：為了能直觀了解數(shù)列的特性，結合運用Matlab軟件計算出nnnaaa221

2、2????數(shù)列的通項。nnnaaa2212????[問題描述問題描述]（用自己組織的相關數(shù)學語言重述現(xiàn)實問題；注意對約定的條件作說明）（用自己組織的相關數(shù)學語言重述現(xiàn)實問題；注意對約定的條件作說明）數(shù)列滿足遞推關系，稱這樣的遞推關系為二階線性差分方程。根nnnaaa2212????據(jù)觀察，可以猜測具有指數(shù)形式，可設，得到，從而有nanna??nnn???2212????，運用Matlab求方程得、的解。222????1?2?和都是差分方

3、程的解，都是數(shù)列的通項，但數(shù)列不會有兩個通項。猜測與1?2?1?2?的線性組合仍是差分方程的解。設，代入差分方程進行檢驗，猜測是否nnncca2211????成立。若成立，求出差分方程的解。na根據(jù)初始條件，可能確定常數(shù)、的值。由此得出，31?a82?a1c2c數(shù)列的通項公式。nnnaaa2212????[模型建立或思路分析模型建立或思路分析]（建立合理，可解釋的數(shù)學模型，通過公式、表格或圖形直觀明確（建立合理，可解釋的數(shù)學模型，通過公

4、式、表格或圖形直觀明確地描述模型的結構；無法通過建立模型解決的，給出解題的思路及辦法。）地描述模型的結構；無法通過建立模型解決的，給出解題的思路及辦法。）設，二階線性差分方程轉(zhuǎn)換成，所以nna??nnnaaa2212????nnn???2212????有，利用Matlab解得差分方程的解，的值，求得的解也是數(shù)列的通222????1?2?3Matlab軟件，求出數(shù)列的通項公式為：nnnaaa2212????nnna)31)(3321()3

5、1)(3321(??????（2）類似的問題可以了解Fabonacci數(shù)列的特性，利用求通項的方法，可以計算出Fabonacci數(shù)列的通項為。?????????12112fffffnnn????????????????????????????nfnn25125151[求解方法或解題步驟求解方法或解題步驟]（針對所建模型或解題思路，給出具體的求解方法或解題步驟。對（針對所建模型或解題思路，給出具體的求解方法或解題步驟。對通過編程解決的問題

6、，畫出流程圖，給出細節(jié)部分的算法，給出相關軟件的代碼；其他方通過編程解決的問題，畫出流程圖，給出細節(jié)部分的算法，給出相關軟件的代碼；其他方法解決的，給出詳細的解題步驟。）法解決的，給出詳細的解題步驟。）（1）數(shù)列滿足遞推關系，稱這樣的遞推關系為二階線性差分方程。根nnnaaa2212????據(jù)觀察，可以猜測具有指數(shù)形式。不妨設為進行嘗試。nanna??將代入差分方程：n?nnnaaa2212????得到nnn???2212????消去因