簡介:1,數學史從象牙塔到小學課堂,江蘇啟東市教育局教研室蔡宏圣博客CAIHONGSHENGBLOGNTJYNET,2,話題的背景,在很多小學老師的視界中,數學教育缺失了一只眼睛。例數學史的運用在當下的課堂是種時尚。時尚中的缺憾愛國主義標簽學生感受例,3,“三角形的認識”中的教學意外,,4,,,5,思辨,數學史的運用是為了數學史的教學還是為了數學的教學數學史的運用是外在于課堂教學要素還是內化于課堂教學要素,6,數學史內化于課堂要素,教師、學生、教學內容是不可缺失的課堂教學三個基本要素。之于教師,數學史是調適數學觀念的重要基礎之于學生,數學史是把握思維歷程的獨特視角之于教學內容,數學史是厘清數學本質的厚實背景,7,對數學的理解不同教學方式也不同,,8,,,9,數學本質對于數學教學的影響,英國著名數學教育家斯根普說,“我先前總認為數學教師都是在教同樣的學科,只是一些人比另一些人教得好而已。但我現(xiàn)在認為在‘數學’這同一個名詞下所教的事實上是兩個不同的學科?!?10,現(xiàn)場調查,說起數學,你腦海中浮現(xiàn)下面哪些詞抽象嚴謹生活常識直觀具體枯燥符號形式化邏輯證明計算有趣猜測錯誤準確,11,數學教師的數學觀,數學教師更傾向于把數學看成一個與邏輯有關的、有嚴謹體系的、關于圖形和數量的精確運算的一門學科。(香港學者黃毅英)教師的數學觀源自自身的數學學習經歷和教學經驗。,12,抽象和嚴謹是數學的本來面目嗎,十進制與十指坐標與蜘蛛克拉與種子正負數與顏色各種符號的意義(自然和方便為上)等號字母,,13,,等號的產生和方程有關。15世紀就有人用水平的破折號“”表示等號。公元1557年,英國御醫(yī)、牛津大學數學教授雷科德首先將一條破折號上平行地添加一條,放兩條平行線,同樣長的一對雙生子“”表示相等,任何兩件東西,不可能比它們更相等了。,,14,,米METREM千米KILOMETREKM分米DECIMETREDM厘米CENTIMETRECM毫米MILLIMETREMM噸TONT克GRAMG千克KILOGRAMKG,,15,抽象和嚴謹是公理化的要求,數學的抽象、嚴謹只是一門數學分支成熟立說時的“外衣”。數學在其誕生之初,充滿著濃郁的生活常識的痕跡,認識過程充滿了曲折、猜測、直觀,乃至錯誤和不可思議。一個數學知識最原始的部分,既不神秘也不嚴謹,沒有一點形式邏輯的印記,認識的提升恰恰帶有濃重的按照生活事理邏輯自然衍生的痕跡。,16,數學兩重性對數學教學的啟示,數學內容的形式性和數學發(fā)現(xiàn)的經驗性一個數學教師應該在在數學的具體源頭和抽象形式之間來回穿行,關注兒童們生活經驗的現(xiàn)實,尋找數學知識的邏輯源頭,領悟其間的數學過程和思想方法,由此,組織的數學教學可以順應著生活事理的邏輯走向,孩子們的學習可以像呼吸一樣自然和樸素。,17,案例乘法的初步認識,18,總結一,一個認真研讀數學史的教師,就可以自我調適建立在經驗層面上零散的、片面的數學觀念,雖然形成的先進數學觀念也不系統(tǒng),但在某一方面能更切合數學發(fā)展的本來面目。數學史起碼提供了這樣的視角,讓我們看到了數學的深刻和抽象實際上孕育在具體和直觀中,也許在課堂中我們看不到顯性的、事實性的數學史實,但卻能影響著一個教師的數學教育思想努力用淺顯的情境去凸顯數學思想的深刻內涵,使得數學教育具體中見深邃,淺顯中見厚重,使得教學能煥發(fā)出思想的光芒、經典的力量。