第二章農業(yè)生產函數(shù)

1、第二章 農業(yè)生產函數(shù),第一節(jié) 農業(yè)生產函數(shù)的一般概念 第二節(jié) 農業(yè)生產函數(shù)模型的建立 第三節(jié) 柯布—道格拉斯生產函數(shù),第一節(jié) 農業(yè)生產函數(shù)的一般概念,一、農業(yè)生產函數(shù)的概念及分類二、農業(yè)生產函數(shù)的三個階段,一、農業(yè)生產函數(shù)的概念及分類,農業(yè)生產函數(shù)是指把產品的產量隨著投入物數(shù)量的變化而變化的關系用數(shù)學函數(shù)的形式表達出來，即產品產出的數(shù)量為投入物數(shù)量的函數(shù)。（一）農業(yè)生產函數(shù)的基本性質 1．客觀性 2．時空性 3

2、．純質性 （二）農業(yè)生產函數(shù)的表達方式 1．列表法 2．圖示法,圖 2－1 農業(yè)生產函數(shù),3．數(shù)學式表達法,它是根據(jù)投入X與產出Y的一一對應關系，采用回歸方法建立起一個方程式，即類似經驗公式的表達方法。 農業(yè)生產函數(shù)最一般的數(shù)學表達式為： Q = F（X1，X2，…，Xn）式中：Q代表某種農產品；X1，X2，…，Xn代表n種用于生產產品Q的可變投入，它們可以是生產資源，可以是經濟資源，也可以是技術；F表示資源

3、投入與產品產出間的函數(shù)關系。,,生產函數(shù)方程式的經濟含義是：在既定技術水平條件下，在某一時間內為生產出Q數(shù)量的產品，需要相應投入的X1，X2，…，Xn等生產要素的數(shù)量及其組合比例。,（三）農業(yè)生產函數(shù)的分類,比例函數(shù)：是不改變各種生產要素的配合比例，使各種生產要素的投入量按某一比例增加，產量也相應地按該比例增加。遞增函數(shù)：是各種生產要素的投入量都按某一比例增加，會使產量增加的比例大于要素投入量增加的比例，那么，收益就會隨生產規(guī)模的擴大

4、而遞增。遞減函數(shù)：是各種生產要素的投入量都按某一比例增加，會使產量增加的比例小于要素投入量增加的比例，那么，收益就會隨生產規(guī)模的擴大而遞減。,二、農業(yè)生產函數(shù)的三個階段,（一）農業(yè)生產量的三種形式 1．總產量（TP）它是指一種可變資源的投入同其他生產要素投入的特定數(shù)量相結合所產生的產品數(shù)量總和。常用TP或Y表示。 2．平均產量（AP） 它是指每一單位可變資源平均提供的產品量。,3．邊際產量（MP）,它是指在其他生產要素

5、的投入量既定不變的條件下，每增加1單位某種可變資源的投入量所引起的總產量的增加量。,圖2－2 總產量、邊際產量 和平均產量曲線圖,,三條產量曲線的關系（如圖2－2所示）是：當總產量曲線達到最高點A時，邊際產量為0；平均產量達到最高點B時，邊際產量曲線與平均產量曲線相交；邊際產量曲線達到最高點C時，總產量曲線從以遞增比率轉為以遞減比率增長。,（二）生產彈性,它是用于反映產量增長對于投入資源的敏感程度，即反映產

6、量增加幅度與資源增加幅度的比例關系。 當資源用量增加1％，而產量增加幅度大于1％時，生產彈性大于1。因此，當生產彈性大于1時，只要資源條件允許，就應該增加資源用量以增加收益。當資源用量增加1％，而產量增加幅度小于1％時，生產彈性小于1，這時資源投入量就要適可而止。,（三）農業(yè)生產函數(shù)三階段,從原點起到平均產量最高點止，即生產彈性等于1時為第一階段；第一階段為相對不合理階段。以平均產量最高點到總產量最高點之間，即生產彈性大于0小于

7、1時為第二階段；第二階段為合理階段?？偖a量曲線最高點之后，即生產彈性等于0時為第三階段。第三階段為不合理階段。,第二節(jié) 農業(yè)生產函數(shù)模型的建立,一、農業(yè)生產函數(shù)建模程序 農業(yè)生產函數(shù)的回歸建模程序，主要分如下步驟：第一步：首先確定是否需要用生產函數(shù)。第二步：搜集資料。即由問題性質的需要來選取樣本數(shù)據(jù)（實驗資料或調查資料）。第三步：將取得的樣本數(shù)據(jù)作散點圖，并觀察散點分布規(guī)律，初步確定回歸模型，如一元回歸模型等。,,第四步：建

