簡(jiǎn)介:2014年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試,理科數(shù)學(xué)(全國(guó)卷Ⅱ),6月7日15001700,注意事項(xiàng)本試卷分第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上?;卮鸬冖窬頃r(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。寫在本試卷上無(wú)效?;卮鸬冖蚓頃r(shí),將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無(wú)效??荚嚱Y(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。,第Ⅰ卷一.選擇題本大題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。(1)設(shè)集合M={0,1,2},N={X|X2-3X+2≤0},則M∩N=()(A){1}(B){2}(C){0,1}(D){1,2}(2)設(shè)復(fù)數(shù)Z1,Z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱,Z1=2+I(xiàn),則Z1Z2=,(,)(A)5(B)5(C)4+I(xiàn),(D)4I,,,,,,,,,),(3)設(shè)向量A,B滿足|A+B|=10,|AB|=6,則AB=((A)1(B)2(C)3(D)5,1,,,,,(4)鈍角三角形ABC的面積是,AB=1,BC=2,則AC=(2,),,,,,(A)5(B)5(C)2(D)1某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明,一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是075,連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是06,已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良,則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是()(A)08(B)075(C)06(D)045如圖,網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長(zhǎng)為1(表示1CM),圖中粗線畫出的是某零件的三視圖,該零件由一個(gè)底面半徑為3CM,高為6CM的圓柱體毛坯切削得到,則切削掉部分的體積與原來(lái)毛坯體積的比值為(),第1頁(yè)共15頁(yè),姓名準(zhǔn)考證號(hào),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,開始,輸入,M=1,S=K=1,,K≤T,M,M=XKS=M+SK=K+1,結(jié)束,輸出S,是,否,(A),17,27,(B),5,9,(C),10,27,(D),1,3,(7)執(zhí)行右圖程序框圖,如果輸入的X,T均為2,則輸出的S=,(A)4(B)5(C)6(D)7,),(8)設(shè)曲線Y=AXLNX+1在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為Y=2X,則A=((A)0(B)1(C)2(D)3,(9)設(shè)X,,?,Y滿足約束條件?,?,?X?Y?7≤0,?3X?Y?5≥0,X?3Y?1≤0,則,Z=2X-Y的最大值為(,),(A)10(B)8(C)3(D)2(10)設(shè)F為拋物線CY2=3X的焦點(diǎn),過(guò)F且傾斜角為30°的直線交C于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),則△OAB的面積為(),(A),,,,,3393,,,,,(B)(C)(D),639,48324,,,,,,,,,,,直三棱柱ABCA1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分別是A1B1,A1C1的中點(diǎn),BC=CA=CC1,則BM與AN所成的角的余弦值為()(A設(shè)函數(shù)FX=3SINΠX.若存在FX的極值點(diǎn)X0滿足X02+FX02<M2,則MM的取值范圍是(),第2頁(yè)共15頁(yè),第3頁(yè)共15頁(yè),(A)-∞,-6∪6,+∞(C)-∞,-2∪2,+∞,(B)-∞,-4∪4,+∞(D)-∞,-1∪1,+∞,第Ⅱ卷本卷包括必考題和選考題兩部分。第13題~第21題為必考題,每個(gè)試題考生必須做答。第22題~第24題為選考題,考生根據(jù)要求做答。二.填空題本大題共4小題,每小題5分。(13)X+A10的展開式中,X7的系數(shù)為15,則A=.(用數(shù)字填寫答案)函數(shù)FX=SINX+2Φ2SINΦCOSX+Φ的最大值為.已知偶函數(shù)FX在0,+∞單調(diào)遞減,F(xiàn)2=0.若FX1>0,則X的取值范圍是.設(shè)點(diǎn)M(X0,1),若在圓OX2+Y2=1上存在點(diǎn)N,使得∠OMN=45°,則X0的取值范圍是.三.解答題解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟。