簡介:2001年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學一試卷,,,,,,一、填空題本題共5小題,每小題3分,滿分15分把答案填在題中橫線上設Y?EXASINX?BCOSXA,B為任意常數(shù)為某二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解,則該方程為R?X2?Y2?Z2,則DIVGRADR1,?2,2,3交換二次積分的積分次序,?,?,?1,2,01?Y,DYFX,YDX=,,,4設A2?A?4E?O,則A?2E?15DX?2,則根據(jù)車貝曉夫不等式有估計P{X?EX?2}???二、選擇題本題共5小題,每小題3分,滿分15分每小題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)1設函數(shù)FX在定義域內(nèi)可導,Y?FX的圖形如右圖所示,則Y?F?X的圖形為,,A,,B,,,,CD2設FX,Y在點0,0的附近有定義,且FX?0,0?3,FY?0,0?1則,第1頁共12頁,,ADZ|0,0?3DX?DYB曲面Z?FX,Y在0,0,F0,0處的法向量為{3,1,1},C曲線,Z?FX,YY?0,在0,0,F0,0處的切向量為{1,0,3},D曲線,Z?FX,YY?0,在0,0,F0,0處的切向量為{3,0,1},3設F0?0則FX在X0處可導?,,,,2,ALIM,H,H?0,F1?COSH,存在,,BLIM,H,H?0,F1?EH,存在,,2,CLIM,H,H?0,FH?SINH,存在,,H,DLIM,F2H?FH,H?0,存在,4設,11,00,?1,1?,?0,0?,?,?,?,?,A?,,則A與B,,,A合同且相似,B合同但不相似,C不合同但相似D不合同且不相似5將一枚硬幣重復擲N次,以X和Y分別表示正面向上和反面向上的次數(shù),則X和Y相關系,數(shù)為,,A1,B0,,C12,D1,三、本題滿分6分,,ARCTANEX,E2X,求?,DX,,,第2頁共12頁,四、本題滿分6分設函數(shù)Z?FX,Y在點1,1可微,且F1,1?1,FX?1,1?2,FY?1,1?3,?X?FX,FX,X,,,,X?1,D求?3XDX,五、本題滿分8分,設FX?,,X,1?X2ARCTANXX?,1X?0,,0,將FX展開成X的冪級數(shù),并求?,?,?1N,N?11?4N2,的和,,,,,六、本題滿分7分計算I???LY?ZDX?2Z?XDY?3X?YDZ,其中L是平面X?Y?Z?2與柱面222222X?Y?1的交線,從Z軸正向看去,L為逆時針方向,,第3頁共12頁,X?0,七、本題滿分7分設FX在?1,1內(nèi)具有二階連續(xù)導數(shù)且F?X?0證明1對于?X??1,0?0,1,存在惟一的?X?0,1,使FXF0XF??XX成立2LIM?X?05,八、本題滿分8分,,HT,第4頁共12頁,2X2?Y2,設有一高度為HTT為時間的雪堆在融化過程,其側面滿足方程Z?HT?,設長,度單位為厘米,時間單位為小時,已知體積減少的速率與側面積成正比系數(shù)為09,問高度為130厘米的雪堆全部融化需多少時間,九、本題滿分6分設Α1,Α2,?,ΑS為線性方程組AX?O的一個基礎解系,Β1?T1Α1?T2Α2,Β2?T1Α2?T2Α3,?,ΒS?T1ΑS?T2Α1,其中T1,T2為實常數(shù),試問T1,T2滿足什么條件時Β1,Β2,?,ΒS也為AX?O的一個基礎解系,,,十、本題滿分8分已知三階矩陣A和三維向量X,使得X,AX,A2X線性無關,且滿足A3X?3AX?2A2X1記P?X,AX,A2X,求B使A?PBP?12計算行列式A?E,第5頁共12頁,十一、本題滿分7分設某班車起點站上客人數(shù)X服從參數(shù)為???0的泊松分布,每位乘客在中途下車的概率為P0?P?1,且中途下車與否相互獨立Y為中途下車的人數(shù),求1在發(fā)車時有N個乘客的條件下,中途有M人下車的概率2二維隨機變量X,Y的概率分布,十二、本題滿分7分設XN?,?2抽取簡單隨機樣本X,X,?,XN?2,122N,,,?I,第6頁共12頁,樣本均值X?,2N,I?1,12N,N,?IN?I,I?1,2,X,Y?X?X,?2X,求EY,,2001年