8、立問題的回歸經驗方程，確定模型中的待定系數(shù)，求解。第五步：相關分析，檢驗回歸方程的回歸效果。第六步：判定或明確生產函數(shù)式。如果在相關分析中，相關系數(shù)達不到既定的要求（精度），則需檢查原因，或考察樣本，或重新判定回歸類型，直至相關性檢驗達到顯著要求，方可完成函數(shù)形式的最后判定。第七步：應用。,二、一元線性回歸函數(shù)模型的建立,（一）建立回歸方程 一元線性回歸是用來將一種生產要素投入量與一種產品產出量的線性相關關系轉化為直線確定

9、型的函數(shù)模型。 因為兩個變量間是直線關系，故用一元一次方程表示： Y = a＋bX,,由最小二乘法原理，當X = X i（i = 1，2，3，…，n）時，樣本離差或稱誤差Q i（即實際產量Y i－理論產量? i）的平方和 最小時，則a、b所確定的直線才最接近已知的數(shù)據(jù)散點。,,再由數(shù)學分析中求極值原理可知，當一階導數(shù)等于0時，有極值。因此，要使

10、誤差平方和Q極小，只有分別對a、b求偏導數(shù)，并令它們等于0。把上面的分析列成方程，則有：,,當： 即 Q達到最小。 整理上式得：,（二）相關分析,將有關系數(shù)代入下列公式，求出r系數(shù)，判定其相關顯著程度。其公式為：,表2－1 棉花施肥量與畝產量的產量資料,表2－2 參數(shù)計算表,,把表2－2中的計算結果代入公式，即可求出： a＝120．99 b＝0．829因此，棉花生產過程中，施肥量與畝產量的函數(shù)式

11、為： Y = 120．99＋0．829X r = 0．937,三、多元線性回歸模型的建立,現(xiàn)以二元回歸分析為例，說明建立多元線性回歸方程的基本過程。設投入因素有X1和X2兩個，共有n組數(shù)據(jù)，根據(jù)數(shù)據(jù)分布可擬合為一直線。即：式中：b0是常數(shù)項；b1、b2分別為Y對X1、X2的回歸系數(shù)。,,要求確定b0、b1、b2值，使得總誤差（或誤差平方和）達到極小。即：達到極小。 此時，根據(jù)最小二乘法，必須滿足

12、：,,整理上式得；,,多元線性回歸相關系數(shù)的計算公式為：,,四、非線性回歸模型的建立,（一）拋物線回歸模型的建立 根據(jù)給出的資料，作散點圖，觀察散點分布呈拋物線，故選用拋物線回歸模型。 Y＝a＋bX＋cX2 為了計算方便，可令X／= X2，這樣拋物線回歸模型轉化為二元回歸模型，即Y=a＋bX＋CX／，其求解原理同二元回歸模型。,表2－3 投入產出資料,,第一步：畫出散點圖，列出回歸

13、模型。初步判斷為拋物線，可確立拋物線的回歸模型。如： Y＝a＋bX＋cX2第二步：列出計算表，見表2－4。,表2－4 計算表,,第三步：代入公式求解。 6a＋28b＋210c＝19．0 28a＋210b＋1756c＝111．3 210a＋1756b＋15 474c＝859．9通過行列式求解，得：a = 1．304 788，b = 0．772 744，c = －0．049 836。 因此

14、，得回歸方程： ? = 1．304 788＋0．772 744X－0．049 836X2,,第四步：結果分析。 由曲線回歸方程計算的理論值?與實際值Y相當接近，說明此方程符合實際。 再對上述方程求一階導數(shù)，并令其等于0。 X = 7．75,（二）對數(shù)回歸模型的建立,對數(shù)回歸是反映產量Y和變量X的對數(shù)成相關關系，其一般模型為： Y = a＋blnX式中：X代表投入量；a