(17)(本小題滿分12分)已知數(shù)列{AN}滿足A1=1,AN+1=3AN+1.,1,(Ⅰ)證明{AN+}是等比數(shù)列,并求{AN}的通項(xiàng)公式;2,A1A2,1113,AN2,(Ⅱ)證明+++<.,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,D,C,B,A,,,,,(18)(本小題滿分12分)如圖,四棱錐PABCD中,底面ABCD為矩形,PA⊥平面ABCD,E為PD的中點(diǎn).(Ⅰ)證明PB∥平面AEC;(Ⅱ)設(shè)二面角DAEC為60°,AP=1,AD=3,求三棱錐EACD的體積.PE,第4頁(yè)共15頁(yè),(19)(本小題滿分12分)某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭純收入Y(單位千元)的數(shù)據(jù)如下表,(Ⅰ)求Y關(guān)于T的線性回歸方程;(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回歸方程,分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況,并預(yù)測(cè)該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入.附回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為,,,??,N,N2,?,I?1,T?T,??TI?T??YI?Y?,?I,,,B?I?1,A??Y?B?T.,第5頁(yè)共15頁(yè),,,(20)(本小題滿分12分)設(shè)X2Y2F1,F(xiàn)2分別是橢圓C+=1(A>B>0)的左右焦點(diǎn),M是C上一點(diǎn)且A2B2MF2與X軸垂直,直線MF1與C的另一個(gè)交點(diǎn)為N.,3,(Ⅰ)若直線MN的斜率為,求C的離心率;4(Ⅱ)若直線MN在Y軸上的截距為2,且|MN|=5|F1N|,求A,B.,,,,,(21)(本小題滿分12分)已知函數(shù)FX=EXEX2X.(Ⅰ)討論FX的單調(diào)性;(Ⅱ)設(shè)GX=F2X4BFX,當(dāng)X>0時(shí),GX>0,求B的最大值;(Ⅲ)已知14142<2<14143,估計(jì)LN2的近似值(精確到0001).,第6頁(yè)共15頁(yè),E,B,P,,C,D,請(qǐng)考生在第22、23、24題中任選一題做答,如果多做,則按所做的第一題計(jì)分。做答時(shí)請(qǐng)寫清題號(hào)。(22)(本小題滿分10)選修41幾何證明選講如圖,P是⊙O外一點(diǎn),PA是切線,A為切點(diǎn),割線PBC與⊙O相交于點(diǎn)B,C,PC=2PA,D為PC的中點(diǎn),AD的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)E.證明(Ⅰ)BE=EC;(Ⅱ)ADDE=2PB2.AO,(23)(本小題滿分10)選修44坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系XOY中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),X軸為極軸建立極坐標(biāo)系,半圓C的,Π,,,,,極坐標(biāo)方程為Ρ=2COSΘ,Θ∈0,.2(Ⅰ)求C的參數(shù)方程;(Ⅱ)設(shè)點(diǎn)D在C上,C在D處的切線與直線LY=3X+2垂直,根據(jù)(Ⅰ)中你得到的參數(shù)方程,確定D的坐標(biāo).,第7頁(yè)共15頁(yè),第8頁(yè)共15頁(yè),(24)(本小題滿分10)選修45不等式選講,1,設(shè)函數(shù)FX=|X+|+|XA|(A>0).A(Ⅰ)證明FX≥2;(Ⅱ)若F3<5,求A的取值范圍.,2014年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(全國(guó)卷II)理科數(shù)學(xué)試題參考答案,一、選擇題,(1)D,(2)A,(3)A,∵N={X|X2-3X+2≤0}={X|1≤X≤2},∴M∩N={1,2},故選D.Z1=2+I(xiàn)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(2,1),∵復(fù)數(shù)Z1,Z2在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱,∴(2,1)關(guān)于虛軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(-2,1),則對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù),Z2=-2+I(xiàn),則Z1Z2=(2+I(xiàn))(-2+I(xiàn))=I2-4=-1-4=-5,故選A.