復變函數(shù)課件2-3

1、第三節(jié) 初等函數(shù),一、指數(shù)函數(shù),二、對數(shù)函數(shù),三、乘冪 ab 與冪函數(shù),四、三角函數(shù)和雙曲函數(shù),五、反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù),六、小結與思考,,,,,,,,2,一、指數(shù)函數(shù),1.指數(shù)函數(shù)的定義:,3,指數(shù)函數(shù)的定義等價于關系式:,4,2. 加法定理,證,5,例1,解,6,7,例2,解,求出下列復數(shù)的輻角主值:,8,9,10,例3,解,11,二、對數(shù)函數(shù),1. 定義,12,其余各值為,特殊地,,13,例4,解,注意: 在實變函數(shù)中, 負數(shù)

2、無對數(shù), 而復變數(shù)對數(shù)函數(shù)是實變數(shù)對數(shù)函數(shù)的拓廣.,14,例5,解,15,例6,解,16,17,2. 性質,18,證 (3),[證畢],19,三、乘冪 與冪函數(shù),1. 乘冪的定義,注意:,20,21,特殊情況:,22,23,例7,解,答案,課堂練習,24,例8,解,25,2. 冪函數(shù)的解析性,它的 各個分支在除去原點和負實軸的復平面內是解析的,,26,它的 各個分支在除去原點和負實軸的復平面內是解析的,,27,四、三角函數(shù)和雙曲函

3、數(shù),1. 三角函數(shù)的定義,將兩式相加與相減, 得,現(xiàn)在把余弦函數(shù)和正弦函數(shù)的定義推廣到自變數(shù)取復值的情況.,28,29,例9,解,30,有關正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的幾組重要公式,正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在復平面內都是解析函數(shù).,31,(注意：這是與實變函數(shù)完全不同的),32,其他復變數(shù)三角函數(shù)的定義,33,例10,解,,,34,例11,解,35,例12,解,36,37,2. 雙曲函數(shù)的定義,38,它們的導數(shù)分別為,并有如下公式:,它們都是以

4、 為周期的周期函數(shù),,39,例13,解,40,五、反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù),1. 反三角函數(shù)的定義,兩端取對數(shù)得,41,同樣可以定義反正弦函數(shù)和反正切函數(shù), 重復以上步驟, 可以得到它們的表達式:,2. 反雙曲函數(shù)的定義,42,例14,解,43,六、小結與思考,復變初等函數(shù)是一元實變初等函數(shù)在復數(shù)范圍內的自然推廣, 它既保持了后者的某些基本性質, 又有一些與后者不同的特性. 如:,1. 指數(shù)函數(shù)具有周期性,2. 負數(shù)無對數(shù)的結論