簡(jiǎn)介：數(shù)學(xué)史講義,,印度與阿拉伯?dāng)?shù)學(xué),印度與阿拉伯?dāng)?shù)學(xué),41印度數(shù)學(xué),19211922年間．印度河流域莫亨佐達(dá)羅、哈拉帕等古代城市遺址的考古挖掘，揭示了一個(gè)悠久的文明，史稱“哈拉帕文化”或“印度河流域文化”．這一文明的創(chuàng)造者是印度土著居民達(dá)羅毗荼人，其歷史可以追溯到公元前3000年左右．,如果說(shuō)希臘數(shù)學(xué)與其哲學(xué)密切相關(guān)，那么古代印度數(shù)學(xué)則更多地受到其宗教的影響．雅利安人建立的婆羅門教公元4世紀(jì)后改革為印度教，以及稍后公元前6世紀(jì)興起的佛教、耆那教等，形成了古代印度數(shù)學(xué)發(fā)展的濃厚的宗教氛圍．,印度地圖,印度地圖,古代印度數(shù)學(xué),印度數(shù)學(xué)繁榮于公元6世紀(jì)到12世紀(jì)之間，主要?dú)v史成就（1）包括“零”在內(nèi)的數(shù)碼和十進(jìn)位制記數(shù)法。（2）運(yùn)用正弦的三角計(jì)算。（3）算術(shù)與代數(shù),印度數(shù)學(xué)的發(fā)展可以劃分為3個(gè)重要時(shí)期，首先是雅利安人入侵以前的達(dá)羅毗荼人時(shí)期約公元前3000一前1400，史稱河谷文化；隨后是吠陀時(shí)期約公元前10世紀(jì)一前3世紀(jì)；其次是悉檀多時(shí)期5世紀(jì)一12世紀(jì)．,411古代繩法經(jīng),印度數(shù)學(xué)最早有可考文字記錄的是吠陀時(shí)代，其數(shù)學(xué)材料混雜在婆羅門教的經(jīng)典吠陀當(dāng)中，年代很不確定．吠陀即梵文VEDA，原意為知識(shí)、光明。吠陀內(nèi)容包括對(duì)諸神的頌歌、巫術(shù)的咒語(yǔ)和祭祀的法規(guī)等，這些材料最初由祭司們口頭傳誦，后來(lái)記錄在棕櫚葉或樹(shù)皮上．,吠陀（梵文，意為知識(shí)、光明）是印度雅利安人的作品，成書(shū)于公元前15－前5世紀(jì)，歷時(shí)1000年左右，婆羅門教的經(jīng)典，其中的繩法經(jīng)（前8－前2世紀(jì)）是吠陀中關(guān)于廟宇、祭壇的設(shè)計(jì)與測(cè)量的部分。釋迦牟尼（公元前565－公元前486年）傳揚(yáng)佛教時(shí)期，佛教是古印度的迦毗羅衛(wèi)國(guó)（今尼泊爾境內(nèi)）王子喬達(dá)摩悉達(dá)多所創(chuàng)，因父為釋迦族，得道后被尊稱為釋迦牟尼也就是“釋迦族的圣人”的意思，門徒稱他為佛），包含幾何、代數(shù)知識(shí)，如畢達(dá)哥拉斯定理、圓周率的近似值等。,吠陀時(shí)期（公元前10－前3世紀(jì)）,吠陀手稿（毛里求斯，1980）,印度雅利安人的作品，繩法經(jīng)出現(xiàn)在吠陀時(shí)代，包含畢達(dá)哥拉斯定理等數(shù)學(xué)知識(shí),這些吠陀中關(guān)于廟宇、祭壇的設(shè)計(jì)與測(cè)量的部分測(cè)繩的法規(guī)SULVASūTRUS，即繩法經(jīng)，大約為公元前8世紀(jì)至公元前2世紀(jì)的作品．其中有一些幾何內(nèi)容和建筑中的代數(shù)計(jì)算問(wèn)題．如勾股定理、矩形對(duì)角線的性質(zhì)等。給出了圓周率、根號(hào)2的近似值。,耆那教的經(jīng)典由宗教原理、數(shù)學(xué)原理、算術(shù)和天文等幾部分構(gòu)成。其中出現(xiàn)了許多計(jì)算公式，如圓的周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)等。,412“巴克沙利手稿”,關(guān)于公元前2世紀(jì)至公元后3世紀(jì)的印度數(shù)學(xué)；可參考資料也很少，所幸于1881年在今巴基斯坦西北地區(qū)一座叫巴克沙利BAKHASHALI的村莊，發(fā)現(xiàn)了這一時(shí)期的書(shū)寫(xiě)在樺樹(shù)皮上的所謂“巴克沙利手稿”．,其數(shù)學(xué)內(nèi)容十分豐富，涉及到分?jǐn)?shù)、平方根、數(shù)列、收支與利潤(rùn)計(jì)算、比例算法、級(jí)數(shù)求和、代數(shù)方程等，其代數(shù)方程包括一次方程、聯(lián)立方程組、二次方程．特別值得注意的是手稿中使用了一些數(shù)學(xué)符號(hào),（1）減號(hào)“127”記成“127”．,（2）零號(hào)用點(diǎn)表示0，后來(lái)逐漸演變?yōu)閳A圈。,巴克沙利手稿中出現(xiàn)了完整的十進(jìn)制數(shù)碼,有一塊公元76年的石碑，因存于印度中央邦西北地區(qū)的瓜廖爾GWMIOR城而以瓜廖爾石碑著稱，上面已記有明白無(wú)疑的數(shù)“0”．瓜廖爾數(shù)系為,古代印度數(shù)學(xué),印度－數(shù)碼阿拉伯?dāng)?shù)碼阿拉伯?dāng)?shù)字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9由印度人創(chuàng)造的,關(guān)于0的發(fā)明,印度,0較早出現(xiàn)在巴克沙利手稿中，這是印度數(shù)學(xué)的一大發(fā)明最早的零用來(lái)表示記數(shù)法中的空位，而沒(méi)有看作是一個(gè)獨(dú)立的數(shù)印度人起初也是用空位表示零，后記成點(diǎn)號(hào)，最后發(fā)展為圈號(hào)后來(lái)，印度人又把零作為一個(gè)獨(dú)立的數(shù)。摩訶毗羅說(shuō)“一個(gè)數(shù)乘以零得零，加上零、減去零或除以零這個(gè)數(shù)都不變”,關(guān)于0的發(fā)明,婆什迦羅在算法本源指出“被除數(shù)為3、除數(shù)為0，得商，這個(gè)分母為0的分?jǐn)?shù)，稱為無(wú)限大量。”婆羅摩笈多在婆羅摩笈多修正體系中比較完整地?cái)⑹隽肆愕倪\(yùn)算法則“負(fù)數(shù)減去零是負(fù)數(shù)；正數(shù)減去零是正數(shù)；零減去零什么也沒(méi)有；零乘負(fù)數(shù)、正數(shù)或零都是零”,用圓圈符號(hào)“0”表示零，可以說(shuō)是印度數(shù)學(xué)的一大發(fā)明．