∵|A+B|=10,|A-B|=6,∴分別平方得A2+2AB+B2=10,A2-2AB+B2=6,兩式相減得4AB=10-6=4,即AB=1,故選A.,(4)B,1,2,∵鈍角三角形ABC的面積是,,,,,,AB=C=1,BC=A=2,,∴S=ACSINB=,即SINB=,112,,,,,222,,,,,,,,,,,2,2①當(dāng)B為鈍角時(shí),COSB=-1-SIN2B=-,,,,,,利用余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCCOSB=1+2+2=5,即AC=5,,,,,,,,,,2,2②當(dāng)B為銳角時(shí),COSB=-1-SIN2B=,,,,,,(5)A,(6)C,利用余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCCOSB=1+2-2=1,即AC=1,此時(shí)AB2+AC2=BC2,即△ABC為直角三角形,不合題意,舍去,則AC=5.故選B.設(shè)隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率為P,則有題意可得075P=06,解得P=08,故選A.幾何體是由兩個(gè)圓柱組成,一個(gè)是底面半徑為3高為2,一個(gè)是,底面半徑為2,高為4,組合體體積是32Π2+22Π4=34Π.底面半徑為3CM,高為6CM的圓柱體毛坯的體積為32Π6=54Π.,切削掉部分的體積與原來(lái)毛坯體積的比值為,,54?,,54??34?10,第9頁(yè)共15頁(yè),=27.故選C.,,,1,(7)D若X=T=2,則第一次循環(huán),1≤2成立,則M=12=2,S=2+3=5,,,2,K=2,第二次循環(huán),2≤2成立,則M=22=2,S=2+5=7,K=3,此時(shí)3≤2不成立,輸出S=7,故選D.,(8)D,,1,(9)B,Y′=A?X?1,∴Y′0=A-1=2,∴A=3.故答案選D.作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如陰影部分ABC.由Z=2X-Y得Y=2X-Z,平移直線Y=2X-Z,由圖象可知當(dāng)直線Y=2X-Z經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí),直線Y=2X-Z的截距最小,此時(shí)Z最大.,?X?Y?7=0?X=5由?X?3Y?1=0,解得?Y=2,??即C(5,2),代入目標(biāo)函數(shù)Z=2X-Y,得Z=25-2=8.故選B.,(10)D,,,,,∵直線ABY?3X?3,34代入拋物線方程可得4Y2-123Y-9=0,設(shè)A(X1,Y1),B(X2,Y2),,,,則所求三角形面積S=13,,,,,1212,Y?Y?4YY,,244,9,故選D.,(11)C,以C為原點(diǎn),CA為X軸,CB為Y軸,CC1為Z軸建立空間向量坐標(biāo)系,則設(shè)CA=CB=1,,,,,,,,則B(0,1,0),M(1,1,1),A(1,0,0),N(1,0,1),222∴BM(1,-1,1),AN(-1,0,1),222,,,,,BM?AN,?????????,,,,,,,34,?,,,30,第10頁(yè)共15頁(yè),∴COSBM,AN???????????|BM|?|AN|6?51022,,故選C.,(12)C,,∵F?X?的極值為?,3,,??,2,?0?,∴?FX??3,,,,,0,MM,∵FX???3COS?X0?0,,,,∴?X0?K???,K?Z,M2,,,,,,,0,M2M222,∴X0?K?1,K?Z即|X0|?|K?1|?1,∴|X|?|M|,即,22,0,X0?FX?,,4,M2?,??,2,2,2,0,??,3,而已知X0??FX??M,,,2,4,M2,∴M??3,故,,4,3M2,?3,解得M?2或M??2,故選C.,二、選擇題,,(13)1,2,(14)1,(15)(-1,3),(16)-1,1,三、填空題,N?1,NN?1,,N,,22,(17)(Ⅰ)由A=3A+1得A+1=3A+1。,,,1,又A1?2?2,,N,3,所以?A,1?,?,?,??,,3,22,是首項(xiàng)為,公比為3的等比數(shù)列。,,,1,22,3N,AN??,,2,3N?1,,因此?AN?的通項(xiàng)公式為AN?,。,,,2,N,(Ⅱ)由(Ⅰ)知1?,A3N?1,因?yàn)楫?dāng)N?1時(shí),3N?1?2?3N?1,所以,,,1,?,3N?1,12?3N?1,。,,,,,,,1,2,12N,AAA3,3N?1,,于是1?1??1?1?1???31?1,,3,3N<2。,,,,,所以1+1++1<3。A1A2AN2(18)(Ⅰ)連接BD交AC于點(diǎn)O,連結(jié)EO。因?yàn)锳BCD為矩形,所以O(shè)為BD的中點(diǎn)。又E為PD的中點(diǎn),所以EO∥PB。EO?平面AEC,PB?平面AEC,所以PB∥平面AEC。(Ⅱ)因?yàn)镻A?平面ABCD,ABCD為矩形,所以AB、AD、AP兩兩垂直。,第11頁(yè)共15頁(yè),E,,,,,,,,,,,D,C,P,A,,,O,Y,Z,BX,,,????如圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB的方向?yàn)閄軸的正方向,AP為單位長(zhǎng),建立,,,,,31,22,空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)?XYZ,則D(0,3,0),E(0,,),AE=(0,,,,,31,22,,)。,,,設(shè)B(M,0,0)(M>0),則C(M,3,0),AC=(M,3,0)。,??N1?AC?0,??N1?AE?0,設(shè)N1=(X,Y,Z)為平面ACE的法向量,則?????,,即,,,?MX?3Y?0,?,?31Y?Z?0,?,?22,1,,可取N=(,,,3,M,,-1,3)。