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學一試卷答案與解析,一、1【分析】由通解的形式可知特征方程的兩個根是R1,R2?1?I,從而得知特征方程為R?RR?R?R2?R?RR?RR?R2?2R?2?0由此,所求微分方程為Y?2Y?2Y?0121212,2【分析】,,,,,,,RRR,?,??,?,?X?Y?Z,?,???,,,,,,,??R?R?R??XYZ??,X?Y?Z,??,GRADR,,?,,再求DIVGRADR?,XR?Y,R?ZR,,,,,,,,,,2,X2Y2Z2,R3,1113X2?Y2?Z2,???????RR3RR3RR3R,?于是R,,,22DIVGRADR|1,?2,2R|1,?2,2?3,3【分析】這個二次積分不是二重積分的累次積分,因為?1?Y?0時,02,?1,1?Y,?,?,1?Y?2由此看出二次積分DYFX,YDX是二重積分的一個累次,0,2,積分,它與原式只差一個符號先把此累次積分表為DY,?1,1?Y,?,?,??,FX,YDX?FX,YDXDY由累次積分D,的內(nèi)外層積分限可確定積分區(qū)域D?1?Y?0,1?Y?X?2見圖現(xiàn)可交換積分次序,02,2,0,2,1,0,1?X,?1,1?Y1,1?X,原式?DY,FX,YDX??DX,?,??,?,?,?,FX,YDY?DXFX,YDY,,,4【分析】矩陣A的元素沒有給出,因此用伴隨矩陣、用初等行變換求逆的路均堵塞應當考慮用定義法因為A?EA?2E?2E?A2?A?4E?0,故A?EA?2E?2E,即A?E?A?2E?E按定義知A?E?1?1A?2E22,,,,?2,5【分析】根據(jù)切比雪夫不等式P{X?EX??}?DX,于是,,,,,22,2,P{X?EX?2}?DX?1,,二、1【分析】當X?0時,FX單調(diào)增?FX?0,A,C不對當X?0時,FX增減增?FX正負正,B不對,D對應選D2關于A,涉及可微與可偏導的關系由FX,Y在0,0存在兩個偏導數(shù)?FX,Y在0,0處可微因,此A不一定成立關于B只能假設FX,Y在0,0存在偏導數(shù),,,,,第7頁共12頁,?F0,0?F0,0,?X?Y,,不保證曲面,,,?,??F0,0?F0,0,Z?FX,Y在0,0,F0,0存在切平面若存在時,法向量N?,?,?,?,,?X?Y,,?1???{3,1,1},與{3,1,1}不共線,因而B不成立?X?T,,關于C,該曲線的參數(shù)方程為?Y?0,,?,?Z?FT,0,,?,它在點0,0,F0,0處的切向量為,,X,{T,0,DFT,0}|,DT,T?0,?{1,0,F0,0}?{1,0,3}因此,C成立,,X?0,,,XXX,X?0?X?0?,3【分析】當F0?0時,F0?LIMFX??LIMFX?LIMFX?,,,,,,,22,1,COSHLIM,H?0H,H?0,2T?0?,關于ALIM1F1?COSH?LIMF1?COSH?1?COSHT?1?,1?COSHHT,FT,,由此可知,,H?0H2,?,LIM1F1?COSH??F0?若FX在X?0可導?A成立,反之若,?,,A成立?F0??F0?如FX?|X|滿足A,但F0不?關于D若FX在X?0可,,,,導,?1,F2H,FH,2HH,H?0H,H?0,LIMF2H?FH?LIM2,??2F0?F0,H?0,,,?D成立反之D成立?LIMF2H?FH?0?FX在X?0連續(xù),?FX在X?0可導,?2X?1,X?0,如FX?,?,0,X?0,?,滿足D,但FX在X?0處不連續(xù),因而F0也不?再看C,,,,,,LIM1,H2H2,H?0H2,H?0,H?0,H?SINHT,FH?SINH?LIMH?SINH?FH?SINH?LIMH?SINH?FT當它們都?時,,H2,,,T,H?0T?0,注意,易求得LIMH?SINH?0因而,若F0??C成立反之若C成立?LIMFT即,,F0?因為只要FT有界,任有C成立,如FX?|X|滿足C,但F0不?