在數(shù)學(xué)上，“0”的意義是多方面的，它既表示“無(wú)”的概念，又表示位值記數(shù)中的空位，而且是數(shù)域中的一個(gè)基本元素，可以與其他數(shù)一起運(yùn)算．,印度數(shù)碼在公元8世紀(jì)傳入阿拉伯國(guó)家，后又通過(guò)阿拉伯人傳至歐洲．零號(hào)的傳播則要晚，不過(guò)至遲在13世紀(jì)初，斐波那契算經(jīng)中已有包括零號(hào)在內(nèi)的完整印度數(shù)碼的介紹．印度數(shù)碼和十進(jìn)位值制記數(shù)法被歐洲人普遍接受之后，在歐洲近代科學(xué)的進(jìn)步中扮演了重要的角色．,413“悉檀多時(shí)期的印度數(shù)學(xué)”,悉檀多梵文SIDDHANTA，原為佛教因明術(shù)語(yǔ)，可意譯為“宗”，或“體系”時(shí)代是印度數(shù)學(xué)的繁榮鼎盛時(shí)期，其數(shù)學(xué)內(nèi)容主要是算術(shù)與代數(shù)，出現(xiàn)了一些著名的數(shù)學(xué)家，如阿利耶波多ARYABHATAⅠ，476一約550、婆羅摩笈多BRAHMAGUPTA，598665、馬哈維拉MAHAVIRA，9世紀(jì)和婆什迦羅BHASKARAⅡ，1114一約1185等．,（一）阿耶波多,阿耶波多是現(xiàn)今所知有確切生年的最早的印度數(shù)學(xué)家，他只有一本天文數(shù)學(xué)著作阿耶波多歷數(shù)書(shū)499傳世．該書(shū)最突出的地方在于對(duì)希臘三角學(xué)的改進(jìn)和一次不定方程的解法。,阿耶波多把半弦與全弦所對(duì)弧的一半相對(duì)應(yīng)見(jiàn)圖，成為今天的習(xí)慣，同時(shí)他以半徑的作為度量弧的單位，實(shí)際是弧度制度量的開(kāi)始．他還給出了第一象限內(nèi)間隔為3o45’的正弦差值表．,阿耶波多最大貢獻(xiàn)是建立了丟番圖方程求解的所謂“庫(kù)塔卡”KUTTAKA，原意“粉碎”方法，采用輾轉(zhuǎn)相除法的演算程序，接近于連分?jǐn)?shù)算法．,印度科學(xué)史上有重要影響的人物，是最早的印度數(shù)學(xué)家，499年天文學(xué)著作阿耶波多歷數(shù)書(shū)（圣使天文書(shū)）傳世（相當(dāng)于祖沖之綴術(shù)的年代），最突出之處在于對(duì)希臘三角學(xué)的改進(jìn),制作正弦表（SINE一詞由阿耶波多稱為半弦的JIVA演化而來(lái)），和一次不定方程的解法。阿耶波多獲得了Π的近似值31416（與劉徽所得的近似值相當(dāng)），建立了丟番圖方程求解的“庫(kù)塔卡”（原意為“粉碎”）法。,阿耶波多（公元476－約550年）,最早的印度數(shù)學(xué)家阿耶波多（476－約550年）,499年阿耶波多歷書(shū)圣使天文書(shū),“阿耶波多號(hào)”人造衛(wèi)星（印度，1975）,Π的近似值31416,婆羅摩笈多的兩部天文著作婆羅摩修正體系628和肯德卡迪亞格約665，都含有大量的數(shù)學(xué)內(nèi)容，其代數(shù)成就十分可貴．,二婆羅摩笈多,在這段時(shí)間（中國(guó)的隋唐時(shí)期），整個(gè)世界（無(wú)論東方還是西方）都沒(méi)有產(chǎn)生一個(gè)大數(shù)學(xué)家。婆羅摩笈多出生在印度的7大宗教圣城之一的烏賈因，并在這里長(zhǎng)大。婆多摩笈多成年以后，一直在故鄉(xiāng)烏賈因天文臺(tái)工作，在望遠(yuǎn)鏡出現(xiàn)之前，它可謂是東方最古老的天文臺(tái)之一。628年發(fā)表天文學(xué)著作婆羅摩修正體系（宇宙的開(kāi)端），這是一部有21章的天文學(xué)著作，其中第12、18章講的是數(shù)學(xué)，分?jǐn)?shù)成就十分可貴，比較完整地?cái)⑹隽肆愕倪\(yùn)算法則，丟番圖方程求解的“瓦格布拉蒂”法，即現(xiàn)在所謂的佩爾（英，1611－1685年）方程的一種解法。他還著有肯德卡迪亞格（約665年）,婆羅摩笈多（598－約665年）,烏賈因天文臺(tái),婆羅摩笈多（598－約665年）,628年婆羅摩修正體系宇宙的開(kāi)端,●比較完整地?cái)⑹隽肆愕倪\(yùn)算法則,●利用二次插值法構(gòu)造了間隔為15°的正弦函數(shù)表,●獲得了邊長(zhǎng)為的四邊形的面積公式（有誤）,實(shí)際上這一公式只適用于圓內(nèi)接四邊形，婆羅摩笈多未意識(shí)到這一點(diǎn)，后來(lái)馬哈維拉，由這一公式出發(fā)將三角形視為有一邊為零的四邊形，得到了海倫公式。,三馬哈維拉,7世紀(jì)以后，印度數(shù)學(xué)出現(xiàn)了沉寂，到9世紀(jì)才又呈現(xiàn)出繁榮．如果說(shuō)7世紀(jì)以前印度的數(shù)學(xué)成就總是與天文學(xué)交織在一起，那么9世紀(jì)以后發(fā)生了改變．,耆那教徒馬哈維拉的計(jì)算方法綱要THEGANITASāRASANGRAHA可以說(shuō)是一部系統(tǒng)的數(shù)學(xué)專著，全書(shū)有9個(gè)部分1算術(shù)術(shù)語(yǔ)，2算術(shù)運(yùn)算，3分?jǐn)?shù)運(yùn)算，4各種計(jì)算問(wèn)題，5三率法即比例問(wèn)題，6混合運(yùn)算，7面積計(jì)算，8土方工程計(jì)算，9測(cè)影計(jì)算．,●給出了一般性的組合數(shù)公式,●給出橢圓周長(zhǎng)近似公式,馬哈維拉,馬哈維拉是印度南部邁索爾人，耆那教教徒，曾在拉喜特拉庫(kù)塔王朝R11STRAKTA的宮廷里生活過(guò)很長(zhǎng)一段時(shí)間．約公元850年，他撰寫(xiě)了計(jì)算方法綱要GANITAS1RASAGRAHA一書(shū)。該書(shū)在印度南部曾被廣泛使用，11世紀(jì)被譯成泰盧固語(yǔ)。20世紀(jì)初，它被重新發(fā)現(xiàn)．1912年，在馬德拉斯譯為英文出版．