一類具阻尼IBq方程的Cauchy問(wèn)題.pdf_第1頁(yè)
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1、本文分五章:第一章為引言;第二章研究一類具阻尼IBq方程的Cauchy問(wèn)題局部解的存在性和惟一性;第三章研究了Cauchy問(wèn)題整體解的存在性和惟一性;第四章證明上述Cauchy問(wèn)題解的不存在性及有限時(shí)刻的爆破,并給出解爆破的充分條件;第五章我們首先得到一些估計(jì),利用這些估計(jì)得到小初值條件下解的衰減性質(zhì),從而證明了整體解的存在性.具體內(nèi)容如下:在第二章中,我們研究如下一類具阻尼IBq方程的Cauchy問(wèn)題局部解的存在性和惟一性,其中v0≥

2、0,v1≥0,v0+v1>0是常數(shù),u(x,t)為未知函數(shù),f(u)是給定的非線性函數(shù),下標(biāo)t,x分別表示對(duì)t,x求導(dǎo).為此,注意到I-在Hs(R)上是可逆算子,我們將對(duì)(1)等價(jià)變形為然后利用壓縮映射原理證明Cauchy問(wèn)題(3),(2)局部解的存在性和惟一性,從而可得問(wèn)題(1),(2)局部解的存在性和惟一性.
  主要結(jié)果如下:定理1設(shè)s>1/2,φ∈Hs,ψ∈Hs,f∈C[s]+1(R)和f(0)=0,則Cauchy問(wèn)題(1

3、),(2)存在惟一的局部解u∈C1([0,T0);Hs),其中[0,T0)是解u(x,t)存在的最大時(shí)間區(qū)間,且當(dāng)?shù)谌伦C明了Cauchy問(wèn)題(1),(2)整體解存在惟一性.
  主要結(jié)果如下:定理2設(shè)s>1/2,φ∈Hs,ψx∈Hs,f∈C[s]+1(R),f(0)=0,和[0,T0)是Cauchy問(wèn)題(1),(2)的解u(x,t)存在的最大時(shí)間區(qū)間,如果其中M2是常數(shù),則T0=∞.
  定理3設(shè)φ∈H1,ψ∈H2,F(u

4、)≥0,f∈C2(R)和f(u),F(u),且滿足其中A,B為正常數(shù),則問(wèn)題(1),(2)有整體解u(x,t)∈C1([0,∞);H1).第四章則借助一加權(quán)函數(shù),用凸性方法得到了問(wèn)題(1),(2)的解在有限時(shí)刻發(fā)生爆破的充分條件.
  主要結(jié)果如下:定理4設(shè)u(x,t)是問(wèn)題(1),(2)的解,φ∈H1,ψ∈H2,∈L2,F(u),F(u)∈L1,f(u)∈C2(R),(a+1)u2+2aF(u)+f(u)u≥0,a≥1,則Cau

5、chy問(wèn)題(1.1),(1.2)的解u(x,t)在有限時(shí)刻爆破,如果下列條件之一成立:且[2(φ,ψ)+2(φ,ψx)+v0||ψ||2+v1||φ||2]2≥8(||ψ||2+||φ||2)E(0).第五章討論了小初值條件下Cauchy問(wèn)題(1),(2)整體解的存在性.為此,我們首先研究線性問(wèn)題解的一些估計(jì),然后利用壓縮映射原理得到了整體解的存在性.
  主要結(jié)果如下:定理5設(shè)φ∈H1∩L1,ψ∈H2∩L1,h∈L2(0,T:H

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