復(fù)雜計算機(jī)試驗設(shè)計與篩選設(shè)計的構(gòu)造.pdf

1、試驗設(shè)計在統(tǒng)計學(xué)的課程、應(yīng)用和研究等方面扮演著重要的角色。我們關(guān)于科學(xué)準(zhǔn)則、工程中的產(chǎn)品及制造過程等方面的許多知識都是通過試驗獲得的。試驗設(shè)計是制定試驗策略的工具，它能夠用最少的試驗次數(shù)來最大化得到的信息。傳統(tǒng)的試驗設(shè)計，例如因析設(shè)計、正交設(shè)計、區(qū)組設(shè)計、拉丁方設(shè)計和響應(yīng)曲面設(shè)計已被深入研究，得到了豐碩的理論成果。
　　本文研究試驗設(shè)計中的一些最新課題，包括計算機(jī)試驗中嵌套正交拉丁超立方體設(shè)計的構(gòu)造、分片正交且最大最小拉丁超立方體

2、設(shè)計的構(gòu)造，以及最少點混水平篩選設(shè)計的構(gòu)造。
　　在試驗的初級階段，試驗的目的是要識別出對試驗過程重要的因子。分辨度為Ⅲ和Ⅳ的部分因析設(shè)計常被用作篩選設(shè)計。但是用這些設(shè)計來識別活躍因子的時候有一些缺點，例如:對于任意一個分辨度Ⅲ的部分因析設(shè)計，某些主效應(yīng)會和一個或多個二階交互效應(yīng)完全混雜。這時候需要追加試驗來確定活躍的效應(yīng)。如何構(gòu)造具有良好性質(zhì)的篩選設(shè)計是一個重要的課題。對于因子全為兩水平或三水平的篩選設(shè)計，已有文獻(xiàn)提出了相應(yīng)的構(gòu)

3、造方法。但是，有些試驗既有兩水平因子又有三水平因子。目前尚沒有人給出混水平篩選設(shè)計的構(gòu)造方法。本文給出一種構(gòu)造混水平篩選設(shè)計的方法，得到的設(shè)計具有最少的試驗點，而且在D效率和估計的方差方面都有很好的表現(xiàn)。
　　傳統(tǒng)的試驗是在實驗室、工廠或者農(nóng)田里實施的。隨著計算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展，一些實體試驗可以用復(fù)雜的計算機(jī)程序進(jìn)行模擬。計算機(jī)試驗中不存在隨機(jī)誤差。在計算機(jī)試驗中，對給定的一組輸入值，得到的響應(yīng)是確定的。因此，傳統(tǒng)的試驗設(shè)計準(zhǔn)則，

4、即隨機(jī)化、分區(qū)組和重復(fù)，在計算機(jī)試驗的設(shè)計和分析中不再適用。由Mckay，Conover and Beckman(1979)提出的拉丁超立方體設(shè)計在計算機(jī)試驗中得到了廣泛的應(yīng)用。拉丁超立方體設(shè)計最初的構(gòu)造方法是每一列隨機(jī)抽取1到n的一個排列，其巾n是試驗次數(shù)。這種構(gòu)造方法可能導(dǎo)致某些因子之間具有很強(qiáng)的相關(guān)性。因子之間存在很強(qiáng)的相關(guān)性會使得后續(xù)的數(shù)據(jù)分析變得復(fù)雜，而且會更難識別出重要的因子。對于回歸模型來說，包含正交變量是合乎需要的，這樣

5、能夠保證系數(shù)的估計之間是不相關(guān)的。對于一階回歸模型來說，正交性可以確保主效應(yīng)的估計是不相關(guān)的。進(jìn)一步，對于一階回歸模型但二階效應(yīng)（即平方效應(yīng)和兩因子交互效應(yīng)）存在的情形，能夠保證所有主效應(yīng)的估計與二階效應(yīng)的估計不相關(guān)的設(shè)計是優(yōu)先采用的。構(gòu)造具有以下優(yōu)良性質(zhì)的拉丁超立方體設(shè)計是一個很重要的課題:
　　(a)主效應(yīng)的估計之間不相關(guān);
　　(b)主效應(yīng)的估計與平方效應(yīng)和兩因子交互效應(yīng)的估計不相關(guān)。
　　二階正交的拉丁超立方體

6、設(shè)計能夠滿足性質(zhì)(a)和(b).一個列中心化的拉丁超立方體設(shè)計是二階正交的，如果滿足:任意兩列的內(nèi)積為零，而且任意三列的對應(yīng)元素乘積之和為零。具體定義將在第一章中給出?，F(xiàn)有文獻(xiàn)中有一些方法來構(gòu)造具有性質(zhì)(a)和(b)的拉丁超立方體設(shè)計，參見Ye(1998)，Cioppa and Lucas(2007), Georgiou(2009), Sun, Liu and Lin(2009,2010), Yang and Liu(2012)和Ai，

7、He and Liu(2012)等.
　　一個像有限元分析模型這樣的復(fù)雜費時的計算機(jī)程序可以分成不同的精度來實施，這就產(chǎn)生了具有多個精度的計算機(jī)試驗。通常地，會同時用一個高精度（費時）的計算機(jī)試驗和低精度（運算快）的計算機(jī)試驗來研究復(fù)雜的實體系統(tǒng)。這種試驗得到的觀測通常用來構(gòu)建統(tǒng)計模型，以用來預(yù)測試驗的最精確的響應(yīng)(Kennedy and O'Hagan(2000), Qian, Seepersad, Roshan, Allen