計(jì)算精華是印度第一本初具現(xiàn)代形式的數(shù)學(xué)教科書(shū)，現(xiàn)今數(shù)學(xué)教材中的一些論題和結(jié)構(gòu)在其中已可見(jiàn)到。,四婆什迦羅,婆什迦羅是印度古代和中世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家，長(zhǎng)期在烏賈因負(fù)責(zé)天文臺(tái)工作．他有兩本代表印度古代數(shù)學(xué)最高水平的著作莉拉沃蒂LīLāVATī和算法本源，天文著作有天球和天文系統(tǒng)之冠．,印度古代和中世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家婆什迦羅，出生于印度南方的比德?tīng)?，成年后?lái)到烏賈因天文臺(tái)工作，成為婆多摩笈多的繼承者，后來(lái)還做了這家天文臺(tái)的臺(tái)長(zhǎng)。古印度數(shù)學(xué)最高成就天文系統(tǒng)之冠（1150年，中國(guó)的南宋時(shí)期）和天球，還有兩部婆什迦羅的重要數(shù)學(xué)著作算法本源、莉拉沃蒂。,婆什迦羅（1114－1188年）,“婆什迦羅號(hào)”人造衛(wèi)星（印度第二顆衛(wèi)星）（1979）,婆什迦羅（1114－1188年）,印度數(shù)學(xué)最高成就天文系統(tǒng)極致,莉拉沃蒂,莉拉沃蒂共有13章第1章給出算學(xué)中的名詞術(shù)語(yǔ)；第2章是關(guān)于整數(shù)、分?jǐn)?shù)的運(yùn)算，包括加、減、乘、除、平方、開(kāi)平方、立方、開(kāi)立方等；第3章論各種計(jì)算法則和技巧；第4章關(guān)于利率等方面的應(yīng)用題；第5章數(shù)列計(jì)算問(wèn)題，主要是等差數(shù)列和等比數(shù)列；第6章關(guān)于平面圖形的度量計(jì)算；第7至10章關(guān)于立體幾何的度量計(jì)算；,莉拉沃蒂,第11章為測(cè)量問(wèn)題；第12章是代數(shù)問(wèn)題，包括不定方程；第13章是一些組合問(wèn)題．,●能夠熟地使用諸如和差與半角等三角公式,●能夠認(rèn)識(shí)并廣泛使用無(wú)理數(shù),莉拉沃蒂,婆什迦羅天文系統(tǒng)之冠,著于1150年，分“應(yīng)用問(wèn)題”、“代數(shù)”、“天球”和“行星數(shù)學(xué)”四篇。書(shū)中，他全面系統(tǒng)地介紹了算術(shù)、代數(shù)和幾何知識(shí)，反映了印度12世紀(jì)的記數(shù)法，記載了有關(guān)自然數(shù)、分?jǐn)?shù)和負(fù)數(shù)的8種基本運(yùn)算，收集了有關(guān)利息、商品交換、合金成分、土方、倉(cāng)庫(kù)容積、水利建設(shè)等各種與社會(huì)、經(jīng)濟(jì)活動(dòng)有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，給出了有關(guān)代數(shù)、幾何、三角方面的一些成果。,關(guān)于印度的幾何,婆羅摩笈多曾給出了一個(gè)求四邊形面積的公式婆羅摩笈多定理設(shè)圓內(nèi)接四邊形的各邊依次是，其對(duì)角線為則,關(guān)于印度的三角,把圓分成360度或21600分，改進(jìn)托勒密把直徑分為120等分，而且把半徑120等分。用單位弧長(zhǎng)度量半徑，即，得把半弦與全弦所對(duì)弧的一半相對(duì)應(yīng)。,由于印度屢被其他民族征服，使印度古代天文學(xué)和數(shù)學(xué)受外來(lái)文化影響較深，但印度數(shù)學(xué)始終保持東方數(shù)學(xué)以計(jì)算為中心的實(shí)用化特點(diǎn)。現(xiàn)代初等算術(shù)運(yùn)算方法的發(fā)展，起始于印度，可能在大約10、11世紀(jì)，它被阿拉伯人采用，后來(lái)傳到歐洲，在那里，它們被改造成現(xiàn)在的形式。這些工作受到15世紀(jì)歐洲算術(shù)家們的充分注意。與算術(shù)和代數(shù)相比，印度人在幾何方面的工作則顯得薄弱。此外，印度人用詩(shī)的語(yǔ)言來(lái)表達(dá)數(shù)學(xué)，他們的著作含糊而神秘（雖然發(fā)明了零號(hào)），且多半是經(jīng)驗(yàn)的，很少給出推導(dǎo)和證明。,總結(jié),

簡(jiǎn)介：數(shù)學(xué)史講義,,印度與阿拉伯?dāng)?shù)學(xué),,42阿拉伯?dāng)?shù)學(xué),背景阿拉伯簡(jiǎn)況阿拉伯帝國(guó)的興盛被認(rèn)為是人類歷史上最精彩的插曲之一，這當(dāng)然與先知穆罕默德（公元570－632年）的傳奇經(jīng)歷有關(guān)。穆罕默德570年出生在阿拉伯半島西南部的麥加。麥加當(dāng)時(shí)是一個(gè)遠(yuǎn)離商業(yè)、藝術(shù)和文化中心的落后地區(qū)，穆罕默德在極其艱苦的條件下長(zhǎng)大成人。25歲那年，由于他娶了一位富商的遺孀，經(jīng)濟(jì)狀況才得到改善。直到40歲前后，穆罕默德的生命才有了奇妙的變化。穆罕默德領(lǐng)悟到有且只有一個(gè)全能的神主宰世界，并確信真主安拉選擇了他作為使者，在人間傳教。,穆罕默德610年在麥加創(chuàng)立了伊斯蘭教，至632年一個(gè)以伊斯蘭教為共同信仰、政教合一，統(tǒng)一的阿拉伯國(guó)家出現(xiàn)于阿拉伯半島。這就是伊斯蘭教的來(lái)歷，它在阿拉伯語(yǔ)里的意思是“順從”，其信徒叫穆斯林（信仰安拉、服從先知的人）。四大哈里發(fā)時(shí)期（632－661年）632年穆罕默德逝世后，他的最初四個(gè)繼任者，哈里發(fā)為阿拉伯文的音譯，意為真主使者的“繼承人”。,中東地區(qū)地圖,穆罕默德570－632古蘭經(jīng)圣訓(xùn),阿拉伯科學(xué)突尼斯,1980,關(guān)于“代數(shù)”的由來(lái),西文“ALGEBRA”這個(gè)字來(lái)源于公元830年，花拉子米的一本天文學(xué)著作ALJABRWALMUQABALA。ALJABR的原意是”復(fù)原“，根據(jù)那里上下文的意思是說(shuō)在方程的一邊去掉一項(xiàng)就必須在另一邊加上這一項(xiàng)使之恢復(fù)平衡。