數學的過去現(xiàn)在與未來

1、數學的過去、現(xiàn)在與未來 解建國 2008.10.30,一、什么是數學,數學的應用 探索廣漠的宇宙，研究細微的粒子，考察地球的變化，揭示生命的奧秘，設計高樓大廈、工廠管理、物資調整、農業(yè)生產、市場供應、生產用品等 數學研究的對象 以數和形為

2、著手點 數學的定義 研究客觀物質世界的數量關系和空間形式的科學學科,一、什么是數學,對于數學的幾種不同看法 畢達哥拉斯認為:“萬物皆數”，“數是萬物的本質”，而整個宇宙是數及其關系的和諧體系 ,該看法把數的概念提到了突出的地位 康托爾認為：“數學存在于神的理智中” 希爾伯特認為：“數學只是一些符號，是一些形式的東西”，他是形式主義流派的代表 恩格斯認為

3、：“數和形的概念是從現(xiàn)實世界中得來的”,二、中國數學發(fā)展史,,,,,,,,迅速發(fā)展的時期,現(xiàn)代數學時期,萌芽時期,全盛時期,西方數學傳入時期,轉折時期,二、中國數學發(fā)展史,中國數學史的分期問題萌芽時期(發(fā)展時期) 漢朝初年（公元前一世紀）之前3000年左右時間迅速發(fā)展的時期 漢朝至隋朝中葉（7世紀），約700年時間全盛時期 隋中葉到元朝末年（14世紀中葉），約700年時間西方數學傳入時期

4、 明初到清中葉（18世紀中葉),約300年時間轉折時期 清中葉到中華人民共和國成立，約200年時間現(xiàn)代數學時期 中華人民共和國成立到現(xiàn)在,二、中國數學發(fā)展史,萌芽時期的數學成就 結草記數、十進制記數法、數域的形成、分數、負數、算籌、解方程、幾何應用等 繁榮時期的數學成就 劉徽注解《九章算術》；祖沖之求圓周率；《孫子算經》求解同余問題;球體積公式等 全盛時期的主要數學成就

5、建立了數學教育制度(國子監(jiān)：學校；祭酒：校長）;李淳風等人審定《算經十書》作為教材;沈括、楊輝的二項式展開系數; 秦九紹的”大衍求一術”及同余理論;朱世杰的高階等差級數求和等,二、中國數學發(fā)展史,西方數學傳入時期數學的主要成就 徐光啟 (1562年-1633年),利碼竇譯《幾何原本》,同時傳入中國的還有《測量法義》,《比例對數表》,《三角算法》等，但《微積分》、《解析幾何》傳入中國則是以后的事情轉折時期數學的主要成就

6、 李善蘭《對數探源 》,項名達”精圓求周術”;羅士琳《疇人傳》 1949年前,國內有《數學學報》,出過兩卷,只發(fā)表了34篇論文 承上啟下人物:蘇步青,陳建功,陳省身,華羅庚等,《幾何原本》,《幾何原本》是由古希臘數學家歐幾里得編著，大 約成書于公元前300年左右《幾何原本》是一部劃時代的著作，是最早用公理 化建立起演繹數學體系的典范。它從

7、 少數幾個原始假定出發(fā)，通過嚴密的 邏輯推理，得到一系列的命題，從而 保證了結論的準確可靠《幾何原本》的原著有13卷，共包含有23個定義、5 個公設、5個公理、467個命題。,二、中國數學發(fā)展史,現(xiàn)代數學時期數學的主要成就 1956年成立”中國科學院數學研究所；1951年創(chuàng)辦《數學學報》； 1955年創(chuàng)辦《數學進展》 代表成果 《堆壘數論》,《實函數論》, 《拓