,19,讀懂兒童是教育促進發(fā)展的前提,就數學學習來說,讀懂兒童不是泛化意義上追求對兒童的理解,而應突出地表現(xiàn)為細膩地、科學地對兒童在數學學習中思維活動做深入的了解和分析,大致把握兒童在數學學習中可能出現(xiàn)的困難。匈牙利著名數學家和數學教育家波利亞“只有理解人類如何獲得某些事實或概念的知識,我們才能對人類的孩子應該如何獲得這樣的知識作出更好的判斷。”,20,案例認識負數,中國是最早認識和使用負數的國家。據早在2000多年前的九章算術記載,那時的人就有了“糧食入倉為正,出倉為負;收入的錢為正,付出的錢為負”的思想。1700多年前,我國數學家劉徽在注解九章算術時,更明確地提出了正負數的概念,并用不同顏色的算籌來表示它們。這些認識中國比印度要早600多年,比西方國家要提前1500多年。,21,基于數學史實的追問,現(xiàn)在看似理所當然的事情,在最初認識負數的時候,有哪些困難難,難在哪里使用負數到接納負數,那是兩個不同的認識階段。那接納負數,意味著在理性認識上要建構起哪些認識生活中相反意義的量,一個用正數表示,一個就用負數表示,怎樣讓孩子們認識到0在其中的重要作用在歷史上,數學家們在認識的提升中遇到了什么困難他們的困難對于兒童的數學學習有無借鑒意義,22,“荒謬”的負數,在數學史上,把負數稱為“荒謬的數”、“虛假的數”的人不在少數,其中不乏當時的大數學家。(不能指物為數)德國數學家斯蒂菲爾在整數算術中稱從零中減去一個大于零的數,得到的數“小于一無所有”,是“荒謬的數”。1表示一件物體,2表示兩件物體,0表示什么都沒有,“什么都沒有”就到了盡頭了,而負數比零還要小,比“什么都沒有”還要少,這怎么可能呢,23,“認識負數”教學的重構,重構“0”的意義,和已有認識的實現(xiàn)融通,才賦予了負數的理性意義。,24,總結二,人類完成了一次認識的跨越之后,回顧頭來看往往認為那是理所當然的事情,因此,作為教師要準確把握學生在初次學習中的學習障礙就有難度,而歷史上數學家們在當初認識提升的過程中,留下的困惑和挫折卻為我們了解此問題提供了獨特的不可替代的視角。關注數學歷史中人類認識的挫折和失敗,據此琢磨人類認識提升所經歷的階段,其中走過的彎路、碰到的認知障礙等等,為準確把握學生學習的思維歷程提供了一種可能。,25,數學本質之于數學教學的意義,在哲學層面上,有這樣的數學教育規(guī)律問題并不在于教學的最好方式是什么,而在于數學到底是什么。如果不正視數學的本質問題,便解決不了關于教學上的爭議。研究所教內容的數學本質,是數學教學的永恒話題。,26,數學史是厘清數學本質的厚實背景,課堂中我們所接觸到的數學知識體系,是經過精心組織的公理化的結果,已經和其歷史過程割裂開來。但一個數學概念,作為人類千百年思維抽象的結晶,僅僅看它的最終形式化表述,普通人就很難深入把握其確切的本質意義。英國數學家阿蒂亞爵士說,一個新思想最有意義的部分,常常不在那些最一般的深刻定理之中,而往往寓于最簡單的例子、最原始的定義,以及最初的一些結果。最重要的信息卻常常包括在容易的部分,甚至在幾個簡單且深刻的觀察之上,27,案例用字母表示數,例如,“用字母表示數”在教材配套的教師用書中,對其重要作用表述為這是人類認識的一次飛躍,但教師實際上很難理解其真正的意義。反而有教師認為,用字母表示數是因為不知道這個數是多少。,28,讓歷史告訴我們(1),初等代數的中心內容是解方程。