ALMUQABALA意思是指”化簡(jiǎn)“，即從方程兩邊消掉相同的項(xiàng)。12世紀(jì)譯成拉丁文，簡(jiǎn)稱ALGEBRA，漢譯名為”代數(shù)“。,421阿拉伯的代數(shù),421阿拉伯的代數(shù),一花拉子米代數(shù)學(xué),阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)的突出成就首先表現(xiàn)在代數(shù)學(xué)方面．花拉子米MOHAMMEDIBNMūSāKHOWARIZMI，約783850是中世紀(jì)對(duì)歐洲數(shù)學(xué)影響最大的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家，他的還原與對(duì)消計(jì)算概要約820年前后一書(shū)在12世紀(jì)被譯成拉丁文，在歐洲產(chǎn)生巨大影響．阿拉伯語(yǔ)“ALJABR”，意為還原移項(xiàng)；“WA’LMUQABALA”即對(duì)消之意．傳入歐洲后，到14世紀(jì)“ALJABR”演變?yōu)槔≌Z(yǔ)“ALGEBRA”，也就成了今天的英文“ALGEBRA”代數(shù)，因此花拉子米的上述著作通常就稱為代數(shù)學(xué)．,阿爾花拉子米（783－850）,早期伊斯蘭數(shù)學(xué)8世紀(jì)中葉－9世紀(jì),代數(shù)教科書(shū)的鼻祖代數(shù)學(xué)820復(fù)原與對(duì)消,歐洲延用幾個(gè)世紀(jì)標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)學(xué)教科書(shū),書(shū)中用代數(shù)方式處理了線性方程組與二次方程，第一次給出了一元二次方程的一般代數(shù)解法及幾何證明，同時(shí)又引進(jìn)了移項(xiàng)、同類項(xiàng)合并等代數(shù)運(yùn)算等等，這一切為作為“解方程的科學(xué)”的代數(shù)學(xué)開(kāi)拓了道路．,代數(shù)學(xué)約1140年被英國(guó)人羅伯特ROBERTOFCHESTER譯成拉丁文，作為標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)學(xué)課本在歐洲使用了數(shù)百年，引導(dǎo)了16世紀(jì)意大利代數(shù)方程求解方面的突破,代數(shù)學(xué)分六章敘述6種類型的一、二次方程求解問(wèn)題．,▲第1章討論“平方等于根”的方程，即型方程；,▲第2章討論“平方等于數(shù)”的方程，即型方程；,▲第3章討論“根等于數(shù)”的方程，即一次方程；,▲第4、5、6章是關(guān)于三項(xiàng)二次方程求解問(wèn)題，分別討論三種類型的二次方程,都給出了相應(yīng)的求根公式．,花拉子米還指出，任何二次方程都可以通過(guò)“還原”與“對(duì)消”即移項(xiàng)與合并同類項(xiàng)的步驟化成他所討論的六種類型方程．由此可見(jiàn)，代數(shù)學(xué)關(guān)于方程的討論已超越傳統(tǒng)的算術(shù)方式，具有明顯的代數(shù)特征。,花拉子米的另一本書(shū)印度計(jì)算法ALGORITMIDENUMEROINDORUM也是數(shù)學(xué)史上十分有價(jià)值的數(shù)學(xué)著作，其中系統(tǒng)介紹了印度數(shù)碼和十進(jìn)制記數(shù)法，以及相應(yīng)的計(jì)算方法．,印度－阿拉伯?dāng)?shù)字,正是花拉子米的這本書(shū)使它們?cè)诎⒗澜缌餍衅饋?lái)，更值得稱道的是，它后來(lái)被譯成拉丁文在歐洲傳播，所以歐洲一直稱這種數(shù)碼為阿拉伯?dāng)?shù)碼．,該書(shū)書(shū)名全譯應(yīng)為“花拉子米的印度計(jì)算法”，其中ALGORITMI是花拉子米的拉丁譯名，現(xiàn)代術(shù)語(yǔ)“算法”ALGORITHM即源于此．,（三）奧馬海亞姆與三次方程,波斯人奧馬海亞姆OMARKHAYYAM，10481131是11世紀(jì)最著名且最富成就的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和詩(shī)人。,他在代數(shù)學(xué)方面的成就集中反映于他的還原與對(duì)消問(wèn)題的論證簡(jiǎn)稱代數(shù)學(xué)一書(shū)中，其中有開(kāi)平方、開(kāi)立方算法，但該書(shū)對(duì)代數(shù)學(xué)發(fā)展最杰出的貢獻(xiàn)是用圓錐曲線解三次方程．,編制了中世紀(jì)最精密的歷法哲拉里歷,研究三次方程根的幾何作圖法，提出的用圓錐曲線圖求根的理論,奧馬海雅姆（1044－1123年）,中期伊斯蘭數(shù)學(xué)10－12世紀(jì),奧馬海雅姆陵墓（伊朗）,阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)提要,奧馬海亞姆首先將不高于三次的代數(shù)方程分為25類系數(shù)為正數(shù)，找到14類三次方程，對(duì)每類三次方程給出相應(yīng)一種幾何解法。,例如解，首先將其化為這里，按照希臘人的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)，是線段，正方形，為長(zhǎng)方體。,方程的解就是拋物線與半圓交點(diǎn)橫坐標(biāo)X．,他首先畫(huà)出正焦弦為C的拋物線，再畫(huà)出直徑為D的半圓,過(guò)它們的交點(diǎn)作垂線PS，則QS長(zhǎng)度就是方程的解．這一創(chuàng)造，使代數(shù)與幾何的聯(lián)系更加密切．,422阿拉伯的三角學(xué)與幾何學(xué),由于數(shù)理天文學(xué)的需要，阿拉伯人繼承并推進(jìn)了希臘的三角術(shù)，其學(xué)術(shù)主要來(lái)源于印度的蘇利耶歷數(shù)全書(shū)等天文歷表，以及希臘托勒玫的大匯編、梅尼勞斯的球面論SPHAERICA等古典著作．