線面垂直習題精選

1、習題精選精講線面垂直的證明中的找線技巧?通過計算，運用勾股定理尋求線線垂直1如圖1，在正方體中，為的中點，AC交BD于點O，求證：平面MBD1111ABCDABCD?M1CC1AO?證明：連結MO，，∵DB⊥，DB⊥AC，，1AM1AA1AAACA??∴DB⊥平面，而平面∴DB⊥11AACC1AO?11AACC1AO設正方體棱長為，則，a22132AOa?2234MOa?在Rt△中，∵，∴11ACM22194AMa?22211AOMOA

2、M??1AOOM?∵OM∩DB=O，∴⊥平面MBD1AO評注：在證明垂直關系時，有時可以利用棱長、角度大小等數(shù)據(jù)，通過計算來證明?利用面面垂直尋求線面垂直2如圖2，是△ABC所在平面外的一點，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC求證：BC⊥P平面PAC證明：在平面PAC內(nèi)作AD⊥PC交PC于D因為平面PAC⊥平面PBC，且兩平面交于PC，平面PAC，且AD⊥PC，由面面垂直的性質，得AD⊥平面PBC又∵平面AD?BC?PBC，∴A

3、D⊥BC∵PA⊥平面ABC，平面ABC，∴PA⊥BCBC?∵AD∩PA=A，∴BC⊥平面PAC（另外還可證BC分別與相交直線AD，AC垂直，從而得到BC⊥平面PAC）評注：已知條件是線面垂直和面面垂直，要證明兩條直線垂直，應將兩條直線中的一條納入一個平面中，使另一條直線與該平面垂直，即從線面垂直得到線線垂直在空間圖形中，高一級的垂直關系中蘊含著低一級的垂直關系，通過本題可以看到，面面垂直線面垂直線線垂直??一般來說，線線垂直或面面垂直都

4、可轉化為線面垂直來分析解決，其關系為：線線垂直線面垂直面面垂直這三????????判定性質????????判定性質者之間的關系非常密切，可以互相轉化，從前面推出后面是判定定理，而從后面推出前面是性質定理同學們應當學會靈活應用這些定理證明問題下面舉例說明3如圖１所示，ABCD為正方形，⊥平面ABCD，過且垂直于的平面分別交于求證：SAASCSBSCSD平平EFG平平，AESB?AGSD?證明：∵平面ABCD，SA?∴∵，∴平面SAB又∵平

5、面SAB，∴∵平面SABC?ABBC?BC?AE?BCAE?SC?AEFG，∴∴平面SBC∴同理可證SCAE?AE?AESB?AGSD?評注：本題欲證線線垂直，可轉化為證線面垂直，在線線垂直與線面垂直的轉化中，平面起到了關鍵作用，同學們應多注意考慮線和線所在平面的特征，從而順利實現(xiàn)證明所需要的轉化4如圖２，在三棱錐Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ為垂足，作AH⊥BE于Ｈ求證：AH⊥平面BCD證明：取AB的中點Ｆ，連

6、結CF，DF∵，∴ACBC?CFAB?∵，∴ADBD?DFAB?又，∴平面CDFCFDFF??AB?∵平面CDF，∴CD?CDAB?又，，CDBE?BEABB??∴平面ABE，CD?CDAH?∵，，，AHCD?AHBE?CDBEE??∴平面BCDAH?習題精選精講PENDCABM?ENAM?AEMN又平面平面平面?CDADPAACCDPADAEPAD????????????????????CDAECDABAEMNMNAB9如圖在ΔABC

7、中，AD⊥BC，ED=2AE，過E作FG∥BC，且將ΔAFG沿FG折起，使∠AED=60，求證:AE⊥平面ABC分析：弄清折疊前后，圖形中各元素之間的數(shù)量關系和位置關系。解：∵FG∥BC，AD⊥BC∴AE⊥FG∴AE⊥BC設AE=a，則ED=2a由余弦定理得：AD2=AE2ED22?AE?EDcos60=3a2∴ED2=AD2AE2∴AD⊥AE∴AE⊥平面ABC10如圖在空間四邊形SABC中SA?平面ABC?ABC=90?AN?SB于N

8、AM?SC于M。求證:①AN?BC②SC?平面ANM分析:①要證AN?BC轉證BC?平面SAB。②要證SC?平面ANM轉證SC垂直于平面ANM內(nèi)的兩條相交直線即證SC?AMSC?AN。要證SC?AN轉證AN?平面SBC就可以了。證明:①∵SA?平面ABC∴SA?BC又∵BC?AB且ABSA=A?∴BC?平面SAB∵AN平面SAB?∴AN?BC②∵AN?BCAN?SB且SBBC=B?∴AN?平面SBC∵SCC平面SBC∴AN?SC又∵AM