8、撲空間概論》, 《數學物理方程》 研究領域 數理邏輯,數論,代數,微分幾何,拓撲學,函數論,概率論,運籌學,控制論,計算數學 代表人物 華羅庚,陳省身,蘇步青,陳景潤,吳文俊等,二、中國數學發(fā)展史,中國古代數學的特征及其世界數學史上的地位 算術十分發(fā)達,影響了印度和阿拉伯數學 代數方法獨特,適用范圍深廣 幾何重視計算,而不追求演譯,三、興衰交替的外國數學發(fā)展史,外國數學發(fā)展史各分期簡介萌芽時期(從

9、數學產生到公元前5世紀)人類文明的發(fā)源地，也就是數學的發(fā)源地：黃河、幼發(fā)拉底河、底格里斯河、印度河、尼羅河；以尼羅河為主，產生了“幾何學”，又叫“測地術”其中古巴比倫的數學較為發(fā)達古巴比倫重視代數：代表是一元二次方程；古埃及重視幾何，為《幾何原本》提供了素材；古印度代數和幾何均有建樹，但保存下來的較少,三、興衰交替的外國數學發(fā)展史,初等數學時期（公元前五世紀到公元十七世紀)古典希臘時期的數學 公元前5--6世紀，古希臘

10、跟古埃及、古巴比倫等國家通商，并進行知識交流，使得各條知識細流在古希臘匯聚古典希臘學派 愛奧尼亞學派（泰勒斯），畢氏學派、亞里士多德學派等共 8個，大多為哲學家亞里山大里亞時期及羅馬化時期的數學 阿基米德、阿波羅尼斯、丟蕃圖、托勒密的成果,阿基米德（公元前287年—公元前212年），古希臘數學家、物理學家，人類歷史上最偉大的科學家之一。對于物理學，他發(fā)現(xiàn)了浮力定律、杠桿原理及滑輪原理；對于數學，他求出了

11、圓周率的近似值、圓的面積、拋物弓形的面積等，已有微積分思想；對于天文學，他認為是日心說。特別地，由數學和天文學結合引出的“數沙者”是他的一個經典之作。名言：“給我一個支點，我能把地球撬起來！”,阿基米德，約公元前287～212)是古希臘物理學家、數學家，靜力學和流體靜力學的奠基人.,丟番圖（Diophante 246年～330年）,希臘數學家丟番圖的墓碑上記載著： 他生命的六分之一是幸福的； 在活了他生命的十二分

12、之一時，臉上長起長長的胡子； 他結了婚，又度過了一生的七分只一； 再過五年，他有了兒子，感到很幸福； 可是兒子只活了他父親全部年齡的一半； 兒子死后，他在極度悲痛中度過了四年，也與世長辭了． 根據以上信息，請你算出： （1）丟番圖的壽命； （2）丟番圖開始當爸爸時的年齡； （3）兒子死時丟番圖的年齡．,丟番圖的壽命,丟番圖的壽命84歲； 丟番圖開始當爸爸時的年齡38歲； 兒子死時丟番圖的年齡80歲．

13、設丟番圖的壽命x歲；則x/6+x/12+x/7+5+x/2+4=x,解得x=84,所以丟番圖開始當爸爸時的年齡=x/6+x/12+x/7+5=84/6+84/12+84/7+5=14+7+12+5=38 兒子死時丟番圖的年齡:84-4=80,三、興衰交替的外國數學發(fā)展史,東方數學發(fā)展時期 印度數學(300--1200年) 特點:零的使用、數軸的建立與使用、一元一次方程、十進制及無理數 阿拉伯數學(900--1500年)

14、特點:繼承古希臘數學體系并將印度十進制傳入歐洲 代表:花粒子模 東方時期的數學成就:形成十進制、初等數學、三角學、代數和幾何獨立古典數學3大難題現(xiàn)代數學3大難題,古典數學3大難題,三等分角問題 (Trisection of Angle) 只用一圓規(guī)和一把沒有刻度的直尺，將一個給定的角三等分。 若將條件放寬，例如允許使用有刻度的直尺，或者可以配合其他曲線使用，將一給定角分為三等分立方倍積問題