,對(duì)希臘三角學(xué)加以系統(tǒng)化的工作是由9世紀(jì)天文學(xué)家阿爾巴塔尼ALBATTANI，858929作出的，而且他也是中世紀(jì)對(duì)歐洲影響最大的天文學(xué)家．其天文論著又名星的科學(xué)被普拉托譯成拉丁文后，在歐洲廣為流傳，哥白尼、第谷、開(kāi)普勒、伽利略等人都利用和參考了它的成果．,在該書(shū)中阿爾巴塔尼創(chuàng)立了系統(tǒng)的三角學(xué)術(shù)語(yǔ)，如正弦、余弦、正切、余切．他稱正弦為JIVA，拉丁語(yǔ)譯作SINUS，后來(lái)演變?yōu)橛⒄Z(yǔ)SINE；稱正切為UMBRAVERSA，意即反陰影；余切為UMBRARECTA，意即直陰影．后來(lái)演變拉丁語(yǔ)分別為TANGENT和COTANGENT，首見(jiàn)于丹麥數(shù)學(xué)家芬克15611656的圓的幾何1583一書(shū)中．而正割、余割是阿拉伯另一天文學(xué)家艾布瓦法ABULWAFA，940997最先引入的．,艾布瓦法和比魯尼等人進(jìn)一步豐富了三角學(xué)公式．艾布瓦法曾在巴格達(dá)天文臺(tái)工作，其重要的天文學(xué)著作天文學(xué)大全繼承并發(fā)展了托勒玫的大匯編。其中除一些精細(xì)的三角函數(shù)表外，還證明了與兩角和、差、倍角和半角的正弦公式等價(jià)的關(guān)于弦的一些定理，證明了平面和球面三角形的正弦定理．,比魯尼曾經(jīng)得到馬蒙MAMUN哈里發(fā)的支持，在烏爾根奇建造天文臺(tái)并從事天文觀測(cè)，是一位有146多部著作的多產(chǎn)學(xué)者，其馬蘇德規(guī)律一書(shū)，在三角學(xué)方面有一些創(chuàng)造性的工作．他給出一種測(cè)量地球半徑的方法。,阿爾比魯尼（973－1050年）,阿拉伯的三角學(xué)和幾何學(xué),利用二次插值法制定了正弦、正切函數(shù)表,證明了三角公式正弦公式、和差化積公式、倍角公式和半角公式,比魯尼還證明了正弦公式、和差化積公式、倍角公式和半角公式，后來(lái)阿爾卡西利用這些公式計(jì)算了SINL’的值．,如果說(shuō)希臘以來(lái)，三角術(shù)僅是天文學(xué)的附屬的話，那么這種情況在納西爾丁那里發(fā)生了一些改變．,他的天文學(xué)著作伊兒汗天文表1271是歷法史上的重要著作，其中測(cè)算出歲差51〞／每年，其天文寶庫(kù)則對(duì)托勒玫的宇宙體系加以評(píng)注，并提出新的宇宙模型。他的論完全四邊形是一部脫離天文學(xué)的系統(tǒng)的三角學(xué)專著．該書(shū)系統(tǒng)闡述了平面三角學(xué)，明確給出正弦定理．討論球面完全四邊形，對(duì)球面三角形進(jìn)行分類，指出球面直角三角形的6種邊角關(guān)系C為直角,論完全四邊形脫離天文學(xué)系統(tǒng)的三角學(xué)專著,納西爾?。?201－1274年）（伊朗，1956）,后期伊斯蘭數(shù)學(xué)13－15世紀(jì),并討論了解平面和球面斜三角形的一些方法，引入極三角形的概念以解斜三角形．他指出在球面三角形中，由三邊可以求三角，反之，由三角可以求三邊，這是球面三角與平面三角相區(qū)別的一個(gè)重要標(biāo)志．納西爾丁的論完全四邊形對(duì)15世紀(jì)歐洲三角學(xué)的發(fā)展起著非常重要的作用．,與希臘人三角術(shù)的幾何性質(zhì)相比，阿拉伯人的三角術(shù)與印度人一樣是算術(shù)性的．例如由正弦值求余弦值時(shí)，他們利用恒等式作代數(shù)運(yùn)算而求解，而不是利用幾何關(guān)系來(lái)推算，這是一種進(jìn)步．,與阿拉伯人的代數(shù)成就和三角學(xué)成就相比，阿拉伯人在幾何方面的工作主要是對(duì)希臘幾何的翻譯與保存，并傳給了歐洲，但希臘幾何學(xué)對(duì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)的嚴(yán)格性也產(chǎn)生一定的作用，并激發(fā)出思想的火花．最重要的例子是他們?cè)谠u(píng)注幾何原本的過(guò)程中，對(duì)第五公設(shè)引起了注意，不少人試圖證明這條公設(shè)，如焦赫里AIJAWHARI，約830、塔比伊本，庫(kù)拉THABITIBNQURRA，約826901、伊本。海塞姆IBNALHAYTHAM,9651040、奧馬，海亞姆以及納西爾丁等人。,阿拉伯人關(guān)于第五公設(shè)的這種興趣與嘗試，誘發(fā)了后世歐洲學(xué)者在這方面的興趣，對(duì)非歐幾何的誕生產(chǎn)生了一定的影響．,非歐幾何,NONEUCLIDEANGEOMETRY非歐幾里得幾何是一門大的數(shù)學(xué)分支，一般來(lái)講，它有廣義、狹義、通常意義這三個(gè)方面的不同含義。所謂廣義是泛指一切和歐幾里得幾何不同的幾何學(xué)狹義的非歐幾何只是指羅氏幾何來(lái)說(shuō)的，至于通常意義的非歐幾何，就是指羅氏幾何和黎曼幾何這兩種幾何。,,,,作業(yè),簡(jiǎn)述巴克沙拉里手稿與印度記數(shù)法。簡(jiǎn)述阿拉伯的代數(shù)學(xué)。3花拉子米是什么時(shí)代、什么地方的數(shù)學(xué)家，簡(jiǎn)述他的代表著作和重要數(shù)學(xué)貢獻(xiàn),

