幾類具時(shí)滯生物模型的穩(wěn)定性和分支分析.pdf

1、隨著生物數(shù)學(xué)的發(fā)展，時(shí)滯微分方程被廣泛地應(yīng)用于生物模型中，人們用它來描述既依賴于當(dāng)前狀態(tài)，又依賴于歷史狀態(tài)的動(dòng)力系統(tǒng)。系統(tǒng)的穩(wěn)定性和周期解的存在性日益成為具有重要意義的研究課題之一。其中，穩(wěn)定性體現(xiàn)了一種結(jié)構(gòu)的平衡。周期解的存在反映了自然界的周期運(yùn)動(dòng)規(guī)律。分支問題是時(shí)滯微分方程研究領(lǐng)域中的另一個(gè)重要課題，其研究對(duì)象是結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)。結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定是指當(dāng)參數(shù)變化并經(jīng)過某些臨界值時(shí)，系統(tǒng)的某些結(jié)構(gòu)屬性發(fā)生本質(zhì)的變化。時(shí)滯微分方程的研究既要用到經(jīng)

2、典的動(dòng)力系統(tǒng)理論，又涉及到拓?fù)?、代?shù)、泛函等相關(guān)知識(shí)，它有著重要的理論意義和實(shí)際意義。
　　本文綜合運(yùn)用LaSalle不變性原理、Lyapunov穩(wěn)定性理論、中心流形定理、規(guī)范型以及數(shù)值模擬等理論和方法，對(duì)幾類具時(shí)滯生物模型進(jìn)行了系統(tǒng)的研究，主要工作如下：
　　(一)研究了具時(shí)滯的宿主體內(nèi)病毒模型的動(dòng)力學(xué)行為。首先，討論了一類具有限時(shí)滯的宿主體內(nèi)病毒模型的全局動(dòng)力學(xué)行為。通過構(gòu)造全局Lyapunov泛函并結(jié)合LaSalle不

3、變性原理，證明了該系統(tǒng)的全局動(dòng)力學(xué)行為完全由基本再生數(shù)決定。其次，我們研究了一類具一般形式的細(xì)胞增長(zhǎng)函數(shù)、感染發(fā)生率函數(shù)和無限分布時(shí)滯的宿主體內(nèi)病毒模型的全局動(dòng)力學(xué)行為，并給出了系統(tǒng)的全局動(dòng)力學(xué)行為完全由基本再生數(shù)決定的充分條件。通過對(duì)該模型的分析，得到宿主體內(nèi)病毒模型的Hopf分支的發(fā)生不是由細(xì)胞內(nèi)的時(shí)滯引起的，而是由細(xì)胞增長(zhǎng)函數(shù)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)導(dǎo)致的。這個(gè)結(jié)果是最新的。最后，我們進(jìn)一步研究了Logistic增長(zhǎng)率r和細(xì)胞內(nèi)時(shí)滯τ對(duì)宿主體

4、內(nèi)病毒模型的動(dòng)力學(xué)行為的影響，選取r和τ作為分支參數(shù)，通過兩個(gè)參數(shù)的分支分析，得到了在二維參數(shù)平面上的全局Hopf分支的性質(zhì)。此結(jié)果第一次揭示了在病毒感染過程中細(xì)胞增長(zhǎng)函數(shù)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的重要性，僅當(dāng)系統(tǒng)具有恰當(dāng)?shù)募?xì)胞增長(zhǎng)函數(shù)時(shí)，細(xì)胞內(nèi)時(shí)滯才能引起穩(wěn)定的周期震蕩現(xiàn)象。
　　(二)研究了一類具無限分布時(shí)滯和非線性傳染的多種群SEIR傳染病模型的全局動(dòng)力學(xué)行為。通過構(gòu)造全局Lyapunov泛函并結(jié)合圖論的方法，證明了該系統(tǒng)閾值定理成立，

5、即基本再生數(shù)R0的大小完全決定了系統(tǒng)的全局動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。
　　(三)研究了宿主體內(nèi)具有時(shí)滯的CTL免疫反應(yīng)的T淋巴細(xì)胞白血病病毒感染模型的動(dòng)力學(xué)行為。首先，證明了該模型的全局動(dòng)力學(xué)行為完全由兩個(gè)閾值(病毒感染的基本再生數(shù)R0和CTL免疫反應(yīng)的的基本再生數(shù)R1)決定。其次，給出了正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和Hopf分支存在性條件，并分析了Hopf分支的性質(zhì)。最后，討論了CTL免疫反應(yīng)的滯后行為能夠?qū)е孪到y(tǒng)產(chǎn)生多個(gè)穩(wěn)定的周期解共存的現(xiàn)象，這些周期