哈密頓系統(tǒng)與微分幾何中的閉軌道.pdf

1、在這篇文章中，我們考慮球面上的兩類(lèi)閉軌道問(wèn)題： R<'2n>中緊凸超曲面上閉特征的多重性和穩(wěn)定性，F(xiàn)insler球面上閉測(cè)地線(xiàn)的多重性和穩(wěn)定性。 在第一部分，我們使用等變莫爾斯理論和龍以明發(fā)展的指標(biāo)迭代理論得到下面的結(jié)果：假設(shè)R<'2n>中緊凸超曲面∑上幾何相異的閉特征個(gè)數(shù)有限，則它們的平均指標(biāo)滿(mǎn)足一個(gè)系數(shù)為有理數(shù)的共振恒等式．基于這一新的恒等式我們證明了R<'6>中的任何緊凸超曲面∑上一定存在至少三個(gè)幾何相異的閉特征．這對(duì)R<

2、'6>的情形解決了哈密頓分析中一個(gè)長(zhǎng)期未解決的猜想．我們還證明了如果R<'4>中的緊凸超曲面∑上恰好存在兩個(gè)幾何相異的閉特征，則它們都是無(wú)理橢圓的；如果R<'6>中的緊凸超曲面∑上幾何相異的閉特征個(gè)數(shù)有限，則其中一定有兩個(gè)具有無(wú)理平均指標(biāo)；進(jìn)一步，如果其上恰好有三個(gè)幾何相異的閉特征，則其中一定有兩個(gè)是橢圓的。 在第二部分，我們使用莫爾斯理論，龍以明發(fā)展的精確指標(biāo)迭代公式以及N．Hingston的兩個(gè)存在性定理證明了下面的結(jié)論：在

3、任何Finsler 2-球面(S<'2>，F(xiàn))上，或者存在無(wú)窮多本原閉測(cè)地線(xiàn)，或者存在至少兩條無(wú)理橢圓本原閉測(cè)地線(xiàn)．在任何對(duì)稱(chēng)Finsler 2-球面(S<'2>，F(xiàn))上，至少存在三條幾何不同的閉測(cè)地線(xiàn)．對(duì)于任何黎曼3-球面(S<'3>，g)，如果其單射半徑至少為π并且其截面曲率K滿(mǎn)足1/16，F(xiàn))，如果它的旗曲率K滿(mǎn)足(λ/