簡(jiǎn)介：第10章分析的嚴(yán)格化,第十章分析的嚴(yán)格化,101柯西與分析基礎(chǔ),經(jīng)過(guò)近一個(gè)世紀(jì)的嘗試與醞釀，數(shù)學(xué)家們?cè)趪?yán)格化基礎(chǔ)上重建微積分的努力到19世紀(jì)初開(kāi)始獲得成效．這方面的先聲來(lái)自捷克學(xué)者波爾察諾BBOLZANO，17811848，他在1817年發(fā)表了純粹分析證明，以證明連續(xù)函數(shù)的中值定理為目的，其中包含了對(duì)函數(shù)連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)等概念的合適定義，但波爾察諾的工作長(zhǎng)期湮沒(méi)無(wú)聞．19世紀(jì)分析嚴(yán)格化真正有影響的先驅(qū)是法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西．,,,柯西長(zhǎng)期擔(dān)任巴黎綜合工科學(xué)校教授，他有許多著作都是以工科大學(xué)講義形式面世的．在分析方法方面，他寫(xiě)出了一系列著作，其中最有代表性的是分析教程1821和無(wú)限小計(jì)算教程概論1823，它們以嚴(yán)格化為目標(biāo)，對(duì)微積分的基本概念，如變量、函數(shù)、極限、連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、微分、收斂等等給出了明確的定義，并在此基礎(chǔ)上重建和拓展了微積分的重要事實(shí)與定理．,什么叫數(shù)學(xué)概念,什么叫數(shù)學(xué)里面的定義,什么叫數(shù)學(xué)概念,數(shù)學(xué)是研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化以及空間模型等概念的一門學(xué)科。透過(guò)抽象化和邏輯推理的使用，由計(jì)數(shù)、計(jì)算、量度和對(duì)物體形狀及運(yùn)動(dòng)的觀察中產(chǎn)生。為了公式化新的猜想以及從合適選定的公理及定義中建立起嚴(yán)謹(jǐn)推導(dǎo)出的真理，數(shù)學(xué)家們拓展了這些概念。,什么叫數(shù)學(xué)里面的定義,數(shù)學(xué)概念MATHEMATICALCONCEPTS是人腦對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式，即一種數(shù)學(xué)的思維形式。正確地理解和形成一個(gè)數(shù)學(xué)概念，必須明確這個(gè)數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵對(duì)象的“質(zhì)”的特征，及其外延對(duì)象的“量”的范圍。一般來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)概念是運(yùn)用定義的形式來(lái)揭露其本質(zhì)特征的。有些數(shù)學(xué)概念要經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的醞釀，最后才以定義的形式表達(dá)，如函數(shù)、極限等。定義是準(zhǔn)確地表達(dá)數(shù)學(xué)概念的方式。,下面欣賞柯西給出的一些定義,以下是這方面的一些例子,1變量“依次取許多互不相同的值的量叫作變量”．,2函數(shù)“當(dāng)變量之間這樣聯(lián)系起來(lái)的時(shí)候，即給定了這些變量中的一個(gè)值，就可以決定所有其他變量的值的時(shí)候，人們通常想象這些量是用其中的一個(gè)來(lái)表達(dá)的，這時(shí)這個(gè)量就取名為自變量，而由這些自變量表示的其他量就叫作這個(gè)自變量的函數(shù)”．,3極限“當(dāng)同一變量逐次所取的值無(wú)限趨向于一個(gè)固定的值，最終使它的值與該定值的差要多小就多小，那么最后這個(gè)定值就稱為所有其他值的極限”．,4無(wú)限小量“當(dāng)同一變量逐次所取的絕對(duì)值無(wú)限減小，以致比任意給定的數(shù)還要小，這個(gè)變量就是所謂的無(wú)限小或無(wú)限小量”．,5連續(xù)函數(shù)．柯西第一次解決了函數(shù)連續(xù)性的定義問(wèn)題．按他的定義，函數(shù)在給定限之間關(guān)于保持連續(xù)，如果在這兩限之間變量的每個(gè)無(wú)限小增量總產(chǎn)生函數(shù)本身的一個(gè)無(wú)限小增量．,6導(dǎo)數(shù)與微分．柯西把導(dǎo)數(shù)明確定義為差商,當(dāng)無(wú)限地趨向于零的極限，函數(shù)的微分則定義為,,7積分．柯西首先指出，在研究積分或原函數(shù)的各種性質(zhì)以前，應(yīng)先證明它們是存在的．也就是說(shuō)需要首先對(duì)一大類函數(shù)給出積分的一般定義．設(shè)函數(shù)在給定區(qū)間上連續(xù)，并用點(diǎn)把區(qū)間劃分為個(gè)子區(qū)間，對(duì)應(yīng)于每個(gè)這樣的劃分，構(gòu)造近似和,,問(wèn)你能簡(jiǎn)單的總結(jié)一下這個(gè)過(guò)程嗎,柯西證明這個(gè)和數(shù)當(dāng)區(qū)間長(zhǎng)趨向于零時(shí)的極限與劃分的方式無(wú)關(guān)，并把這個(gè)極限定義為在區(qū)間上的積分,這個(gè)定義后來(lái)被黎曼直接推廣，將每個(gè)區(qū)間端點(diǎn)用區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)來(lái)代替，就得到現(xiàn)在所說(shuō)的黎曼積分．,,,分割近似作和取極限。,在以上一系列定義的基礎(chǔ)上，柯西得以嚴(yán)格地表述并證明微積分基本定理，中值定理等一系列重要定理，如微積分基本定理被表述為,在區(qū)間上給定連續(xù)函數(shù)，對(duì)于，由,定義的新函數(shù)就是的原函數(shù)或反導(dǎo)數(shù)，即在上有,我們一般還稱為什么函數(shù),,柯西還對(duì)無(wú)窮級(jí)數(shù)進(jìn)行了嚴(yán)格化處理，明確定義了級(jí)數(shù)的收斂性，并研究了判別級(jí)數(shù)收斂的條件．令,,是所研究的無(wú)窮級(jí)數(shù)前項(xiàng)的和，為自然數(shù)，若當(dāng)趨向于無(wú)限大時(shí)，和無(wú)限趨近于某一極限，柯西就說(shuō)級(jí)數(shù)是收斂的．,柯西在數(shù)學(xué)發(fā)明方面有特別豐富能力，其多產(chǎn)能力在歷史上只被超過(guò)了兩次（被歐拉和凱萊超過(guò)）。他的工作就象他的時(shí)代，是革命的。,現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩個(gè)引起興趣的主要問(wèn)題應(yīng)歸功于柯西，這兩個(gè)問(wèn)題中的每一個(gè)都標(biāo)志著與十八世紀(jì)數(shù)學(xué)的斷然決裂。