8、and Wu(2006)and Qian and Wu(2008))。有效的數(shù)據(jù)收集對這種試驗的實施是至關(guān)重要的。Qian，Tang and Wu(2009)針對具有高精度和低精度的計算機(jī)試驗提出了一類新的設(shè)計，稱為嵌套空間填充設(shè)計?？紤]k個不同精度的計算機(jī)試驗，響應(yīng)分別是y1，…，yk，其中y1來自于最高精度的試驗，y2來自第二高精度的試驗，以此類推。令D1，…，Dk表示這k個試驗的設(shè)計陣。那么D1，…，Dk通常要滿足下面的條件:

9、r>　　(1)嵌套結(jié)構(gòu):D1(∈)…(∈) Dk;
　　(2)空間填充性質(zhì):每個Di都是空間填充設(shè)計。
　　拉丁超立方體設(shè)計具有一維投影均勻性。構(gòu)造具有良好性質(zhì)的嵌套拉丁超立方體設(shè)計，如嵌套正交拉丁超立方體設(shè)計，是一個很好的課題。目前只有個別的工作構(gòu)造了嵌套正交拉丁超立方體設(shè)計。Li and Qian(2013)針對兩精度的計算機(jī)試驗，給出了幾種方法來構(gòu)造（近似）列正交的嵌套拉丁超立方體設(shè)計。本文給出了適用于多精度計算機(jī)試驗

10、的嵌套正交拉丁超立方體設(shè)計的構(gòu)造方法，并且，所構(gòu)造的設(shè)計是二階正交的。
　　此外，對一個計算機(jī)試驗，通常都假設(shè)其變量是定量的。但是，一個計算機(jī)試驗可能同時包含定性和定量的變量。Qian and Wu(2009)提出的分片空間填充設(shè)計對同時包含定性和定量變量的計算機(jī)試驗是個很好的選擇?？臻g填充設(shè)計的每一片對應(yīng)著定性因子的一個水平組合，且在低維上都應(yīng)具有空間填充性質(zhì)。Qian(2012)構(gòu)造了具有一維投影均勻性的分片拉丁超立方體設(shè)計。

11、正交性是空間填充設(shè)計應(yīng)具有的重要性質(zhì)。目前只有Yang，Lin，Qian and Lin(2013)的工作來構(gòu)造分片正交拉丁超立方體設(shè)計。他們給出了幾種方法來構(gòu)造分片正交或者二階正交的拉丁超立方體設(shè)計。而且，現(xiàn)有的方法在構(gòu)造分片拉丁超立方體設(shè)計時只考慮了正交性或者一維投影均勻性。將正交性和高維投影均勻性一起來考慮是個新的課題。
　　盡管現(xiàn)在已有一些方法來構(gòu)造嵌套空間填充設(shè)計、分片空間填充設(shè)計和篩選設(shè)計，如上所述，目前還有不少新問題

12、需要解決。下面我們簡要介紹本論文各章的主要內(nèi)容。
　　第一章介紹一些背景知識，相關(guān)的概念、符號以及在后面章節(jié)中要用到的引理。
　　第二章給出一類嵌套正交拉丁超立方體設(shè)計的構(gòu)造方法。嵌套拉丁超立方體設(shè)計是針對多精度的計算機(jī)試驗提出來的。正交性已被證明是很重要的性質(zhì)。嵌套正交拉丁超立方體設(shè)計的構(gòu)造只有很少量的工作?，F(xiàn)有的構(gòu)造嵌套正交拉丁超立方體設(shè)計的方法只能得到某些特定層數(shù)的設(shè)計。本章利用正交設(shè)計來構(gòu)造具有兩層或多層結(jié)構(gòu)的嵌套正

13、交拉丁超立方體設(shè)計。得到的嵌套設(shè)計的層數(shù)可以是任意的正整數(shù)。新的設(shè)計還具有以下性質(zhì):任意三列對應(yīng)元素乘積之和為零，該性質(zhì)對因子篩選具有很好的用處。這些設(shè)計能夠保證所有主效應(yīng)的估計與平方效應(yīng)及兩因子交互效應(yīng)的估計不相關(guān)。這種構(gòu)造方法很容易實施。
　　第三章給出了分片正交且最大最小拉丁超立方體設(shè)計的構(gòu)造。分片拉丁超立方體設(shè)計是一種特殊的拉丁超立方體設(shè)計，能夠被分成若干片，并且每一片是一個小的拉丁超立方體設(shè)計。這種設(shè)計對具有定性和定量因

14、子的計算機(jī)試驗、多精度試驗、數(shù)據(jù)整合和交叉驗證很有用。正交性和均勻性對拉丁超立方體設(shè)計來說是很重要的性質(zhì)。在本章中，我們用正交設(shè)計、Goethals-Seidel表和Kharaghani表來構(gòu)造分片正交且最大最小拉丁超立方體設(shè)計。所構(gòu)造的設(shè)計不僅具有二階正交性，而且具有用最大最小距離準(zhǔn)則度量的很好的均勻性。
　　第四章介紹了一種用Conference矩陣來構(gòu)造最少點混水平篩選設(shè)計的方法。篩選設(shè)計經(jīng)常被用來識別大量因子中的活躍效應(yīng)。