最早的代數問題已知“堆”(音何)與七分之一“堆”相加得19,求“堆”的值。人類在解方程中的探索是按照兩條線索展開的。,29,讓歷史告訴我們(2),阿拉伯數學家阿爾花拉子米和他的還原和對消的科學。把一個正方形面積加上其一邊長度之十倍等于39時,此正方形必是什么(用現(xiàn)代符號表示即為X2+10X39)花氏的解答為把所加邊長的倍數除以2,得5。把該數自乘,得乘積25。把此數與39相加,得64。取此數的平方根得8,從該數中減去邊長倍數之半,剩下3。此即所求正方形的邊長,因而所求正方形面積等于9。,30,讓歷史告訴我們(3),古埃及人用“堆”來表示特定的未知數;古中國,曾經用天、地、人、物四個漢字來表示四個未知數;花拉子米本人在用完整的文字來敘述方程解法的同時,也沒有妨礙他把未知量稱為“東西”或(植物的)“根”。古希臘丟蕃圖是最早使用簡略記號的代數學家。在他的著作里,將未知數稱為“題中的數”,并用希臘字“數”的第一個音節(jié)的縮寫來表示。,31,讓歷史告訴我們(4),一個個音節(jié)的縮寫,使得每一個縮寫其本身都具有先入為主的意義,因而就只能表示一個個特定的數量,只不過有所簡略而已。因此,一個個方程都各具獨自的特點,意大利數學家卡當的巨著大法中記錄的方程種類有66中之多。17世紀,法國數學家韋達尋找能求解各種方程的通用方法。,32,讓歷史告訴我們(5),韋達在分析方法引導的名著中這樣寫道在這里,我們用一種技巧來幫助我們區(qū)別已給的量和所求的或未知的量,這就是用一種有永久性質的、易于理解的符號體系例如,用A或其他母音字母表示未知量,用B、C、G或其他子音字母表示已知量。,33,讓歷史告訴我們(6),重要里程碑意義超越了各類數量的具體特點,從一般意義上用字母來表示它們,濾去了原先代數活動中的具體意義,省略了數學關系的實際情境,去掉了實際語言帶來的差別。這樣,就把原先各具特點的方程歸結成了通用的形式,使得代數變得能適應所有場合的普遍情況,極大地擴展了代數的應用范圍。,34,讀史明智,用字母表示數意味著縮寫→符號未知量→已知量特定→變化人類認識提升的三個階段文辭代數→縮寫代數→符號代數。,35,總結三,抽象的數學概念只有放在歷史背景中,和抽象活動的歷史過程結合起來,才能變簡練為豐富、變艱澀為生動,才能較完整地呈現(xiàn)出其經驗性和演繹性二重統(tǒng)一的本質,進而才能更容易被后來的學習者調動起全部的經驗積累來支撐其建構概念的全部含義。我們要在數學知識的學校形態(tài)、科學形態(tài)和原始形態(tài)之間來回穿梭,從更寬廣的視野研讀教材,思索領悟知識的數學本質、思想內核,把握人類認識提升的大致過程。只有這樣,才能為學生對數學獲得更好的理解提供生長點。,36,從數學史到數學教育,小學數學中引入數學史不是為了數學史的教學,而是為了數學的教學。從這個意義上說,數學史對于數學教學來說,還只是重新應用和思維加工的材料。一個教師知道了一段數學史實,他設計的教學能有多大的創(chuàng)新性和發(fā)展性,取決于他在研讀數學史中的再創(chuàng)造程度。,37,策略一(1),基于數學教學,即數學史的研讀要確立為了數學教學的價值取向。為了教學的數學史研讀,是為了站在歷史的高度,厘清知識的來龍去脈、數學思想的演進走向,更好地把握住所教數學知識的知性本質,以求得我們的數學教育能注入深刻和厚重。所以,為了教學的數學史研讀,是立足于現(xiàn)實中的“人”而去關注歷史中的“人”和“事”。