第一至第六屆全國(guó)大學(xué)生高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽真題(非數(shù)學(xué)類(lèi))

1、20092015年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試卷（非數(shù)學(xué)）2009年第一屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試卷一、填空題（每小題5分，共20分）1計(jì)算____________，其中區(qū)域由直線(xiàn)???????yxyxxyyxDdd1)1ln()(D與兩坐標(biāo)軸所圍成三角形區(qū)域.1??yx2設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且滿(mǎn)足則)(xf????2022d)(3)(xxfxxf?)(xf____________.3曲面平行平面的切平面方程是__________.2222???

2、yxz022???zyx4設(shè)函數(shù)由方程確定，其中具有二階導(dǎo)數(shù)，且)(xyy?29ln)(yyfexe?f，則________________.1??f?22ddxy二、（5分）求極限，其中是給定的正整數(shù).xenxxxxneee)(lim20?????n三、（15分）設(shè)函數(shù)連續(xù)，，且，為常)(xf??10d)()(txtfxgAxxfx??)(lim0A數(shù)，求并討論在處的連續(xù)性.)(xg?)(xg?0?x四、（15分）已知平面區(qū)域，為的正

3、向邊00|)(???????yxyxDLD界，試證：（1）；???????LxyLxyxyeyxexyeyxeddddsinsinsinsin（2）.2sinsin25dd?????Lyyxyeyxe五、（10分）已知，，是某二階常xxexey21??xxexey???2xxxeexey????23系數(shù)線(xiàn)性非齊次微分方程的三個(gè)解，試求此微分方程.六、（10分）設(shè)拋物線(xiàn)過(guò)原點(diǎn).當(dāng)時(shí)又已知cbxaxyln22???10??x0?y該拋物線(xiàn)與

4、軸及直線(xiàn)所圍圖形的面積為.試確定使此圖形繞軸x1?x31cbax旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積最小.七、（15分）已知滿(mǎn)足且求函)(xun)21()()(1??????nexxuxuxnnnneun?)1(數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)之和.???1)(nnxu（2）求其轉(zhuǎn)動(dòng)慣量關(guān)于方向的最大值和最小值。()???六、(15分)設(shè)函數(shù)具有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，在圍繞原點(diǎn)的任意光滑的簡(jiǎn)單閉曲線(xiàn)()x?上，曲線(xiàn)積分的值為常數(shù)。C422()cxydxxdyxy????A（1）設(shè)

5、為正向閉曲線(xiàn)證明L22(2)1xy???422()0cxydxxdyxy?????A（2）求函數(shù)；()x?（3）設(shè)是圍繞原點(diǎn)的光滑簡(jiǎn)單正向閉曲線(xiàn)，求。C422()cxydxxdyxy????A2011年第三屆全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽試卷一計(jì)算下列各題（本題共3小題，每小題各5分，共15分）（1）.求；11cos0sinlimxxxx????????（2）.求；111lim...12nnnnn??????????????（3）已知，求。??

6、2ln1arctanttxeyte?????????22dydx二（本題10分）求方程的通解。????2410xydxxydy??????三（本題15分）設(shè)函數(shù)f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且均不為0，證明：存在唯一一組實(shí)數(shù)，使得??????“000fff123kkk。????????12320230lim0hkfhkfhkfhfh?????四（本題17分）設(shè)，其中，2221222:1xyzabc????0abc???，為