多重非線(xiàn)性?huà)佄锓匠蹋ńM）奇性解的漸近分析.pdf

1、本文主要研究幾類(lèi)多重非線(xiàn)性?huà)佄锓匠?組)奇性解的漸近行為．所討論的問(wèn)題包括確定非線(xiàn)性擴(kuò)散方程組的blow-up臨界指標(biāo)、考查梯度項(xiàng)對(duì)非線(xiàn)性?huà)佄锓匠探獾腷low-up性質(zhì)的影響，以及研究帶有奇異非線(xiàn)性反應(yīng)項(xiàng)的拋物問(wèn)題解的quenching現(xiàn)象等．首先討論一個(gè)具有內(nèi)部吸收項(xiàng)及耦合邊界流的非線(xiàn)性擴(kuò)散方程組．通過(guò)對(duì)模型中非線(xiàn)性機(jī)制之間相互作用的精確分析，我們確定了其blow-up臨界指標(biāo)．其次考慮含梯度項(xiàng)的非線(xiàn)性?huà)佄锬Ｐ?，探究其中?duì)流項(xiàng)是否并且

2、以何種程度影響解的blow-up行為．最后我們研究有限時(shí)刻quenching問(wèn)題．對(duì)于具有耦合吸收項(xiàng)并附加正Dirichlet邊界條件的非線(xiàn)性?huà)佄锓匠探M，我們考慮了解的同時(shí)與非同時(shí)quenching；而對(duì)于具有加權(quán)非線(xiàn)性吸收的熱方程，我們描述了解的quenching時(shí)間和quenching集的漸近行為． 第一章概述本文所研究問(wèn)題的實(shí)際背景和國(guó)內(nèi)外的發(fā)展現(xiàn)狀，并簡(jiǎn)要介紹本文的主要工作． 第二章考慮內(nèi)吸收非線(xiàn)性擴(kuò)散方程(um

3、)t=Δu-a1uα1，(vn)t=Δv-a2vβ1經(jīng)由邊界流(δ)u/(δ)η=uα2υp，(δ)u/(δ)η=uqυβ2耦合的初邊值問(wèn)題．通過(guò)引入特征代數(shù)方程組以及對(duì)所有八個(gè)非線(xiàn)性指標(biāo)的完全分類(lèi)，我們得到對(duì)該問(wèn)題blow-up臨界指標(biāo)的簡(jiǎn)明而清晰的刻畫(huà)．由于所考慮模型的一般性，這一工作包含了關(guān)于blow-up臨界指標(biāo)的許多已有結(jié)果．與單個(gè)方程結(jié)果的比較可見(jiàn)耦合機(jī)制對(duì)blow-up臨界指標(biāo)的本質(zhì)性影響． 第三章致力于含梯度項(xiàng)的

4、非線(xiàn)性?huà)佄锓匠探獾腷low-up分析，其目的在于研究梯度項(xiàng)對(duì)解的漸近行為的影響．對(duì)于具有內(nèi)部吸收項(xiàng)及正性梯度項(xiàng)的半線(xiàn)性?huà)佄锓匠蘵t=△u+｜▽u｜r-αepu附加邊界條件(δ)u/(δ)η=equ的初邊值問(wèn)題，我們證明當(dāng)且僅當(dāng)r≥2時(shí)，梯度項(xiàng)對(duì)blow-up的形成起本質(zhì)作用．進(jìn)一步，當(dāng)r>2時(shí)，對(duì)流項(xiàng)還將顯著影響blow-up速率，并且使得blow-up速率具有關(guān)于模型參數(shù)的不連續(xù)性(discontinuous)．然而，梯度項(xiàng)對(duì)空間bl

5、ow-upprofile并無(wú)本質(zhì)性影響．對(duì)非線(xiàn)性擴(kuò)散方程wt=(e(m-1)w)xx-λe(p-1)w附加Neumann邊界條件wx(0，t)=0，wx(1，t)=e(q-m)w(1，t)的初邊值問(wèn)題，利用scaring方法，我們建立了解的blow-up速率估計(jì)．通過(guò)適當(dāng)變換，該方程等價(jià)于一含對(duì)流項(xiàng)的多孔介質(zhì)類(lèi)型方程．雖然此模型中的對(duì)流項(xiàng)不改變解的blow-up速率，但它給問(wèn)題的討論帶來(lái)一定的困難． 第四章研究有限時(shí)刻quenc

6、hing問(wèn)題，包括非線(xiàn)性?huà)佄锓匠探Mut=△u-v-p，vt=△v-u-q，(x，t)∈Ω×(0，T)具有正Dirichlet邊界條件的初邊值問(wèn)題，以及帶有加權(quán)非線(xiàn)性吸收的熱方程ut=uxx-Mf(x)u-p，(x，t)∈(-1，1)×(0，T)附加邊界條件u(-1，t)=u(1，t)=1和初值φ(x)的模型．對(duì)于前一問(wèn)題，我們建立了Ω=BR徑向解的非同時(shí)quenching準(zhǔn)則：當(dāng)p，q≥1時(shí)quenching必為同時(shí)，當(dāng)P<1≤q或q<

7、1≤P時(shí)必為非同時(shí)；若P，q<1且R>√2N，則quenching依賴(lài)于初值既可能同時(shí)也可能非同時(shí)．需要提及的是，在對(duì)共存性結(jié)果的證明中，我們工作的新意在于恰當(dāng)?shù)囟x一個(gè)初值集合以使quenching解具有某些一致下界估計(jì)．對(duì)于后一問(wèn)題，我們利用局部能量估計(jì)方法，得到當(dāng)M→+∞時(shí)解的quenching時(shí)間與quenching集的漸近性態(tài)．我們有，當(dāng)M→+∞時(shí)，quenching時(shí)間T～m/p+1·1/M，其中m=1/maxx(f(x)/