15、、b代表待定系數(shù)。 為了計算方便，可令lnX = X/，這樣對數(shù)回歸模型就轉化為一元線性回歸模型，即Y = a＋bX/，其求解原理與一元線性回歸模型完全一樣。,五、生產函數(shù)建模中應注意的問題,建立合理的生產函數(shù)模型必須正確考慮四個因素，即數(shù)據(jù)的科學性、變量的選擇、模型的選擇、估計方法以及模型的檢驗，最終可歸結為變量及模型兩類因素。,第三節(jié) 柯布—道格拉斯生產函數(shù),一、柯布—道格拉斯生產函數(shù)模型 美國經濟學家道格拉斯（P．H．D

16、ouglas）與數(shù)學家柯布（ C．W．Cobb）合作，根據(jù)美國1899－1922年的歷史資料，研究了勞動投入與資本投入和產出之間的相關關系，得出這一方程。 Y＝ KLαC(1－α) 或 Y＝KLαCβ （α+ β =1）式中：Y代表產出量；K代表常數(shù)；L代表勞動投入量；C代表資本投入量； α 、（1－ α ）代表效益系數(shù)。上式中，勞動投放量和資本投入量的效益系數(shù)之和為1，稱之

17、為收益守恒。,一般模型：,( Y＝ALαKβeδt)式中：Y表示產出； X1表示勞動投入量；X2表示資本投入量；a、b1、b2為參數(shù)。 在農業(yè)中，主要的投入要素為土地、勞力和資金三項，因而農業(yè)上的柯布—道格拉斯函數(shù)模型一般為：式中：X1、X2、X3分別為土地、勞力和資金的投入量。通式,二、柯布—道格拉斯函數(shù)模型的經濟意義和特點,（一）柯布—道格拉斯生產函數(shù)的經濟意義通過柯布—道格拉斯函數(shù)式，分別對X1和X2求Y的編導數(shù)

18、。 則,,從公式可知，b1與b2分別表示勞動投入與資本投入的生產彈性。 b1是勞動投入的生產彈性，它表示一定比率的勞動投入所引起的一定比率的產出變化，即勞動投入所引起的邊際產出除以勞動投入的平均產出。 b2是資本投入的生產彈性，它表示一定比率的資本投入所引起的一定比率的產出變化，即資本投入所引起的邊際產出除以資本投入的平均產出。 a是轉換系數(shù)，它表示除生產要素X1，X2，X3，…

19、，Xn以外，其他要素對產出量的影響。,（二）柯布—道格拉斯函數(shù)模型的特點,第一，可以線性化，建模計算比較容易。對農業(yè)生產上的柯布—道格拉斯函數(shù)兩邊同取對數(shù)，為： lnY= ln a＋b1ln X1＋b2ln X2＋b3ln X3 令 Y= ln Y A=lna X1 = ln X1 X2 = ln X2

20、 X3 = ln X3 則上式就成了 Y＝a＋b1X1＋b2 X2＋b3 X3,,第二，與變量的量綱無關，計算方便。 第三，所有的投入都必須大于0。第四，彈性值（即效益系數(shù)）的解釋明確而且容易。函數(shù)系數(shù)等于各項投入的b值之和，即B=b1+b2+……+bn。當函數(shù)系數(shù)大于1，產出值以遞增的速度增加；當函數(shù)系數(shù)等于1，產出值以固定的速度增加；當函數(shù)系數(shù)小于1，產出值以遞減的速度增加；,三、柯

21、布—道格拉斯函數(shù)建模和分析的主要步驟,（一）明確農業(yè)技術經濟問題的性質，確定選用道格拉斯函數(shù)模型是否適宜函數(shù)模型為： （二）搜集整理數(shù)據(jù)資料 根據(jù)模型要求，研究者收集了如上八個方面2000年各農業(yè)小組的資料，并進行了整理。（三）建立生產函數(shù)模型如下,（四）對計測結果和模型 進行檢驗和經濟分析,1．R2=0．8728，表示總收入變化的87．28％，可用模型中的7個變量要素來說明，模型是合理的。 2．

22、生產彈性值分析 模型中，a1—a7，分別為要素X1—X7的生產彈性值。a1為X1（土地）的生產彈性值，表示在其他條件保持不變的情況下，如果X1增加1％，則農業(yè)總收入就會增加0．5202％，意即農場在當時條件下，若耕地面積增加312畝則種植業(yè)總收入就會增加2．77萬元。其余類推。,3．邊際生產力的分析,對生產函數(shù)模型 分別求各自變量的偏導數(shù)，則,求得各種資源的邊際生產力水平如下：,,,上面的結果表示，在農場當時生