15、 (Doubling the cube / The Delian Problem) 求一個立方體的棱長，使得它的體積等于一給定立方體體積的2倍化圓為方 (Squaring the circle) 求一個正方形，使其面積等于一給定圓的面積,現(xiàn)代數學3大難題,有20棵樹，每行四棵，最多可以排多少行？ 古羅馬、古希臘在16世紀就完成了16行的排列，18世紀高斯猜想

16、能排18行，19世紀美國勞埃德完成此猜想，20世紀末兩位電子計算機高手完成排20行紀錄 相鄰兩國不同著一色，任一地圖著色最少可用4色完成著色 任三人中必有兩人同性,三、興衰交替的外國數學發(fā)展史,文藝復興時期 歐洲數學超越東方數學是以塔塔利亞等求出三次、四次方程的根或解為標志的。而對后來數學產生巨大影響的是哥白尼和開普勒領導的天文學革命 亞里士多德：地球中心說；托勒密體系：行星繞太陽做圓周運動 數學

17、成就：意大利邦別利確定了虛數,徹底解決了三次及四次方程求根問題；韋達推進了代數問題的一般性理論；笛卡爾引入了待定系數原理；帕斯卡得到了排列組合公式；費爾瑪提出了大定理；納白爾研究了對數等,三、興衰交替的外國數學發(fā)展史,變量數學時期（十七世紀到十九世紀）變量的引入是數學發(fā)展史上的一個轉折點,以笛卡爾建立平面直角坐標系為標志開普勒和伽利略找到了圓錐曲線應用的實際問題最偉大的數學家是費爾瑪、笛卡爾、牛頓、萊布尼茨、歐拉、“3L”、高斯、

18、龐加萊等最偉大的成就是建立了平面坐標系,發(fā)明了微積分，由此開始數學產生了眾多的分支,費爾瑪,費爾瑪（Fermat，1601年—1665年），法國業(yè)余數學家，經常和笛卡兒、邁多治等在梅森學院討論數學和物理學問題。證明了費爾瑪小定理，但留給后人費爾瑪大定理，直到1997年才得以證明。,笛卡兒,笛卡兒1596年3月31日生于法國土倫省萊耳市的一個貴族之家，1650年2月11日卒于斯德哥爾摩 笛卡兒堪稱17世紀及其后的歐洲哲學界和科學界

19、 最有影響的巨匠之一，，它創(chuàng)立了直角坐標系，開創(chuàng)了變量數學的先河，被譽為“近代科學的始祖”。,萊布尼茨,（Gottfriend Wilhelm von Leibniz，1646年.7.1.—1716年.11.14.）德國最重要的自然科學家、數學家、物理學家、歷史學家和哲學家，一個舉世罕見的科學天才，和牛頓同為微積分的創(chuàng)建人。他博覽群書，涉獵百科，對豐富人類的科學知識寶庫做出了不可磨滅的貢獻。,牛 頓,牛頓，是英國偉大的數學家、物理學

20、家、天文學家和自然哲學家。1642年12月25日生于英格蘭林肯郡格蘭瑟姆附近的沃爾索普村,1727年3月20日在倫敦病逝貢獻：經典力學三定律、萬有引力定律、光學基礎、微積分等,三、興衰交替的外國數學發(fā)展史,數學分析發(fā)展的階段十七世紀是天才時期，十八世紀是發(fā)明時期17——18世紀數學發(fā)展的三個特征 形成多個分支 級數理論、微分幾何、變分法、偏微分方程、復變函數等數學的證明法由幾何證明轉為代數分析的方法;過程 欠缺嚴密性

21、 級數和積分的收斂性、微分和積分次序的交換、微分方程解的存在性、連續(xù)與可微的關系等代表人物 歐拉、馬克勞林、拉格朗日、拉普拉斯、達朗貝爾、伯努利家族等,歐 拉,,（Leonhard Euler 公元1707年-1783年）也有翻譯為歐勒，18世優(yōu)秀的數學家，歷史上最偉大的數學家之一，是最高產和科學家，被稱為“分析的化身”和歐洲科學界的老師。,,幾何學的新發(fā)展 19世紀是幾何學的復興時期，主要產生了畫法幾何、射影

