分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)及其在保險(xiǎn)金融中的應(yīng)用.pdf

1、自19世紀(jì)60年代， Mandelbrot使科學(xué)界注意“長(zhǎng)程相關(guān)性”以來(lái)，這個(gè)概念變得越來(lái)越重要。如今，具有長(zhǎng)程相關(guān)性的隨機(jī)模型已經(jīng)激發(fā)了人們很大的研究興趣，并且被成功地應(yīng)用到不同領(lǐng)域．例如，在排隊(duì)系統(tǒng)，流體模型，通信網(wǎng)絡(luò)模型，交通模型，儲(chǔ)存模型和金融．參閱[21]，[41]，[62]，[68]，[80]，[81]，[82]，[96]，[102]和[106]。 分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)是一個(gè)常被使用的具有長(zhǎng)程相關(guān)性的過(guò)程．關(guān)于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的

2、研究最早可追溯到 Kolmogorov[58]，并命名為 Wiener 螺線． Mandelbrot和Van Ness 在一篇開(kāi)創(chuàng)性的論文[69]中首次提出了“分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)”這一名字。關(guān)于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的詳細(xì)介紹，參閱[30]或[94]。 分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)作為一種模擬工具有時(shí)比標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)更加靈活。它被用來(lái)模擬工程學(xué)，物理學(xué)和金融數(shù)學(xué)中的各式各樣的隨機(jī)數(shù)據(jù)．本文我們集中考慮它在保險(xiǎn)金融中的應(yīng)用。 最近幾年保險(xiǎn)金融正在蓬勃發(fā)展并

3、且取得想當(dāng)豐碩的成果。集體風(fēng)險(xiǎn)理論所關(guān)心的是保險(xiǎn)公司的總資產(chǎn)和風(fēng)險(xiǎn)余額的隨機(jī)波動(dòng)．對(duì)于古典風(fēng)險(xiǎn)模型，索賠過(guò)程是用一個(gè)具有空間齊次性和獨(dú)立增量性的復(fù)合泊松過(guò)程來(lái)描述的．根據(jù)過(guò)程的弱收斂，[52]用帶漂移的布朗運(yùn)動(dòng)來(lái)近似風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程．在風(fēng)險(xiǎn)理論中，一個(gè)擴(kuò)散近似的現(xiàn)代版本被[34]和[35]給出．由于它們比較完美的性質(zhì)，幾乎所有的精算變量包括破產(chǎn)時(shí)間、破產(chǎn)前余額、破產(chǎn)時(shí)赤字的精確結(jié)果都已經(jīng)被得到．近來(lái)，兩個(gè)風(fēng)險(xiǎn)模型下的一些最優(yōu)問(wèn)題包括再保險(xiǎn)、投資

4、和分紅被關(guān)注，并且部分已得到解決。 迄今，人們一直用具有馬爾科夫性的隨機(jī)過(guò)程來(lái)描述索賠過(guò)程。但在大部分情形下，保險(xiǎn)公司的索賠過(guò)程呈現(xiàn)出長(zhǎng)程相依性：給定時(shí)刻t后過(guò)程的行為，不僅依賴于￡時(shí)刻的信息，而且還依賴于時(shí)刻t以前的歷史．這種現(xiàn)象是不容忽視的并且很可能對(duì)不同的問(wèn)題產(chǎn)生影響，倒如償付能力，定價(jià)及最優(yōu)再保險(xiǎn)水平等等。因此，最近分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)被用來(lái)模擬保險(xiǎn)公司可能面臨的索賠， (參閱[3]，[20]，[32]，[33]，[75]和 [

5、76])。 在幾何布朗運(yùn)動(dòng)的框架下， Black和Scholes建立了著名的期權(quán)定價(jià)理論。然而，古典金融資產(chǎn)的數(shù)學(xué)模型仍不完善．兩個(gè)明顯的問(wèn)題存在于Black-Scholes公式中，即金融資產(chǎn)的價(jià)格過(guò)程不總是高斯和馬爾科夫的．為了更好地描述金融資產(chǎn)的價(jià)格，人們引入了更一般的模型，例如重尾Levy過(guò)程和隨機(jī)波動(dòng)率模型．后來(lái)，通過(guò)重標(biāo)極差法(R/S)，研究人員發(fā)現(xiàn)證券市場(chǎng)的波動(dòng)有明顯的持久性，然后他們?cè)囍梅謹(jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模擬股價(jià)和其他

