2020年高考數(shù)學復習：一道習題的解題教學設計

1、一道習題的解題教學設計 一道習題的解題教學設計題目： 題目：已知函數(shù) 與函數(shù) 的圖像有兩個交點 . ( ) ln 1 f x x ? ? ( ) , g x ax a R ? ? 1 1 2 2 ( , ), ( , ) A x y B x y(Ⅰ)求實數(shù) 的取值范圍； a（Ⅱ）設 ， ，試探討 的符號，并證明．( ) ( ) ( )f x h x g x ? 1 20 2x x x ? ?0 ( ) h x ?一、理解題意 一、理解題

2、意本題是兩個函數(shù)圖象交點的問題，這類問題往往通過構造函數(shù)，可轉化為函數(shù)的零點問題解決。第一問： 第一問：通過求導，利用函數(shù)的單調性和極值（最值） ，來判斷函數(shù)的圖象與 軸交點的個數(shù)，從而 x求出實數(shù) 的取值范圍； a第二問： 第二問：探討 的符號，就是判斷 與 2 的大小關系，實際上是極值點的偏移問題。 0 ( ) h x ? 1 2 x x ?二、思路探求 二、思路探求第一問： 第一問：由題意知，函數(shù) 與函數(shù) 的圖像有兩個交點，處理這

3、類問題 ( ) ln 1 f x x ? ? ( ) , g x ax a R ? ?的基本方法有兩種：第一種方法：構造函數(shù) ，轉化為函數(shù) 有兩個零點。 ( ) ln 1 F x x ax ? ? ? ( ) F x第二種方法：分離參數(shù) ，方程 有兩個實根，即方程 有兩個零點ln 1 x a x? ? ln 1 x ax ? ?ln 1 x a x? ?第二問： 第二問：解決極值點的偏移問題，可由如下思路：1、令 ，構造對函數(shù) ， (

4、 ) ln 1 F x x ax ? ? ?2 ( ) ( ) ( ) G x F x F x a ? ? ? 1 (0, ) x a ?2、設 ，構造函數(shù) ，先證明加強不等式： ，ln 1 ( ) x x x ? ? ? 1 ( ) ( ) ( ) F x x x ? ? ? ? (0,1) x? 1 2 1 x x ?從而 ， 1 2 1 2 2 2 x x x x ? ? ?3、構造對稱函數(shù) ( ) ( ) (2 ) F x x

5、x ? ? ? ? ? (0,1) x?4、利用對數(shù)平均不等式2 1 2 12 1 ln ln 2x x x xx x? ? ? ?5、由題意得 ，所以 ， ，消去 1 1 2 2 ln 1 ,ln 1 x ax x ax ? ? ? ? 1 2 1 2 ln( ) 2 ( ) x x a x x ? ? ?2 12 1ln ln x x a x x? ? ?所以當 時 圖像與直線 有兩個交點，故 的范圍是 ． 0 1 a ? ? (

6、) x ? y a ? a (0,1)第二問： 第二問：解法 解法 1：由（1） ，不妨設 ， ( ) ln 1 F x x ax ? ? ? 1 21 0 x x a ? ? ?構造函數(shù) ，2 ( ) ( ) ( ) G x F x F x a ? ? ? 1 (0, ) x a ?則/ / /22 22 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 2 2 1 ( ) ( )a a G x F x F x a a a a a

7、a a x x x x a a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?所以 在 為增函數(shù)，又 ，則 ，即 ( ) G x1 (0, ) a11 0 x a ? ?1 ( ) (1) 0 G x G ? ? 1 12 ( ) ( ) F x F x a ? ?又 ，故 ， 1 2 ( ) ( ) F x F x ? 2 12 ( ) ( ) F x F x a ? ?又 ， ， 在 上遞減，所以 ，即 ，故12 1

8、 x a a ? ? 21 x a ? ( ) F x1 ( , ) a ?? 2 12 x x a ? ? 2 12 x x a ? ?0 1 x ?因為 ， ，所以ln 1 ( ) x h x ax? ? 2ln ( ) x h x ax? ? ?00 20ln ( ) 0 x h x ax? ? ? ?解法 解法 2：由（1） ，不妨設 ，構造函數(shù)ln 1 ( ) x x x ? ? ? 1 21 0 x x a ? ? ? 1

9、( ) ( ) ( ) F x x x ? ? ? ? (0,1) x?則/2 2 2 221 ln 1 ln 1 ( ) ( ) ( ) (1 )ln 0 1x x F x x x x x x x xx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? A所以 在 為增函數(shù)，又 ， ,即 ( ) F x (0,1) 1 0 1 x ? ? ( ) (1) 0 F x F ? ?111 ( ) ( ) x x ? ? ?又 ，則 ，又 ，

10、， 在 上遞減， 1 2 ( ) ( ) x x ? ? ?211 ( ) ( ) x x ? ? ?2 1 x ? 11 1 x ?( ) x ? (1, ) ??所以 ，即 ，從而 ，故211 x x ?1 2 1 x x ? 1 2 1 2 2 2 x x x x ? ? ? 0 1 x ?因為 ， ，所以ln 1 ( ) x h x ax? ? 2ln ( ) x h x ax? ? ?00 20ln ( ) 0 x h x a