(α,β)-幾何及相關編碼問題的研究.pdf_第1頁
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文檔簡介

1、有限幾何是組合數(shù)學中一個重要的分支,它為圖論、組合設計和編碼理論等方向提供了豐富的源泉。對于有限幾何的研究,有著重要的理論意義和實際應用背景。有限幾何的理論與方法在數(shù)理統(tǒng)計、運籌學、信息論和計算機科學中都有著重要的地位。(α,β)-幾何是滿足特定條件的關聯(lián)結構,對它的研究可以追溯到1963年。1963年,Bose在研究強正則圖與PBD-設計的關系時,提出了偏幾何(偏幾何是(α,β)-幾何的一種特殊情形)的概念。目前關于偏幾何的理論已經非

2、常豐富,但關于一般的(α,β)-幾何的結果卻少得多。對(α,β)-幾何的另一種特殊情形-半偏幾何的研究,是近10年活躍在幾何界的重要課題。在對(α,β)-幾何的研究中,不僅發(fā)現(xiàn)了一些具有良好性質的關聯(lián)結構,揭示了這類關聯(lián)結構的本質特征,也不斷創(chuàng)立與引入了許多新的理論與方法,而這些新的理論與方法也給其他學科方向的研究注入了活力。用有限幾何研究線性碼是一種行之有效的方法。在討論線性碼的最小長度界方面,有限幾何是一種強有力的工具。人們也嘗試著

3、用幾何結構構造好碼。近年來,數(shù)學家和計算機學專家用幾何結構構造了一批LDPC碼。試驗顯示,用偏幾何構造的LDPC碼在最小距離,圈長,誤碼率等方面都有不錯的表現(xiàn)。我們希望了解更一般的(α,β)-幾何的性質,能夠構造出新的幾何結構,并探討其在信息科學中的應用。本文從(α,β)-幾何的嵌入、構造、應用等幾個方面進行了研究。 本文的工作共分成六部分。 第一部分是概述,主要講述了問題發(fā)展的歷史和現(xiàn)狀、采用的主要方法、面臨的困難,并

4、介紹了本文的主要工作。 第二部分討論了(1,β)-幾何在AG(3,q)中的全嵌入。證明了當q>2時,一個(1,q)-幾何能夠全嵌入在AG(3,q)中當且僅當它是一個線性表示,并進一步討論了強正則的情形。另外,還給出了當2<β<q時一類全嵌入在AG(3,q)中的(1,β)-幾何是線性表示的充要條件。 第三部分提出了可誘導網的強正則(1,β)-幾何(β>2)的概念??坍嬃艘活悩O大可誘導網的強正則(1,β)-幾何的特性。

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