二元樣條函數(shù)方法求偏微分方程數(shù)值解.pdf

1、樣條函數(shù)是一種很好的數(shù)值逼近工具，它是逼近理論和計算機結合的優(yōu)秀產物.在計算機高速發(fā)展的推動下，樣條函數(shù)以其便于計算機存儲、計算穩(wěn)定、局部支集以及便于交互控制等優(yōu)點，成為各類工程計算、計算機輔助制造/設計和幾何建模等大型軟件的重要數(shù)學工具之一。值得一提的是：除了在幾何建模方面樣條函數(shù)有著無可替代的地位之外，樣條有限元在有限元大家族中也占有重要的地位，它不僅能用較少的自由度得到比其他類型有限元更高的精度之外，還能與幾何建模軟件之間方便地共

2、享數(shù)據，因為它們都是采用相同的格式來存儲數(shù)據的.另外樣條函數(shù)結合配置法求解流體問題也受到比較多的關注. 本論文主要討論的是多元樣條函數(shù)方法及其在偏微分方程數(shù)值解中的應用，事實上也可以認為是一種特殊形式的樣條有限元.Brezzi和Fortin曾給出了有限元方法的一個廣義角度的定義：“有限元方法是一種通用的技巧，它的含義是在Hilbert空間中構造一個有限維子空間，從而在這個子空間中對變分問題實施Ritz-Galerkin方法”.從

3、計算的角度來講，這個定義并不是非常的直觀和確切(有限元方法的特點是使用了基于網格的具有局部支集基函數(shù)的有限維子空間)，但是它從一個非常抽象的角度概括了類型廣泛的有限元逼近方法。在這些方法中，我們現(xiàn)在主要關心的是標準有限元方法和本文所要介紹的樣條函數(shù)方法.我們通常所說的有限元方法指的是標準的有限元計算方法，即通過在離散單元上構造一個”有限元”參考對象的途徑來構造有限元空間的辦法，這是狹義的有限元概念，相應地我們稱前者為廣義的有限元概念.本

4、文所要介紹的多元樣條函數(shù)方法也屬于廣義有限元概念的范疇，是由學者來明俊等首先提出來的.它與有限元方法的主要區(qū)別在于采用了多元樣條分析方法來構造所需要的有限維子空間，接著通過求解帶線性約束的方程組來完成樣條函數(shù)解的構造.在此過程中有限維子空間并沒有被顯式地構造出來，這樣的做法在這個子空間不是那么容易構造的時候是方便的，我們將在本文中看到這些現(xiàn)象. 和樣條有限元一樣，樣條函數(shù)方法可以沿用有限元數(shù)值分析的許多結論，前提條件是所使用的樣

5、條函數(shù)空間必須是存在并且可表示的.這一前提在多元樣條分析的工作中現(xiàn)在已經可以找到很好的理論保證(參考[63]以及其中引用的文獻).因此，這篇論文中對于樣條函數(shù)方法的討論均是從實際計算的角度出發(fā)的.值得一提的是，如果樣條函數(shù)方法所采用的樣條函數(shù)空間和有限元方法所采用的有限元空間是同一個函數(shù)空間，那么得到的近似解也是相同的.因此樣條函數(shù)方法似乎沒有很明顯的優(yōu)勢.然而通過非協(xié)調元在很多問題中的成功應用我們可以看到一些線索：非協(xié)調元(包括間斷有

6、限元)總是通過改造經典變分原理的手段來滿足近似問題與原變分問題的相容性，它的優(yōu)勢是放松了單元邊界之間的協(xié)調約束(連續(xù)或光滑)條件，使得有限元空間盡可能好地逼近真實解空間，通過這種方式得到的近似解顯然能更充分地表現(xiàn)真實解的性質.這就是很多時候非協(xié)調有限元比協(xié)調有限元應用更廣泛的主要原因.樣條函數(shù)方法可以看成是一種協(xié)調問題的非協(xié)調處理辦法，因為它把單元邊界上的協(xié)調條件單獨提出來了.這完全是一個代數(shù)的問題，因此也和有限元方法一樣具有通用性，但

7、從形式上看又象是一種非協(xié)調有限元. 論文共分五章.第一章首先介紹了一些本文所涉及到的一些有限元基本理論以及有限元方法處理問題的基本步驟，由于樣條函數(shù)方法也是包括在廣義有限元范疇中的，因此變分原理以及有限元方法成為了我們討論樣條函數(shù)方法的起點，其中有非常豐富的理論結果和計算技巧是可以從有限元方法借鑒的.接著，我們簡要地介紹了二十多年來關于二元樣條分析的一些主要理論結果.主要從二元樣條函數(shù)空間存在性、Sobolev空間中的樣條函數(shù)逼

8、近程度和多元樣條函數(shù)空間表示的實際技巧等方面做了必要的介紹，這些都為后面的章節(jié)做準備工作.需要指出的是關于二元樣條分析的文獻是非常豐富的，我們這里所提到的一些結論完全是為了方便討論樣條函數(shù)方法而從中提取出來的. 第二章介紹了三角形上的二元B-形式及其一些常用的局部計算方法，比如de Casteljau求值算法，升次、求導、求積以及求內積算法等.這些算法是樣條函數(shù)方法中計算單元方程常用的.其中有不少可以加速橢圓邊值問題以及高次方程