22、幾何、非歐幾何 高斯創(chuàng)立了用縱軸代表虛數軸的高斯平面 羅巴切夫斯基徹底解決第五公設，創(chuàng)立了非歐幾何；黎曼創(chuàng)立黎曼幾何 代表人物：彭色列、約什父子、高斯、羅巴切夫斯基、黎曼,三、興衰交替的外國數學發(fā)展史,三、興衰交替的外國數學發(fā)展史,代數學的新成就 高斯證明了代數學基本定理（1799年） 阿貝爾證明不能用根式解五次方程 伽略華開創(chuàng)群論，揭開了近世代數的序幕 雅可比建立行列式理論、矩陣理論、二次型、不變量理論，布爾代數 代表

23、人物：高斯、伽羅華、雅可比等,三、興衰交替的外國數學發(fā)展史,數學分析的巨大進展 柯西用極限概念嚴格定義函數的連續(xù)、導數和積分 維爾斯特拉斯建立ε-δ 法，確定一致收斂概念 以上兩人為主,解決了第二次數學危機 泊松、傅里葉、儒可夫斯基建立偏微分方程論 柯西、魏爾斯特拉斯建立復變函數 拉普拉斯建立概率論 17-18世紀形成的數學分支，每一門都使歐氏幾何相形見拙,現(xiàn)代數學時期（十九世紀到現(xiàn)在） 從十九世紀末開始，特別近世代

24、數是從伽略華創(chuàng)立群論開始的 變量數學研究變化著的量的一般性質和它們之間的依賴關系，而現(xiàn)代數學除此之外，還研究各種量之間的可能的關系和形式 產生新的數學分支如下,三、興衰交替的外國數學發(fā)展史,三、興衰交替的外國數學發(fā)展史,法國 勒貝格：測度和積分； 德國 弗里斯：點集拓撲學；納特：抽象代數； 丹麥 愛爾朗：排隊論 ； 蘇聯(lián) 柯爾莫哥洛夫：概率論公理化系統(tǒng)；龐特里雅金：最優(yōu)控制及其變分原理； 美國 維納：統(tǒng)計力學、《控

25、制論》； 馮 ?諾依曼：對策論；申農：通訊數學； 霍夫曼：組合數學;基費： 優(yōu)選法； 卡門：濾波理論；貝爾曼：動態(tài)規(guī)劃；ACM小組：算法語言；布勞威爾：不動點原理；維納：控制論；陳省身：纖維叢理論； 波蘭 愛倫伯克：范疇論； 英國 鄧希濟：線性規(guī)劃；,三、興衰交替的外國數學發(fā)展史,現(xiàn)代數學的主要特征自1768年瓦特發(fā)明蒸汽機以來，再沒有比計算機更激動人心的成果，計算機每次變革都是以更新所用元件為標志的現(xiàn)代數學的一般特征

26、 研究對象和應用范圍大大擴展：研究的是更具有普遍意義的量。如：向量、矩陣、超復數、群論等，它從量升格為“對象”了 新概念達到更高的抽象 集合論觀點占統(tǒng)治地位：是數學的基礎 計算機技術的發(fā)展將給數學的發(fā)展帶來巨大的沖擊,四、數學的主要分支,數學的主要分支 代數學、（線性代數、群論、環(huán)論、域論）、數論（初等數論，解析數論，代數數論，幾何數論）、幾何學（歐氏幾何、解析幾何 、非歐幾何等）數學分析、函數論