,又N2=(1,0,0)為平面,DAE的,法向量,由題設(shè),,,,,,,,12,COSN,N?1,即2,,,,,,,,3,3?4M22,?1,,,3,解得M?。2,,1,2,因?yàn)镋為PD的中點(diǎn),所以三棱錐E?ACD的高為。三菱錐E?ACD的體,,,,,,,,32228,積V=1?1?3?3?1?,3。,(19)(Ⅰ)由所給數(shù)據(jù)計(jì)算得,,,7,T?11+2+3+4+5+6+7=4,,,7,Y?129+33+36+44+48+52+59=43,,7,1,?T?T2=9+4+1+0+1+4+9=28,,T?17?T1?TY1?YT?1=?3?14+?2?1+?1?07+001+105+209+3,第12頁(yè)共15頁(yè),16=14,,,,,7,7,2,1428,?T1?TY1?Y,?T1?TT?1,B??T?1?,?05,,,,,,,,,,A??Y?B?T?43?05?4?23。所求回歸方程為?Y?05T?23。(Ⅱ)由(Ⅰ)知,B=05>0,故2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入逐年增加,平均每年增加05千元。將2015年的年份代號(hào)T=9帶入(I)中的回歸方程,得?Y?05?9?23?68,故預(yù)測(cè)該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入為68千元。(20)B2,2,(Ⅰ)根據(jù)C?A2?B2及題設(shè)知M(C,),2B?3AC。,,,,A將B2?A2?C2代入2B2?3AC,解得C?1,C??2(舍去)。A2A,,1,2,故C的離心率為。,,,,,,,,,,(Ⅱ)由題意,原點(diǎn)O為F1F2的中點(diǎn),MF2∥Y軸,所以直線MF1與Y軸的交點(diǎn)B2D(0,2)是線段MF1的中點(diǎn),故A?4,即B2?4A①由MN?5F1N得DF1?2F1N。設(shè)N(X1,Y1),由題意知Y1<0,則,1,1,?,??2Y?2,,即,,1,2,?2?C?X?C?X??3C,,?,?,??Y1??1,,,代入C的方程,得4A2,B2,9C2?1?,1。,,,,,,將①及C?A2?B2代入②得,,,4A2,第13頁(yè)共15頁(yè),9A2?4A1,??1,4A,解得A?7,B2?4A?28,,,,,,,,,,,,,,故A?7,B?27。(21)(Ⅰ)FX=EX?E?X?2?0,等號(hào)僅當(dāng)X?0時(shí)成立。所以FX在(-∞,+∞)單調(diào)遞增。(Ⅱ)GX=F2X?4BFX?E2X?E?2X?4BEX?E?X?8B?4XGX=2??E2X?E?2X?2BEX?E?X?4B?2??=2EX?E?X?2EX?E?X?2B?2當(dāng)B?2時(shí),GX≥0,等號(hào)僅當(dāng)X?0時(shí)成立,所以GX在(-∞,+∞)單調(diào)遞增。而G0=0,所以對(duì)任意X>0,GX>0;當(dāng)B>2時(shí),若X滿足2<EX+E?X<2B-2,即0<X<LNB-1+B2?2B時(shí),GX<0。而G0=0,因此當(dāng)0<X<LNB-1+B2?2B時(shí),GX<0。綜上,B的最大值為2。(Ⅲ)由(Ⅱ)知,GLN2?3?22B?22B?1LN2。2,,,,,,12,當(dāng)B=2時(shí),GLN2?3?42?6LN2>0;LN2>82?3>06928;,,,,,,,,2當(dāng)B?32?1時(shí),LNB?1?B2?2B?LN2,4,,,,,2,GLN2=?3?22?32?2LN2<0,,,,LN2<18?2<06934,,28所以LN2的近似值為0693。,︵︵所以∠DAC=∠BAD,從而BE=EC。因此BE=EC。,(Ⅱ)由切割線定理得PA2=PBPC。因?yàn)镻A=PD=DC,所以DC=2PB,BD=PB。,E,B,P,(22)(Ⅰ)連結(jié)AB,AC。由題設(shè)知PA=PD,故∠PAD=∠PDA。因?yàn)椤螾DA=∠DAC+∠DCA∠PAD=∠BAD+∠PAB∠DCA=∠PAB,A,,C,第14頁(yè)共15頁(yè),D,O,由相交弦定理得ADDE=BDDC,所以ADDE=2PB2。(23)(Ⅰ)C的普通方程為X?12?Y2?10?Y?1。,?Y?SINT,可得C的參數(shù)方程為?X?1?COST(T為參數(shù),0?T?X)。,,,?(Ⅱ)設(shè)D(1+COST,SINT)。由(Ⅰ)知C是以G(1,0)為圓心,1為半徑的上半圓。因?yàn)镃在點(diǎn)D處的切線與T垂直,所以直線GD與T的斜率相同,TANT?3,T??。3,,,,3,,,3322,故D的直角坐標(biāo)為(1?COS?,SIN?),即(,3)。,,,,,,,,,,(24)(Ⅰ)由A>0,有FX?X?1?X?A?X?1?X?A?1?A?2。AAA,,,,,,A,所以FX≥2。(Ⅱ)F3?3?1?3?A。,,,,當(dāng)時(shí)A>3時(shí),F(xiàn)3=A?1,由F3<5得3<A<5?A2,21。,,,,當(dāng)0<A≤3時(shí),F(xiàn)3=6?A?1,由F3<5得1?5<A≤3。,,,2,綜上,A的取值范圍是(1?,,,2,第15頁(yè)共15頁(yè),A25,5?21)。,
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