彈性碰撞振子和相關模型的周期解和Lagrange穩(wěn)定性.pdf

1、本文討論彈性碰撞振子和相關模型的周期解和lagrange碰撞振子是非線性振動和hamilton系統(tǒng)的重要模型之一，它們和fermi-ulam加速器問題、對偶臺球問題、金屬斷裂學和天體力學穩(wěn)定性等相關連，其動態(tài)行為的研宄有助于這些問題的理解.
　　文章有三個主要部分^
　　一、證明了次線性hamilton碰撞振子的彈性周期解的存在性.
　　對于平面的hamilton方程或者是hamilton碰撞振子，pioncaré-b

2、irkhoff扭轉定理是證明方程存在周期解或無窮多次調和解的一個基本工具.在證明中關鍵的一步是在相平面上構造滿足扭轉條件的環(huán)域.當方程是次線性時，其對應的相平面上的扭轉比較弱，需要考慮其pioncaré映射的若干次迭代，才能產生足夠的扭轉^但這樣多次迭代的副作用是可能有解會跑向原點而導致旋轉角度無法估計.與已有的相應無碰撞振子的研究不一樣，我們分析了解的盤旋性質，采用“后繼映射”的方法分析碰撞振子的解的扭轉性，在符號條件下我們給出了一個

3、一般性的定理.然后通過細致的相平面分析把定理應用到次二次線性碰撞振子和弱次二次碰撞振子上.同時，我們也對不符合符號條件并且后繼映射無定義的擺型碰撞振子進行了研究.我們引進新的坐標變換把右半平面上的碰撞問題轉換到除原點以外的全平面上，再研究相應pioncaré映射的扭轉性。
　　二、討論了擬周期碰撞振子的解的有界性〈lagrange穩(wěn)定性〉問題.
　　作為滅0861型的光滑的擬周期小扭轉映射的不變曲線存在定理的應用，我們分別討

4、論了次線性、有界、半線性擬周期碰撞振子的解的有界性〈largange穩(wěn)定性〉問題.首先，我們把碰撞問題轉化為具有中心對稱向量場的hamilton系統(tǒng).為克服其角函數(shù)的不光滑性我們交換了時間變量和角變量，通過積分、磨光等方法把問題光滑化，再通過一系列坐標變換把它化為可積hamilton系統(tǒng)的小擾動問題.與非碰撞問題相比我們必須保持變換后的hamilton系統(tǒng)的向量場仍中心對稱，所以我們用一定的技巧使其在每一次坐標變換中保持對稱性.最后由其

5、pioncaré映射的不變曲線的存在性得到擬周期碰撞振子的解的有界性.
　　三、討論了無碰撞的奇異方程在共振點處的無界擾動的周期解的存在性，并應用到相應的徑向對稱方程的周期解和擬周期解的研宄上.
　　一定的奇異碰撞問題可能不存在碰撞解，但無碰撞的奇異方程的研究與高維的徑向對稱方程相關對擾動項是無界的奇異共振方程，傳統(tǒng)的估計其pioncaré映射的方法失效，因此我們對其后繼映射進行細致的相平面分析估計，然后用拓撲度理論證明方程