23、產條件下，當其他生產要素不變時： 每增加1畝耕地，種植業(yè)總收入就增加89元； 每增加1個勞力，總收入就減少45．7元； 每增加1元化肥，總收入僅增加0．444元； 每增加1元農藥，總收入會增加2．509元； 每增加100元機械作業(yè)費，總收入僅增加 21．39元； 每增加100元企業(yè)管理費，總收入減少83．24元； 每增加100元共同生產費，總收入減少0．10元。,4．綜合分析和評價結論,（1）上述結果表明，長江農場土地資源

24、彈性值和邊際生產力都較高，因而在當時生產條件下應盡量擴大種植面積，而農場只有耕地33 762．5畝，僅占土地面積56．27％，機耕路、溝渠等竟占總土地面積的14．82％，占耕地面積的26．33％（見表4－1），,表4－1 長江農場土地占用情況一覽表,,（2）農場生產費用中商品肥增加較快，2000年占生產費用的10．3％，出現(xiàn)了過量施肥現(xiàn)象。對農場畝化肥量和糧食產量進行回歸分析得出如下經驗公式： Y=－1048．74＋838

25、．63lgX式中：Y為糧食畝產量（千克）；X為施化肥量（千克） R2=0．9617，極顯著。 對上述回歸公式進行邊際分析，得化肥施用最佳量為135千克。因此應控制化肥施用量，不宜超過135千克，否則會增產不增收。,,（3）農場畝生產費用中企業(yè)管理費已占到14．8％，不論從其生產彈性值還是邊際生產力分析來看，企業(yè)管理費的增加都只能減少收入，因而應進一步壓縮非生產性開支，努力節(jié)減行政辦公、招待費用之類。 （4）以上分析均

26、在當時生產技術水平下進行，為長遠計，應從根本上考慮如何進一步革新生產經營技術。,四、增長速度方程,增長速度方程是描述投入要素增長速度、產出增長速度與科技進步速度之間關系的數(shù)學模型，是從柯布—道格拉斯生產函數(shù)通過微分計算得到的： Y=A（t）tF（K，L）兩端求全導數(shù)，得：在上式兩端除以Y，并定義：,,則有： 令：或 δ =Y－αk－βl （α＋β=1）式中：Y、k、l分別是產出量、資本投入量和勞動投入量的增

27、長率。,科技進步率(δ),農業(yè)產出量的年增長率被分解成三個部分，其中兩個部分是資本和勞動投入的年增長率各自引起的農業(yè)產量增長的那部分年增長率。 第三部分則是δ表示的靠科技進步實現(xiàn)的農業(yè)產出量增長的那一部分年增長率。也就是說，年科技進步率是產出年增長率扣除資本和勞動投入的增長率后的產出增長率的余值。,五、綜合要素生產率指數(shù),由索羅（Solow，1957年）和丹尼森（Denison，1967年）提出的測算公式，把生產要素份額作為權數(shù)將單個

28、投入數(shù)列匯到一個總投放數(shù)列中去，然后用總產出數(shù)列除以總投放數(shù)列，得到總要素生產率指數(shù)（ Total Factor Productivity，簡稱TFP）。 綜合要素生產率指數(shù)法又分為三種：幾何指數(shù)法、算術指數(shù)法和Thed－Tornqvist超越對數(shù)指數(shù)法。,幾何指數(shù)法,幾何指數(shù)法的基本思路是：在計算出各年的綜合要素生產率后，把基期年份的綜合要素生產率為100，求出各年的生產率指數(shù)，其指數(shù)的變化率就是科技進步率。基本公式：

29、 P=Y／（KαLβ）,算術指數(shù)法,算術指數(shù)法的基本公式為： 式中：Yt、Y0為t年和基期年產出；ωi代表不同投入要素的價格；Xit、Xi0分別為t年和基期年各種要素的投入水平。而科技進步貢獻率則是全要素生產率TFPi和產出變化率Y′的比率。,Thed－Tornqvist超越對數(shù)指數(shù)法,Thed－Tornqvist超越對數(shù)指數(shù)法的基本公式為： 式中：Sit、Si0分別表示t年和基年投入要素費用占總產值份額或投入要素的生產