高等數學教案word版同濟

1、 第一講 第一講I 授課題目 授課題目: §2.1 導數概念 II 教學目的與要求 教學目的與要求:1. 理解導數的概念，理解導數的幾何意義；2. 會用導數描述一些物理量；3. 會用導數的定義求函數的導數并會判斷函數的可導性。III 教學重點與難點 教學重點與難點:

2、 重點：導數的概念難點：用導數的定義判斷函數的可導性 IV 講授內容 講授內容:微分學是微積分的重要組成部分，它的基概念是導數與微分。主要討論導數和微分的概念以及它們的計算方法。先討論導數的概念，而導數的概念的形成與直線運動的速度，切線問題有密切的關系。一、直線運動的速度，切線問題1．直線運動的速度先建立坐標系：設某點沿直線運動，在直線上引入原點和單位點（即表示實數 1 的點） ，使直線成

3、為數軸。此外，再取定一個時刻作為測量時間的零點，設動點于時刻 在直線t上的位置的坐標為 （簡稱位置） ，運動完全由位置函數所確定。 s位置函數： （1） ) (t f s ?從時刻 到 一個時間間隔，有平均速度為： 0 tt（2）0000 ) ( ) (t tt f t ft ts s?? ? ??時間間隔較短，比值在實踐中可用來說明動點在時刻 的速度，但動點在時 0 t刻 的速度的精確概念還得讓 ，即： 0 t 0 t

4、 t ?（3）00) ( ) ( lim0 t tt f t f vt t ?? ??極限值叫做動點在時刻 的（瞬時）速度，給出了求瞬時速度的方法。 0 t2．切線問題建立直角坐標系，函數的圖形為曲線，分析切線的定義，就得曲線上任一點處即 （7）0 0 0) ( , ,) ( ) ( lim lim ) ( 0 00 0 0x x x x x xx xdxx dfdxdy yxx f x x fxy x f? ? ??

5、? ? ???? ? ? ? ?? ? ?記函數 在點 處可導有時也說成 在點 具有導數或導數存在。 ) (x f y ? 0 x ) (x f y ? 0 x導數的定義也可取不同的形式，常見的有： （8） hx f h x f x fh) ( ) ( lim ) ( 0 00 0? ? ? ??（9）000) ( ) ( lim ) (0 x xx f x f x fx x ?? ? ??在實際中，需要討論

6、有不同意義的變量的變化“快慢”問題，在數學上就是所謂函數的變化率問題。導數概念就是函數變化率這一概念的精確描述。3. 函數在一點處不可導的定義定義 2 如果式（7）的極限不存在，就說函數在點處不可導，如果，當 時， 0 ? ?x比值時，就說函數 在點 處的導數為無窮大（此時函數不可 ? ? ??xy ) (x f y ? 0 x導） 。4.導函數的定義定義 3 如果函數 在開區(qū)間 內的每點處都可導，就稱函數 在開區(qū) ) (x f y ?

7、 I ) (x f y ?間 內可導。對任意 都對應著 的一個確定的導數值，這樣就構成了一 I I x ? ) (x f y ?個新的函數，這個函數叫做函數 的導函數，記作： ) (x f y ?（10） dxx dfdxdy x f y ) ( , ), ( , ? ?式（7） 、式（8）得（11） hx f h x f x fh) ( ) ( lim ) (0? ? ? ??導函數 簡稱導數，而 是 在 處的導數或導數 在點 ) (