因此,只能選B,第8頁共12頁,T4【分析】由|?E?A|??4?4?3?0,知矩陣A的特征值是4,0,0,0又因A是實對稱矩陣,A必能相似對角化,所以A與對角矩陣B相似作為實對稱矩陣,當A?B時,知A與B有相同的特征值,從而二次型XTAX與XTBX有相同的正負慣性指數(shù),因此A與B合同所以本題應當選A注意,實對稱矩陣,合同時,它們不一定相似,但相似時一定合同例如A?,??,0203,?10??10?,??,????,與B?,它們的特征值不同,故A,與B不相似,但它們的正慣性指數(shù)均為2,負慣性指數(shù)均為0所以A與B合同5【分析】解本題的關鍵是明確X和Y的關系X?Y?N,即Y?N?X,在此基礎上利用性質相關系數(shù)?XY的絕對值等于1的充要條件是隨機變量X與Y之間存在線性關系,即Y?AX?B其中A,B,是常數(shù),且當A?0時,?XY?1當A?0時,?XY??1,由此便知?XY??1,應選A事實上,COVX,Y?COVX,N?X??DX,DY?DN?X?DX,由此由相關系數(shù)的定義式有,,,,,,,,,,,,,,,,,,,DXDY,DXDY,COVX,Y?DX,?XY????1,,,,11,X,DEX,X?2X?2X,三、【解】原式?ARCTANEDE??EARCTANE22,?,??E2X1?E2X,,,,,XX1DEDE1,?2XX?2XX?XX,EARCTANE??2X??2X?EARCTANE?E?ARCTANE?C2E1?E2,,DX,X?1,四、【解】先求?1?F1,F1,1?F1,1?1求D?3X|?3?21?1?3?1,歸結為求,?1由復合函數(shù)求導法,,12,DX,1212,?X?FX,FX,X?FX,FX,XDFX,X,?1?F1,1?F1,1F1,1?F1,1,,,1,?F1,1,注意F1,1?,,,2,?2,F,?F1,1,1,1?,?X?Y,?3因此,,DX,X?1,?1?2?32?3?17,D?3X|?3?17?51,五、【分析與求解】關鍵是將ARCTANX展成冪級數(shù),然后約去因子X,再乘上1?X2并化簡即可,,2,1,N2N,?,直接將ARCTANX展開辦不到,但ARCTANX易展開,即ARCTANX?,??N?0,1?X,?,1X,|X|?1,,①,,,0,0,X,NX2N,?,?,2N?1,N?0N?0,?1N,積分得ARCTANX?ARCTANTDT??,1TDT?,2N?1,?,?,?,?,X,X??1,1②,因為右端積分在X??1時均收斂,又ARCTANX在X??1連續(xù),所以展開式在收斂區(qū)間端點X??1成立,現(xiàn)將②式兩邊同乘以,,X,1?X2,得,,,,,2,2N,2N,X,1?X2,??1N,??1N,??1NX2N?2,ARCTANX?1?X,2N?1,N?02N?1,2N?1,?N?0,X??X,??N?0,,,2N,?,?1N,??1N?12N,N?02N?1N?02N?1,?X??,,,11,1,N,2N,?,N?1,X1??,2N?12N?1,?,,2N,第9頁共12頁,2X,??1N2,N?11?4N,?X?1??,,X??1,1,X?0上式右端當X?0時取值為1,于是,,,2,2N,??1N2,FX?1?,1?4N,?N?1,X,X??1,1上式中令,,,,,,,2,1?,?1,?,?1N1,X?1?,1?4N22442,?N?1,?F1?1?2??1??,,13,N?COS?,COS?,COS??,六、【解】用斯托克斯公式來計算記S為平面X?Y?Z?2上L所為圍部分由L的定向,按右手法則S取上側,S的單位法向量?,1,1,1于是由斯托克斯公式得,,,,,,S,COS?,?,Y2?Z2,COS?COS????Y?Z2Z2?X23X2?Y2,I????X,DS,,,,333,S,???2Y?4Z1??2Z?6X1??2X?2Y1DS,,,,,23,23,?,??S,??S,4X?2Y?3ZDS利用X?Y?Z?2?,6?X?YDS于是,,,,,,,,,,XY,1?Z2?Z2?1?1?1?3,,,3D,D,按第一類曲面積分化為二重積分得I??2??6?X?Y3DXDY??2??6?X?YDXDY,其中D圍,,S在XY平面上的投影區(qū)域|X|?|Y|?1圖)由D關于X,Y軸的對稱性及被積函數(shù)的奇偶性得??X?YDXDY?0?I??12??DXDY??1222??24DD七、【證明】1由拉格朗日中值定理,?X?1,?1,X?0,???0,1,使FX?F0?XF?X,,X,?與X有關又由FX連續(xù)而FX?0,FX在1,?1不變號,FX在1,?1嚴格單調(diào),?