27、、 泛函分析、微分方程、概率論及數理統(tǒng)計、運籌學、數理邏輯、計算數學、控制論等 代數學 用字母代數→解方程→代數方程基本定理→矩陣、向量、集合、 群、環(huán)、域→線性代數→近世代數→布爾代數數論 研究整數的性質，數值計算實質是利用整數進行的,四、數學的主要分支,幾何學 歐氏幾何是以演繹推理來證明各種定理的。它的三大支柱：定義、公設和公理，它研究圖形在運動下的不變性質；后來形成射影幾何、 拓撲學、微分幾何

28、、解析幾何、非歐幾何學 數學分析 包括級數論、函數論、微積分方程、變分法、泛函分析，任務是研究函數的性質（極限是基礎）,四、數學的主要分支,函數論 基礎是點集論，研論點集函數、序列、極限、連續(xù)等，解決實變函數的分類問題、結構問題和運算規(guī)則；其中一個重要概念是測度 微分方程 表示未知函數的導數及自變量之間關系的方程 概率論和數理統(tǒng)計 研究隨機事件的數量規(guī)律,四、數學的主要分支,運籌學

29、 　 解決生產實際中有關安排、籌劃、調度、控制問題?！　　≈饕种В阂?guī)劃論、優(yōu)選法、對策論、排隊論 數理邏輯 　 用數學方法研究推理的規(guī)律，研究邏輯問題、數學 理論的形式結構及數學方法 計算數學 運用現(xiàn)代技術解決問題，分為數值計算方法和程序設 計的標準化及其自動化,運籌學的主要分支,運籌學主要分支,規(guī)劃論　　　求某一函數在一定約束條件下的最大或最小值的問題

30、,分為線性規(guī)劃和非線性規(guī)劃優(yōu)選法　　　1：對分法；2：0.618法；3：分數法;4：爬山法;5:調優(yōu)法對策論 研究競賽、斗爭怎樣取勝。重要概念：局中人、策略集，贏得函數排隊論 隨機服務系統(tǒng)理論,五.數學的發(fā)展規(guī)律和未來展望,數學的特點 抽象性（概念和方法都抽象）；準確性（邏輯嚴密、結論確定）；廣泛性 數學發(fā)展的規(guī)律 長期的綜合；廣闊、抽象、分支多；以數和形為主體；公式

31、化--簡單化；受社會實踐的影響：提出問題、指出方向、檢驗結果；受時代背景的影響,五.數學的發(fā)展規(guī)律和未來展望,數學發(fā)展的趨勢 數學不斷產生眾多分支 主要是從解析幾何和微積分形成后開始的 數學的綜合和分化 主要是從1872年克萊因用“群”的觀點統(tǒng)一各種各樣的幾何以及康托建立集合論開始 綜合是貫通性的，是分支之間的牽連，并不僅僅是分支或門類之間的合并；分化是分支的精細化，以研究手段的精細為標志,五.數學的發(fā)展規(guī)律和

32、未來展望,邊緣性學科 應用一門學科的方法去研究另外一門學科對象的內容所形成的學科。如：控制論交叉性 一門學科內部分支之間互相貫穿所形成的學科。如：解析數論綜合性 以特定的數學客體作為對象，采用多學科理論知識和方法對它進行研究。例：概率論和數學分析產生的分支—— 隨機微分方程,五.數學的發(fā)展規(guī)律和未來展望,前沿性 數學的三大前沿學科為：模糊數學、突變理論、非標準分析。數學的發(fā)展目前由學科領先過渡

33、到課程領先，這也是現(xiàn)代科學發(fā)展的標志 各門學科的“數學化” 不論自然科學、技術科學、社會科學都可以實現(xiàn)數學化,五.數學的發(fā)展規(guī)律和未來展望,近50年來，數學的新理論已超過十八、十九世紀的總和 歷史上數學發(fā)展的動力為天文學，物理學等；近代的動力還來源于工程技術，尖端技術；也來自于生物化學、生產組織、管理、計劃等 以公理系統(tǒng)做為數學統(tǒng)一基礎，滿足：和諧性（無矛盾性);獨立性（互不依附）;完備性（滿足性）,五.數