數學解題方法之待定系數法探討

1、第 9 講：數學解題方法之待定系數法探討 講：數學解題方法之待定系數法探討 3～8 講，我們對數學思想方法進行了探討，從本講開始我們對數學解題方法進行探討。數學問題中，常用的數學解題方法有待定系數法、配方法、換元法、數學歸納法、反證法等。 在數學問題中，若得知所求結果具有某種確定的形式，則可設定一些尚待確定的系數(或參數)來表示這樣的結果，這些待確定的系數(或參數)，稱作待定系數。然后根據已知條件，選用恰當的方法，來確定這些系數，這

2、種解決問題的方法叫待定系數法。待定系數法是數學中的基本方法之一。它滲透于高中數學教材的各個部分，在全國各地高考中有著廣泛應用。 應用待定系數法解題以多項式的恒等知識為理論基礎，通常有三種方法：比較系數法；代入特殊值法；消除待定系數法。 比較系數法 比較系數法通過比較等式兩端項的系數而得到方程（組） ，從而使問題獲解。例如：“設， ? ? 2x f x m ? ?的反函數 ，那么 的值依次為 ▲ ” ，解答此題，并不困難，只需

3、先將 ? ? f x ? ?1 5 f x nx ? ? ? , m n化為反函數形式 ，與 中對應項的系數加以比較后，就可得 ? ? f x 2x m ? ? ? ?1 2 2 f x x m ? ? ? ? ?1 5 f x nx ? ? ?到關于 的方程組，從而求得 值。這里的 就是有待于確定的系數。 , m n , m n , m n代入特殊值法 代入特殊值法通過代入特殊值而得到方程（組） ，從而使問題獲解。例如：“與直線

4、L： 2 3 5 0 x y + + ＝平行且過點 A(1,-4)的直線 L’的方程是 ▲ ” ，解答此題，只需設定直線 L’的方程為 ， 2 3 0 x y k + + ＝將 A(1,-4)代入即可得到 k 的值，從而求得直線 L’的方程。這里的 k 就是有待于確定的系數。 消除待定系數法 消除待定系數法通過設定待定參數，把相關變量用它表示，代入所求，從而使問題獲解。例如：“已知 ，求 的值” ，解答此題，只需設定 ，則 ，代入

5、 即可求 b 2a 3 ? a ba b??b 2 =k a 3 ? a=3k b=2k ， a ba b??解。這里的 k 就是消除的待定參數。 應用待定系數法解題的一般步驟是： （1）確定所求問題的待定系數，建立條件與結果含有待定的系數的恒等式； （2）根據恒等式列出含有待定的系數的方程（組） ； （3）解方程（組）或消去待定系數，從而使問題得到解決。 結合 2012 年全國各地高考的實例，我們從下面四方面探討待定系數法的應

6、用：（1）待定系數法在函數問題中的應用；（2）待定系數法在圓錐曲線問題中的應用；（3）待定系數法在三角函數問題中的應用；（4）待定系數法在數列問題中的應用。 例 3. （2012 年江蘇省 年江蘇省 5 分） 分）設 是定義在 上且周期為 2 的函數，在區(qū)間 上， ( ) f x R [ 1 1] ? ，其中 ．若 ， 011 1( ) 2 0 1xxaxf x bxx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?≤≤≤，，，，a

7、b?R ， 1 32 2 f f ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?則 的值為 ▲ ． 3 a b ?【答案】 【答案】 。 10 ?【考點】 【考點】周期函數的性質。 【解析】 【解析】∵ 是定義在 上且周期為 2 的函數，∴ ，即 ①。 ( ) f x R ? ? ? ? 1 1 f f ? ? 2 1= 2b a ? ? ?又∵ ， ， 3 1 1 = 1 2 2 2 f f a ? ? ?

8、? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 32 2 f f ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?∴ ②。 1 4 1= 2 3b a ? ? ?聯(lián)立①②，解得， 。∴ 。 =2. = 4 a b ? 3 = 10 a b ? ?例 4. （2012 年全國大綱卷文 年全國大綱卷文 12 分） 分）已知函數 ． 3 2 1 ( ) 3 f x x x ax ? ? ?（1）討論 的單調性； (

9、 ) f x（2）設 有兩個極值點 ， ，若過兩點 ， 的直線 與 軸的交點在曲線 ( ) f x 1 x 2 x 1 1 ( , ( )) x f x 2 2 ( , ( )) x f x l x上，求 的值． ( ) y f x ? a【答案】 【答案】解：（1）∵ ，∴3 2 1 ( ) 3 f x x x ax ? ? ? ? ?2 2 ( ) 2 = 1 1 f' x x x a x a ? ? ? ? ? ?①

10、 當 時， ，且僅當 時 ?！?是增函數。 1 a ? ( ) 0 f' x ? =1 = 1 a x ? ， ( )=0 f' x ( ) f x②當 時， 有兩個根 。列表如下： 1 a < ( )=0 f' x = 1 1 x a ? ? ?x( ) f' x 的增減性 ( ) f x? ? 1 1 a ?? ? ? ? ， ＞0 增函數 ? ? 1 1 1 1 a a