,38,策略一(2),不能只關注史實,而要通過歷史上不同數學事件的比較,提煉數學思想發(fā)展的規(guī)律,不斷優(yōu)化自己的數學觀念;要透過某知識歷史演進的脈絡,提煉出人類認識逐步提升的順序;要善于抓住歷史的表象,立足于認識論的角度多些追問;透過歷史上人類認識曾經走過的彎路、數學家們的挫折和困惑,提煉出人類認識某知識的障礙;要立足于“給孩子們正確的數學觀念和良好的學習情感”的視角,捕捉有教育意義的歷史故事和歷史事件。,39,策略一(3),研讀所依據的材料不是原始的數學史料和文物,而是各種版次的數學史著作;研讀方法上要圍繞同一個事件,研讀不同版本的數學史,從不同的數學史著作中豐富此數學事件的內涵,更要參考數學史上數學家的傳記等資料;在缺乏資料的情況下,不妨運用“邏輯推演”的方式對某知識發(fā)展的歷史過程作出解釋。一方面可以站在現(xiàn)代數學的高度,對古人數學思考和方法的走向進行數理分析,以合情推理來把殘缺的歷史資料統(tǒng)合起來;另一方面,可以依據數學發(fā)生發(fā)展的規(guī)律,對某知識的形成作出解釋。復原,,40,策略一(4),,,41,策略二(1),寬于數學史實,即數學史的考察要和其它數學教育理論結合在一起。數學史所揭示的數學思想發(fā)展歷程,其最終可以歸結為數學家們的思維發(fā)生、發(fā)展的過程,因而,數學發(fā)展的本質和數學教育心理等其他數學教育理論所揭示的認知發(fā)展規(guī)律是相通的。,42,策略二(2),從歷史上看,算術、代數、幾何、三角和微積分都不是通過操作形式化的符號而產生的,任何一門學科最初都是通過直觀的方法建立起來的,數學家大都也是直觀地思考問題,然后才用演繹的形式,用文字、數學符號和形式邏輯來表述他的論點。,43,策略二(3),數學教育心理學“表征”,44,策略三(1),從歷史中汲取的教學素材和啟示,只不過提供了數學教學的另一種可能,能否成為現(xiàn)實的課堂,還應該切合教學的現(xiàn)實狀況課程標準的實際要求、這一內容的教科書編寫要義、學生可能的接受水平等,即在數學史和教學現(xiàn)實狀況間應該達成一種平衡,以順應課堂教學的特點。,45,策略三(2),課堂教學中運用數學史,不是完全再現(xiàn)歷史歷程,而是再現(xiàn)數學發(fā)展進程中的經典瞬間,讓學生接受數學思想的洗禮。為此,荷蘭著名數學教育家弗萊登塔爾說“孩子應該重復人類的學習過程,但并非按照它的實際發(fā)生過程,而是假定人們在過去就知道更多的我們現(xiàn)在所知道的東西,那情況會怎么發(fā)生?!币虼?,這其中重要的是符號化而不是符號本身,是語言描述而不是語言本身,是定義化而不是定義本身,如此等等。,46,策略三(3),數學史也只有和教學現(xiàn)實融合在一起,才能明晰課堂教學的整體思路,不然教學就會迷失在浩瀚的數學史料中,失去應有的教學目標。,47,結束語,盡管數學史不是解決一切數學教育問題的靈丹妙藥,但它對于數學教育的促進作用已成大家共識。數學史就其本質而言是人類數學思想的發(fā)展史,而數學教育的高境界是數學思想的感悟和熏陶,因而,數學教育無疑能從數學史中汲取更豐富的養(yǎng)分,數學史也完全能夠促使數學教育變得更加豐富。,48,,謝謝傾聽,
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