變分Lyapunov函數(shù)方法與脈沖混合系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論.pdf

1、眾所周知,脈沖現(xiàn)象普遍存在丁現(xiàn)代科技各領(lǐng)域的實(shí)際問(wèn)題中,其數(shù)學(xué)模型往往可以歸結(jié)為脈沖微分系統(tǒng).但是隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,出現(xiàn)了許多新的數(shù)學(xué)模型,僅用脈沖微分系統(tǒng)足無(wú)法恰當(dāng)描述的.比如,給廠房配電,不同時(shí)間段內(nèi)電流所滿足的微分方程是不同的.這時(shí),人們需要將系統(tǒng)切換到一組新的微分方程.這類(lèi)微分方程包含帶有脈沖特性的瞬時(shí)攝動(dòng),而本文要討論的脈沖混合系統(tǒng)就足其中一種特殊而重要的形式.該系統(tǒng)的特點(diǎn)是后一時(shí)問(wèn)段上的微分系統(tǒng)依賴(lài)十前一時(shí)問(wèn)段上木時(shí)刻的狀

2、態(tài).脈沖混合系統(tǒng)足脈沖微分系統(tǒng)的推廣,當(dāng)不同時(shí)間段上微分方程相同時(shí)就簡(jiǎn)化為脈沖微分系統(tǒng). 近年米,脈沖混合系統(tǒng)的研究受到許多學(xué)者的關(guān)注,并取得了一些成果<'[4,6,7,16,17]>.但到目前為止,研究方法主要足采用Lyapunov函數(shù)直接方法和比較方法,最近有些學(xué)者利用錐值Lyapunov函數(shù)又得到了一些新的成果<'[s,21]>. 由于脈沖混合系統(tǒng)中f(f,x.λ<,k>(x<,k>))=F(t,x)+R(t.x,λ<

3、,k>(x<,k>)),此時(shí)考慮把R(t.x.λ<,k>(x<,k>))看作x'=F(t,x)的一個(gè)攝動(dòng)項(xiàng),而變分Lyapunov函數(shù)方法足研究攝動(dòng)系統(tǒng)穩(wěn)定性的一種行之有效的方法<'6,9,10>],此時(shí)采用變分Lvapunov函數(shù),建立相應(yīng)的變分比較原理米研究脈沖混合系統(tǒng)的穩(wěn)定性和有界性問(wèn)題.脈沖混合系統(tǒng)自身的特點(diǎn)決定了此時(shí)對(duì)比較系統(tǒng)中的g(t,u.u)有關(guān)于u單調(diào)不減的條件限制. 若采用向量變分Lyapunovr函數(shù)來(lái)研究脈沖

4、混合系統(tǒng)時(shí),會(huì)對(duì)比較系統(tǒng)有擬單調(diào)的嬰求,岡而限制了其應(yīng)用.為解決這一問(wèn)題,可選擇適當(dāng)?shù)腻FZ,使得變分Lyapunov函數(shù)取值于錐Z且擬單調(diào)性條件只在錐Z上成立即可,從而大大改進(jìn)了原有的結(jié)采<'[11-15]>.這罩值得注意的足g(t,s.u,v)要分別對(duì)u,v在同一個(gè)錐Z上均滿足擬單調(diào)條件. 在以往的研究中,遇到了各種穩(wěn)定性,如:零解穩(wěn)定,集合穩(wěn)定,周期解穩(wěn)定等等.為了統(tǒng)一這些穩(wěn)定性概念,V.Lakshmilcantham和X.Z

5、.Liu進(jìn)行了廣泛的研究,建立了兩個(gè)測(cè)度的穩(wěn)定性理論<'[1-3,18-20]>.當(dāng)采用變分Lyapunov函數(shù)研究穩(wěn)定性時(shí),為了使兩個(gè)系統(tǒng)之間的穩(wěn)定性建立聯(lián)系,我們選取一個(gè)共同的初值測(cè)度h<,0>;當(dāng)采用錐值變分Lyapunov函數(shù)時(shí),相應(yīng)的我們引入定義在錐Z上的測(cè)度Q<,0>,Q. 基于上述思想,文章分為兩部分: 第一章,采用變分Lyapunov函數(shù)方法,建立脈沖混合系統(tǒng)的(h<,0>,h)-穩(wěn)定性和(h<,0>,h)-