Almansi型分解及其應用.pdf

1、多調和函數(shù)作為多項式函數(shù)的最直接的推廣，其理論在偏微分方程，數(shù)值計算，小波分析，多復變函數(shù)論，彈性理論，雷達成像等領域中有許多重要應用．Al—mansi分解定理是多調和函數(shù)理論的核心定理，它是Fischer定理的推廣，F(xiàn)ischer定理是球調和函數(shù)理論的基礎，F(xiàn)ischer分解通過Fischer內積和Bargmann變換緊密相連，Bargmann變換在Heisengberg群表示理論中有重要應用(參見[59，36])．原始的Alma—n

2、si分解將多調和理論簡化為調和函數(shù)理論，早期研究成果匯集在《多調和函數(shù)》一書[3]中． 本文將系統(tǒng)地研究Almansi分解定理，建立有限型Almansi分解定理和無限型Al—mansi分解定理，建立Clifford分析，Dunkl—Clifford分析，Umbral分析理論中的相應的Almansi分解定理． 在有限型Almansi分解定理中，我們將研究雙曲算子，雙曲Helmholtz算子，Dun—kl—Laplace算子

3、，Umbral—Helmholtz算子相應的Almansi分解，這推廣了古典的Alma—nsi分解定理關于Laplace算子及其冪算子的理論，我們所研究的函數(shù)將不再局限于古典情形的復值函數(shù)，我們將研究Clifford值函數(shù)．值得指出的是，古典的Clifford分析大多局限于在Clifford代數(shù)Clo，n，我們的理論適用于一般的Clifford代數(shù)Clp，q．(見第二章和第四章) 作為有限型Almansi分解定理的應用，我們完全

4、解決了單位球上關于雙曲算子的Riquier問題，利用Dunkl算子的Almansi分解，我們給出了多重Dunkl調和函數(shù)的增長估計，從而得到了多重Dunkl調和函數(shù)的Liouville定理．(見第四章和第五章) 無限型Almansi分解定理是級數(shù)形式的分解定理，函數(shù)的研究類型從多調和函數(shù)擴充到了解析函數(shù)，我們得到了星形域上解析函數(shù)無窮級數(shù)表示，其求和項由波函數(shù)給出．這一理論平行于單位球面上平方可積函數(shù)關于球調和函數(shù)的分解理論．(

5、見第四章) 無限型Almansi分解定理中的級數(shù)表示由關于雙曲算子的normalized system給出，這需要對normalized system進行深入研究，我們得到了波算子，Dunkl—Laplace算子的normalized system．古典情形的normalized system處理的算子是可交換的，我們在Clifford分析中研究normalized system將面臨非交換的算子．我們將normalizedsy

6、stem的研究領域推廣到了非交換領域．作為應用我們求解了Helmholtz方程的具體形式解，研究了波算子的Riquier問題．(見第三章) 利用Almansi分解定理，我們試圖研究Clifford分析中的polymonogenic函數(shù)理論，例如其Berezin變換理論．Berezin變換在物理上具有重要的應用．古典的Berezin變換涉及單位球上的全純函數(shù)或者調和函數(shù)．我們初步的結果給出了關于monogenic函數(shù)的Berezi