多光譜BLT反源問題的一類新型正則化方法.pdf

1、近二十年來，作為應用數(shù)學和計算數(shù)學領域發(fā)展最快的分支之一，反問題的理論與計算研究具有重要的理論意義和研究價值。其在生物分子成像、醫(yī)學圖像處理、無損傷探測等領域都有著廣泛應用。尤其在生物分子成像領域，新興的BLT（生物發(fā)光體內成像技術）問題[1-10]以及分光譜BLT問題[11-17]，可由一個不適定的反源問題來描述[18，19，11，20-22，13，23，24]。針對這一不適定的反問題，現(xiàn)已有多種數(shù)值求解方法[19-23，25]。本文

2、的主要工作是:針對BLT問題，構造了一種重構源函數(shù)的新方法，并在光源函數(shù)的允許集非離散和離散為分片常數(shù)函數(shù)空間中的有界集這兩種情況下，分別進行了收斂性分析和誤差估計;進一步，將光源函數(shù)允許集離散為分片線性函數(shù)空間，證明了收斂性和誤差估計，并提升了收斂精度;針對分光譜BLT問題，構造了一種重構多光譜多區(qū)域光源的新方法，在各光源允許集非離散以及離散為分片常數(shù)函數(shù)空間中有界集和分片線性函數(shù)空間這三種情況下，分別驗證了收斂性并給出誤差估計和誤差

3、階;提供數(shù)值實例說明這些方法的計算效果。
　　首先，針對BLT問題，構造了一種重構源函數(shù)的新方法。區(qū)別于已有方法，新方法的目標泛函中測量數(shù)據吻合度一項定義在整個生物體區(qū)域上，從而使其有限元逼近在實際應用中更加精確。該方法的關鍵是利用Tikhonov正則化方法的思想，將此不適定反源問題轉化為一個極小化問題，并通過證明目標泛函嚴格凸等性質，導出該問題解的存在唯一性。由有限元方法的誤差估計及細致分析，證明了極小化問題有限元解的收斂性和誤

4、差估計，得到相應的誤差階為O(h)。進一步，將光源函數(shù)的允許集離散為分片常數(shù)函數(shù)空間中的有界集，通過有限元誤差分析及細致推導，證明了相應極小化問題有限元解的收斂性和誤差估計，得到相應誤差階為O（h+（h十H1/2）EH(pε）1/2）。最后提供數(shù)值實驗驗證了該方法的有效性。
　　其次，作為對第二章中新方法的補充和發(fā)展，我們將光源函數(shù)允許集離散為分片線性空間。通過有限元誤差分析及細致推導，證明了相應極小化問題有限元解的收斂性和誤差估

5、計，并將誤差階提升為O(h+(h十h1/2H1/2+H)EH(pε)1/2)，并提供數(shù)值實例說明改進后新方法的計算效果。
　　最后，針對分光譜BLT問題，構造了一種重構多光譜多區(qū)域光源的新方法。首先，對各區(qū)域不同光譜的光源函數(shù)的重構，可通過一系列不適定的反源問題來描述。然后，由Tikhonov正則化，將這一系列反源問題轉化為一個極小化問題，并利用目標泛函的嚴格凸性等性質，證明了極小化問題解的存在唯一性。接著，由有限元誤差估計及相關

6、分析，證明了極小化問題有限元解的收斂性和誤差估計，得到相應誤差階為O(h)。進而將各光源函數(shù)的允許集離散為分片常數(shù)空間中的有界集，利用相應誤差分析和推導，證明了離散化后極小化問題解的收斂性和誤差估計，得到相應誤差階為O(h+(h十H1/2)EH1(pεM)1/2)。同時，當各光源允許集離散為分片線性函數(shù)空間時，由有限元方法及細致分析，驗證了極小化問題有限元解的收斂性和誤差估計，并將誤差階提升為O(h+(h十h1/2H1/2+ H)EH2