第二章 b&amp#233;zier曲線

1、第二章 Bézier曲線,§1.一般介紹,§2.Bézier曲線的定義及性質,§3.de Casteljau算法,§4.Bézier曲線的其它表示形式及導數,§5.組合Bézier曲線和幾何連續(xù)性,§6.Bézier曲線修形及升階,?,?,?,?,?,?,§1.一般介紹,Bézier曲線是分別由法國 Citr

2、oën 汽車公司的de Casteljau大約于1959年和法國Renault汽車公司的Bézier大約于 1962 年獨立研制的.由于以Bézier 方法為基礎的 UNISURF 系統(tǒng)首先公開發(fā)表,所以現在這一方法冠以Bézier的名字.,,Bézier,Bézier(1910,9,1-1999,11,25)法國Renault汽車公司的工程師.,,§2.Bé

3、;zier曲線的定義及性質,Bézier曲線的定義,?,Bernstein多項式的性質,?,Bézier曲線的性質,?,二次Bézier曲線,三次Bézier曲線,?,?,,Bézier所給出的定義,圖例：三次Bézier曲線,,Bézier曲線的定義(現在),,,Bernstein多項式的性質(1),1.單位分解性,2.非負性,3.端點性質,,,,Bernstein

4、多項式的性質(2),5.遞推公式,6.導函數,7.最大值,4.對稱性,,,,Bernstein多項式的性質(3),9.分割公式,8.升階公式,11.與冪基的轉換公式,10.積分公式,,,Bézier曲線的性質,遞推公式,端點性質,對稱性,凸包性,幾何不變性,,二次Bézier曲線,等分作圖,,包絡形成的二次Bézier曲線,二次Bézier曲線的拼接,二次Bézier曲線插值,?,?,?

5、,?,三次Bézier曲線,,三次Bézier曲線等分作圖,三次Bézier曲線插值,三次Bézier曲線的幾何特征,?,?,?,二次Bézier曲線等分作圖,,,包絡形成的二次Bézier曲線,,二次Bézier曲線的拼接,,,二次Bézier曲線插值,,,二次Bézier曲線插值圖例1,,,二次Bézier曲線插值圖例2,,,二次B&

6、#233;zier曲線插值圖例3,,,二次Bézier曲線插值圖例4,,,二次Bézier曲線拼接圖例1,,二次Bézier曲線拼接圖例2,,二次Bézier曲線等分作圖,,三次Bernstein基函數,,四次Bernstein基函數,,遞推公式的證明,,求導運算,,升階公式的證明一,升階公式的證明二,,分割公式的證明,,積分公式的證明,,基轉化公式的證明,,Bézier曲線遞推公式的證

7、明,,,Bézier曲線遞推公式圖例1,,,Bézier曲線遞推公式圖例2,,,凸包性,凸包的定義,,幾何不變性例1,,幾何不變性例2,,三次Bézier曲線等分作圖,,,三次Bézier 曲線插值,,,,,三次Bézier曲線的幾何特征1,,三次Bézier曲線的幾何特征2,,,三次Bézier曲線的幾何特征3,,,三次Bézier曲線的幾何特征4,,,,

8、三次Bézier曲線等分作圖,,三次Bézier曲線插值圖例1,三次Bézier曲線插值圖例2,三次Bézier曲線插值圖例3,,,空間三次Bézier曲線圖例,,平面三次Bézier曲線圖例,,§3.de Casteljau算法,,,de Casteljau算法圖例1,de Casteljau算法圖例2,de Casteljau算法圖例3,de Casteljau算

9、法圖例4,§4.Bézier曲線的其它 表示形式及其導數,用邊向量表示的Bézier曲線,,Bézier曲線的導數,Bézier曲線的差分表示形式,?,?,?,用邊向量表示的Bézier曲線(證明),,Bézier曲線的導數1,Bézier曲線的導數2,Bézier曲線的差分表示形式,,邊向量表示形式的證明1,邊向量表示形式的證明2,邊向量

10、表示形式的證明3,,注：這里 又稱為Bézier函數,Bézier函數的性質,性質1,性質2,性質3,,§5.組合Bézier曲線和幾何連續(xù)性,組合Bézier 曲線,連接點處的參數連續(xù)性(1),,,,連接點處的參數連續(xù)性(2),,,,連接點處參數連續(xù)性圖例,,Bézier曲線的幾何連續(xù)性,,,,組合Bézier 曲線圖例,,Bézier