,第一個(gè)是把嚴(yán)格性引進(jìn)了數(shù)學(xué)分析。,第二個(gè)是組合方面。,柯西ALCAUCHY，17891851于1789年8月21日（巴士底獄陷落后不到六個(gè)星期）出生在巴黎。,柯西,○1813年，柯西已經(jīng)以他光輝的研究工作，特別是關(guān)于多面體的論文和關(guān)于對(duì)稱函數(shù)的論文，吸引了法國(guó)主要數(shù)學(xué)家們的注意。,○柯西到二十七歲1816年時(shí)已經(jīng)使自己上升到當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家的最前列。他唯一的重要競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手是沉默的高斯。,柯西,○18261830年，創(chuàng)辦一個(gè)他自己的雜志數(shù)學(xué)練習(xí)，第二輯繼續(xù)以分析數(shù)學(xué)和物理練習(xí)為名，發(fā)表他在純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)方面的評(píng)論性的和獨(dú)創(chuàng)性的著作。,偉,大,數(shù),學(xué),家,柯西,柯西,柯西（CAUCHY17891857），法國(guó)數(shù)學(xué)家，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，有很高的建樹(shù)和造詣。很多數(shù)學(xué)的定理和公式也都以他的名字來(lái)稱呼，如柯西不等式、柯西積分公式柯西創(chuàng)造力驚人，數(shù)學(xué)論文像連綿不斷的泉水在柯西的一生中噴涌，他發(fā)表了789篇論文，出版專著7本。從他23歲寫(xiě)出第一篇論文到68歲逝世的45年中，平均每月發(fā)表一至兩篇論文,柯西,他在純數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的功力是相當(dāng)深厚的，在數(shù)學(xué)寫(xiě)作上，他是被認(rèn)為在數(shù)量上僅次于歐拉的人，他一生一共著作了789篇論文和幾本書(shū)，其中有些還是經(jīng)典之作。,柯西,柯西在幼年時(shí)，有機(jī)會(huì)遇到拉普拉斯和拉格朗日兩位大數(shù)學(xué)家。他們對(duì)他的才能十分賞識(shí)；拉格朗日認(rèn)為他將來(lái)必定會(huì)成為大數(shù)學(xué)家，但建議他的父親在他學(xué)好文科前不要學(xué)數(shù)學(xué)?？挛饔?805年考入綜合工科學(xué)校，在那里主要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和力學(xué)；1807年考入橋梁公路學(xué)校，1810年以優(yōu)異成績(jī)畢業(yè)，前往瑟堡參加海港建設(shè)工程。,柯西,柯西去瑟堡時(shí)攜帶了拉格朗日的解析函數(shù)論和拉普拉斯的天體力學(xué)，后來(lái)還陸續(xù)收到從巴黎寄出或從當(dāng)?shù)亟璧玫囊恍?shù)學(xué)書(shū)。他在業(yè)余時(shí)間悉心攻讀有關(guān)數(shù)學(xué)各分支方面的書(shū)籍，從數(shù)論直到天文學(xué)方面。根據(jù)拉格朗日的建議，他進(jìn)行了多面體的研究，并于1811及1812年向科學(xué)院提交了兩篇論文?？挛?7歲即當(dāng)選為法國(guó)科學(xué)院院士，還是英國(guó)皇家學(xué)會(huì)會(huì)員和許多國(guó)家的科學(xué)院院士,二、柯西的數(shù)學(xué)成就,柯西對(duì)數(shù)學(xué)的最大貢獻(xiàn)是在微積分中引進(jìn)了清晰和嚴(yán)格的表述與證明方法正如著名數(shù)學(xué)家馮諾伊曼所說(shuō)“嚴(yán)密性的統(tǒng)治地位基本上由柯西重新建立起來(lái)的”在這方面他寫(xiě)下了三部專著分析教程、無(wú)窮小計(jì)算教程、微分計(jì)算教程他的這些著作，擺脫了微積分單純的對(duì)幾何、運(yùn)動(dòng)的直觀理解和物理解釋，引入了嚴(yán)格的分析上的敘述和論證，從而形成了微積分的現(xiàn)代體系,柯西,馮諾伊曼的簡(jiǎn)介，參看第99頁(yè)。,柯西,作為一位學(xué)者，他思路敏捷，功績(jī)卓著。由柯西卷帙浩大的論著和成果，人們不難想象他的一生是怎樣孜孜不倦的勤奮工作。但是柯西卻是個(gè)具有復(fù)雜性格的人。他是忠誠(chéng)的保王黨人，熱心的天主教徒，落落寡歡的學(xué)者。尤其作為久負(fù)盛名的科學(xué)泰斗，他常常忽視青年學(xué)者的創(chuàng)造。例如，由于柯西“失落”了才華出眾的年輕數(shù)學(xué)家阿貝爾和伽羅華的開(kāi)創(chuàng)性論文手稿，造成群論晚問(wèn)世半個(gè)世紀(jì)。,柯西,1857年5月23日，他突然去世，享年68歲，他因?yàn)闊岵∪ナ?，臨終前，他還與巴黎大主教在說(shuō)話，他說(shuō)的最后一句話是“人總是要死的，但是，他們的功績(jī)永存”,102分析的算術(shù)化,柯西的工作是令人尊敬的，但他的理論還只能說(shuō)是“比較嚴(yán)格”，人們不久便發(fā)現(xiàn)柯西的理論也存在漏洞例如，他用了許多“無(wú)限趨近”、“想要多小就多小”等直覺(jué)描述的語(yǔ)言．特別是，微積分計(jì)算是在實(shí)數(shù)舞臺(tái)上進(jìn)行的，但直到19世紀(jì)中葉，對(duì)于什么是實(shí)數(shù)，竟還沒(méi)有明確的定義．?dāng)?shù)學(xué)家們對(duì)實(shí)數(shù)系本身仍然是以直觀的方式來(lái)理解的，他們相當(dāng)隨意地使用無(wú)理數(shù)如，而沒(méi)有認(rèn)真考察它們的確切意義和性質(zhì)．為了進(jìn)行計(jì)算，他們依靠了這樣的假設(shè)任何無(wú)理數(shù)都能用有理數(shù)來(lái)任意逼近，如14142．