6、資產(chǎn)價(jià)格，參閱[36]，[37]和[70]． 研究包括分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)微分方程所描述的系統(tǒng)是很自然的．在此體系下，一些標(biāo)準(zhǔn)問(wèn)題，例如預(yù)報(bào)、參數(shù)估計(jì)和濾波已經(jīng)得到了很好的解決，參考[12]，[14]，[38]，[54]，[55]，[56]，[60]，[78]和[86]．保險(xiǎn)和金融中的優(yōu)化問(wèn)題已經(jīng)吸引了人們很大的興趣。然而，大部分的結(jié)果是在馬爾科夫控制系統(tǒng)下得到的．所以，在更廣的環(huán)境下研究最優(yōu)控制問(wèn)題有其理論和實(shí)際價(jià)值。最近人們開(kāi)

7、始注意到分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)擾動(dòng)的系統(tǒng)下的最優(yōu)控制問(wèn)題。例如，[23]嘗試著去解一般的最優(yōu)問(wèn)題。[46]和[47]奠定了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)市場(chǎng)上最優(yōu)理論和最優(yōu)消耗的基礎(chǔ)。[49]研究了stop-loss-start-gain投資組合并且給出了標(biāo)準(zhǔn)期權(quán)定價(jià)的內(nèi)在價(jià)值和時(shí)間價(jià)值的Carr-Jarrow分解。另一方面，線性二次規(guī)劃是一個(gè)典型而且重要的隨機(jī)控制類，它可以被解決通過(guò)一個(gè)相關(guān)的黎卡提方程。就我們知道的，[57]得到一個(gè)有限時(shí)間區(qū)間上簡(jiǎn)單線性二次規(guī)

8、劃的完備解．[51]考慮了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)所擾動(dòng)下隨機(jī)線性系統(tǒng)的一些最優(yōu)控制問(wèn)題。盡管如此，LQ問(wèn)題仍沒(méi)有被完全展示。所以，我的博士畢業(yè)論文主要致力于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)擾動(dòng)體系下，保險(xiǎn)金融中LQ問(wèn)題的進(jìn)一步研究。 但是，對(duì)于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)隨機(jī)控制問(wèn)題的研究，不可避免地要涉及到關(guān)于它的隨機(jī)微分，相關(guān)的隨機(jī)積分和微分方程。因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)不是半鞅，極其豐富的半鞅隨機(jī)積分理論不能直接應(yīng)用。下面，我們使用最近在[26]中定義地關(guān)于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)

9、微分。另外，由于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的非馬氏性，著名的Hamilton-Jacobi-Bellman 方程不能被應(yīng)用但是我們可以采用鞅方法和完全平方的方法去解決相應(yīng)的控制問(wèn)題。 本篇論文的結(jié)構(gòu)和內(nèi)容安排如下： 第一章，我們介紹了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的定義、性質(zhì)及其關(guān)于分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)隨機(jī)積分理論的主要結(jié)果。 第二章，我們主要研究了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)擾動(dòng)下的古典風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程的最優(yōu)輸入問(wèn)題。通過(guò)完全平方的辦法，最優(yōu)控制策略的分析解被得到．另外，我

10、們還得到相應(yīng)的最優(yōu)值函數(shù)。 第三章，我們?cè)趲品謹(jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的風(fēng)險(xiǎn)模型下，考慮了保險(xiǎn)公司的最優(yōu)輸入和投資問(wèn)題．我們給出了最優(yōu)策略存在的充分條件。借助于兩種不同的辦法，最優(yōu)策略的解被給出．另外，我們導(dǎo)出了相應(yīng)的最優(yōu)值函數(shù)．最后，兩種特殊的情況被考慮。 第四章，在風(fēng)險(xiǎn)需求和投資兩種控制下，我們研究了動(dòng)態(tài)均值-方差問(wèn)題.基于HJB方程的粘性解和拉格朗日乘子技術(shù)，我們給出了古典的 Cramér-Lundbetg模型和擴(kuò)散模型下有

11、效前沿和有效策略的閉形式的解。 第五章，我們研究了動(dòng)態(tài)均值-方差投資組合選擇問(wèn)題，其中風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程是被分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)擾動(dòng)的古典風(fēng)險(xiǎn)過(guò)程．有效前沿和相應(yīng)的有效策略也被得到，并且與標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)情況下的結(jié)果進(jìn)行了比較。 第六章，我們考慮了在分?jǐn)?shù)Black-Scholes市場(chǎng)上，動(dòng)態(tài)連續(xù)時(shí)間的均值-方差投資組合選擇問(wèn)題．有效前沿和相應(yīng)的有效策略也被導(dǎo)出．我們展現(xiàn)了在分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的均值-標(biāo)準(zhǔn)差圖上有效前沿仍然是一條直線．最后，我們?cè)跀?shù)值