9、的離散過程.進一步我們利用B-形式的光滑性條件，將B-形式與樣條函數(shù)之間建立了轉換關系，得到了多元樣條函數(shù)的B-形式表示方法.接著，我們利用二階和四階橢圓邊值問題作為實例展示了樣條函數(shù)方法的實施過程.最終最終將它們的變分形式離散成一個鞍點問題。這個問題的求解已經有比較通用的迭代方法.另外我們也介紹了處理實際問題的一些細節(jié)，例如利用B-形式處理單元邊界協(xié)調條件和包含導數(shù)的dirichlet邊界條件的.最后我們給出具體的數(shù)值例子說明樣條函數(shù)

10、方法對于橢圓邊值問題是有效的. 正如前面所說，如果拿樣條函數(shù)方法得到的近似解和相應的有限元方法得到的近似解比較，除了離散過程更加自由之外，并沒有更好的數(shù)值表現(xiàn).然而我們對樣條函數(shù)方法感興趣的正是它實現(xiàn)方式的靈活性.在第三章中，我們就要開始來深入這個話題.有限元的自適應方法是目前數(shù)值分析和數(shù)值計算領域中一個熱門問題，如何實現(xiàn)高效的自適應方法是大家一直關心的問題之一.利用樣條函數(shù)方法可以避免事先構造有限元空間的工作，把協(xié)調工作都留給

11、了單元邊界上的光滑條件，這個做法非常有利于自適應方法的實現(xiàn).這一章的主要目的是討論如何利用樣條函數(shù)方法做p自適應處理.首先通過拓展樣條函數(shù)的邊界光滑條件實現(xiàn)了樣條函數(shù)的p協(xié)調條件(也就是不同次數(shù)相鄰單元之間的連續(xù)/光滑連接條件)，接著針對橢圓邊值問題進行了h自適應和p/hp半自動自適應的求解.在四階問題中的應用體現(xiàn)了樣條函數(shù)方法處理自適應的強大能力，眾所周知，C<'1>有限元要實現(xiàn)p自適應是比較困難的. 第四章繼續(xù)討論樣條函數(shù)方

12、法的自適應處理方法，不過這里是從h自適應出發(fā)來討論的.一般的h自適應處理是簡單的，注意到有限元的h自適應方法中若允許非規(guī)則(帶懸點)網格可以減少計算開銷這一特點，這一章中重點討論非規(guī)則網格上的樣條函數(shù)方法實現(xiàn).和多元樣條分析一樣，樣條函數(shù)方法的需要關心的主要問題是如何保持單元邊界之間的協(xié)調條件.于是首先研究了在具有任意層懸點的單元邊界上樣條函數(shù)空間的協(xié)調條件，從而解決了非協(xié)調網格上實施樣條函數(shù)方法的本質困難.不難發(fā)現(xiàn)相同情況下的有限元方

13、法的處理則顯得更為復雜，其中主要是相應的有限元比較難構造，而用樣條函數(shù)方法很好地避免了這個困難.在這一章中我們并沒有直接求解鞍點問題來得到近似解，而是采取了消去約束的方法，最終得到一個對稱正定的系統(tǒng).這樣我們事實上已經構造了一個有限元，因為這個線性系統(tǒng)是和利用某個有限元得到的系統(tǒng)是一樣的(這里用”某個”表示并不能顯式地構造出這個有限元，但可以確定它是存在的). 最后一章討論了用樣條函數(shù)方法處理非線性偏微分方程，主要對二維Navi

14、er-Stokes方程進行了數(shù)值模擬.用有限元方法計算二維Navier-Stokes方程是比較常見的，一般采用的都是混合元求解雙變量問題.盡管二維Navier-stokes方程的流函數(shù)(雙調和)形式是很容易得到的，但是鑒于構造C<'1>有限元是一件比較復雜的工作，有限元方法不推薦采用這個形式.而從前面章節(jié)的介紹我們可以知道，樣條函數(shù)方法離散高階偏微分方程是方便的，所以對于這個問題樣條函數(shù)方法采用的是流函數(shù)形式，目的是為了減少自由度的數(shù)量

15、.同時也利用了包括牛頓迭代和同倫方法在內的非線性方法來得到非線性問題的解，含高階導數(shù)的Dirichlet邊界處理也體現(xiàn)了樣條函數(shù)方法處理復雜問題的強大能力.最后，對方腔流動和后臺階流動等標準測試問題進行數(shù)值模擬，得到了預期的數(shù)值結果. 縱觀全文，本文認為樣條函數(shù)方法是屬于有限元理論范疇的一類數(shù)值方法，對于求偏微分方程數(shù)值解是比較有效并且非常方便的.論文除了對樣條函數(shù)方法進行了比較詳細的介紹之外，也在以下三個方面對樣條函數(shù)方法進行

16、了拓展和研究：首先，提出了具有不同次數(shù)的相鄰單元之間樣條函數(shù)的光滑協(xié)調條件，從而實現(xiàn)了樣條函數(shù)方法的p-自適應處理，其中特別是C<'1>樣條函數(shù)空間的自適應處理能力是有限元方法難以實現(xiàn)的.其次，得到了在允許任意層懸點的三角網格上的樣條函數(shù)空間的連續(xù)協(xié)調條件，并應用于樣條函數(shù)方法的h-自適應.并且指出其相應的系統(tǒng)方程在利用矩陣修改方法消去協(xié)調性約束條件后等價于一個有限元方法得到的線性系統(tǒng).最后，利用樣條函數(shù)方法求解二維不可壓流動問題.由于