唯一2對F?X使用F0的定義由題1中的式子先解出F?X,則有F?X?FX?F0再改,,寫成F?X?F0?,,,,X2,X?X,FX?F0?XF0F?X?F0FX?F0?XF0,???,,,解出?,令X?0取極限得,,,,,,,第10頁共12頁,1F0,X2,F02,?X,X?0X?0X?0,LIM??LIMFX?F0?XF0/LIMF?X?F0?2,?1,八、【解】1設T時刻雪堆的體積為VT,側面積為STT時刻雪堆形狀如圖所示,先求ST與VT,,,22,2,H2T,HT,2X2?Y2,側面方程是Z?HT?,X,Y?DXYX?Y?,,,,,?Z??4X?Z4Y,??X,,??HT?YHT,,,,,,,,,,,,,DXY,HT,?Z2?Z2,H2T?16X2?Y2,DXDY?,?ST?1??X??Y,??,??DXY,DXDY,作極坐標變換X?RCOS?,Y?RSIN?,則,,1,2,DXY0???2?,0?R?HT,?,,,,,,,,,,,2,0,0,1,3,22,2,22,0,12,HT,1HT,HT48,2?1HT,D?,2?1,13?,ST?,H2T?16R2RDR,??HT?16R|?HT,?,?,用先二后一的積分順序求三重積分,0,HT,DX,?,,VT?DZ??DXDY,其中DZ,HT,2X2?Y2,?HT?ZT,,,即X2?Y2?1H2T?HTZ?,2,33,0,2224,2HT,?,VT?,?,HT?HTZDZ??HT?1HT3??HT,,,DTDT,按題意列出微分方程與初始條件體積減少的速度是?DV,它與側面積成正比比例系數(shù)09,即DV??09S將VT與ST,,,,,,?DH13?DH13的表達式代入得3H2T??09H2T,即??①H0?130②,,4DT12DT103解①得HT??13T?C,,1010,第11頁共12頁,由②得C?130,即HT??13T?130,令HT?0,得T?100因此,高度為130厘米的雪堆全部融化所需時間為100小時九、【解】由于?II?1,2?S是?1,?2,??S線性組合,又?1,?2,??S是AX?0的解,所以根據(jù)齊次線性方程組解的性質知?II?1,2?S均為AX?0的解從?1,?2,??S是AX?0的基礎解系,知S?N?RA下面來分析?1,?2,??S線性無關的條件設K1?1?K2?2???KS?S?0,即T1K1?T2KS?1?T2K1?T1K2?2?T2K2?T1K3?3???T2KS?1?T1KS?S?0由于?1,?2,??S線性無關,因此有,?T1K1?T2KS,?2112,?0,?TK?TK?0,?0,,?TK?TK,?,?,??T2KS?1?T1KS?0,2213?,,,T100?0T2,T2T10?00,因為系數(shù)行列式0TT?00,21?????,000?T2T1,?TS??1S?1TS,12,所以當TS??1S?1TS?0時,方程組只有零解K?K???K?0從而?,?,??線性無關1212S12S十、【解】1由于AP?PB,即AX,AX,A2X?AX,A2X,A3X?AX,A2X,3AX?2A2X,????01?2??,?000??000?0,3?,?X,AX,A2X?103?,所以B??1,????01?2??,,,,1002由1知A?B,那么A?E?B?E,從而|A?E|?|B?E|?113??401?1,N,十一、【解】1P{Y?M|X?N}?CMPM1?PN?M,0?M?N,N?0,1,2,?,,N,2P{X?N,Y?M}P{X?N}P{Y?M|X?N}?N,??MM,N?M,E?CP1?P,0?M?N,N?0,1,2,?N,十二、【解】易見隨機變量X1?XN?1,X2?XN?2,?,XN?X2N相互獨立都服從正態(tài)分布N2?,2?2因此可以將它們看作是取自總體N2?,2?2的一個容量為N的簡單隨機樣本其樣本,均值為,,,N,12N,,1N,N,X?X?,?IN?I?II?1I?1,X?2X,樣本方差為,,,1,1,N,2,I?1,X?X,?2X?,N?1,N?1,?IN?I,Y,,1,第12頁共12頁,N?1,因樣本方差是總體方差的無偏估計,故EY?2?2,即EY?2N?1?2,
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上傳時間:2024-01-06
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