由于對(duì)實(shí)數(shù)系缺乏充分的理解，就不可能真正為微積分奠定牢固的基礎(chǔ)．,,,,,例如，柯西在證明連續(xù)函數(shù)積分作為和式的極限的存在性、證明級(jí)數(shù)收斂判別準(zhǔn)則的充分性以及證明中值定理,,,,,時(shí)，都需要實(shí)數(shù)的完備性，而實(shí)數(shù)系的這種基本性質(zhì)在當(dāng)時(shí)并沒(méi)有證實(shí)．,對(duì)實(shí)數(shù)系缺乏認(rèn)識(shí)不僅造成邏輯上的間斷，而且實(shí)際上常常導(dǎo)致錯(cuò)誤．由于沒(méi)有建立一致收斂性概念，柯西得出過(guò)一個(gè)錯(cuò)誤判斷,若皆連續(xù)，且級(jí)數(shù)收斂，則連續(xù)；他還斷定這時(shí)對(duì)收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)積分,,,,另一個(gè)在當(dāng)時(shí)普遍持有的錯(cuò)誤觀念是認(rèn)為凡連續(xù)函數(shù)都是可微的．因此，當(dāng)?shù)聡?guó)數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯在1861年舉出一個(gè)處處連續(xù)但卻處處不可微的函數(shù)例子時(shí)，數(shù)學(xué)界可以說(shuō)是大為震驚魏爾斯特拉斯的例子是,,其中是奇數(shù)，常數(shù)，是使得．,高斯曾經(jīng)稱“數(shù)學(xué)是眼睛的科學(xué)”，但是要看清魏爾斯特拉斯擺在數(shù)學(xué)家們面前的這條曲線，單靠一雙好眼睛是無(wú)論如何不夠的．魏爾斯特拉斯的例子使人們迫切感到徹底擺脫對(duì)幾何直覺(jué)的依賴，重新認(rèn)識(shí)考察分析基礎(chǔ)的必要性．,另一位德國(guó)數(shù)學(xué)家戴德金RDEDEKIND在1858年開(kāi)始講授微積分時(shí)說(shuō)過(guò)的一段話，也反映出當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家不滿足于柯西的標(biāo)準(zhǔn)，而尋求使分析進(jìn)一步嚴(yán)格化的途徑的愿望,“我比以往任何時(shí)候更加強(qiáng)烈地感到這種算法缺乏真正科學(xué)的基礎(chǔ)．在討論一個(gè)變量逼近于一個(gè)固定的極限值的概念時(shí)，特別是在證明每個(gè)連續(xù)增加但不超過(guò)一切界限的量必定趨向于一個(gè)極限這一定理時(shí)，我依靠的是幾何上的證據(jù)．但是，決不能認(rèn)為以這種方式引入微分學(xué)是科學(xué)的．這一點(diǎn)已經(jīng)得到公認(rèn)．至于我本人，也無(wú)法克制這種不滿意的感覺(jué)而下定決心研究這個(gè)問(wèn)題，直到為無(wú)窮小分析原理建立純粹算術(shù)的和完全嚴(yán)格的基礎(chǔ)為止．”,把分析建立在“純粹算術(shù)”的基礎(chǔ)之上，這方面的努力在19世紀(jì)后半葉釀成了數(shù)學(xué)史上著名的“分析算術(shù)化”運(yùn)動(dòng)，這場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的主將是上面已經(jīng)提到的魏爾斯特拉斯．魏爾斯特拉斯認(rèn)為實(shí)數(shù)賦予我們極限與連續(xù)等概念，從而成為全部分析的本源．要使分析嚴(yán)格化，首先就要使實(shí)數(shù)系本身嚴(yán)格化．為此最可靠的辦法是按照嚴(yán)密的推理將實(shí)數(shù)歸結(jié)為整數(shù)有理數(shù)．這樣，分析的所有概念便可由整數(shù)導(dǎo)出，使以往的漏洞和缺陷都能得以填補(bǔ)．這就是所謂“分析算術(shù)化”綱領(lǐng)，魏爾斯特拉斯本人和他的學(xué)生們?yōu)閷?shí)現(xiàn)這一綱領(lǐng)作出了艱苦的努力并獲得了很大成功．,1021魏爾斯特拉斯,,魏爾斯特拉斯WEIERSTRASS，18151897），德國(guó)數(shù)學(xué)家，中學(xué)畢業(yè)時(shí)成績(jī)優(yōu)秀，共獲7項(xiàng)獎(jiǎng)，其中包括數(shù)學(xué)，但他的父親卻把他送到波恩大學(xué)去學(xué)習(xí)法律和商業(yè)．魏爾斯特拉斯對(duì)商業(yè)和法律都毫無(wú)興趣．在波恩大學(xué)他把相當(dāng)一部分時(shí)間花在自學(xué)他所喜歡的數(shù)學(xué),上，攻讀了包括拉普拉斯的天體力學(xué)在內(nèi)的一些名著。他在波恩的另一部分時(shí)間則花在了擊劍上．魏爾斯特拉斯體魄魁偉，擊劍時(shí)出手準(zhǔn)確，加上旋風(fēng)般的速度，很快就成為波恩人心目中的擊劍名星．,魏爾斯特拉斯,,魏爾斯特拉斯,這樣在波恩大學(xué)度過(guò)四年之后，魏爾斯特拉斯回到家里，沒(méi)有得到他父親所希望的法律博士學(xué)位，連碩士學(xué)位也沒(méi)有得到．這使他父親勃然大怒，呵斥他是一個(gè)“從軀殼到靈魂都患病,的人”．這時(shí)多虧他家的一位朋友建議，魏爾斯特拉斯被送到明斯特去準(zhǔn)備教師資格考試．1841年，他正式通過(guò)了教師資格考試．在這期間，他的數(shù)學(xué)老師居德曼認(rèn)識(shí)到他的才能．,居德曼CGUDERMANN是一位橢圓函數(shù)論專家，他的橢圓函數(shù)論給了魏爾斯特拉斯很大影響，魏爾斯特拉斯為通過(guò)教師資格考試而提交的一篇論文的主題就是求橢圓函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)．居德曼在這篇論文的評(píng)語(yǔ)中寫(xiě)道,“論文顯示了一位難得的數(shù)學(xué)人才，只要不被埋沒(méi)荒廢，一定會(huì)對(duì)科學(xué)的進(jìn)步作出貢獻(xiàn)”．,居德曼的評(píng)語(yǔ)并沒(méi)有引起任何重視，魏爾斯特拉斯在獲得中學(xué)教師資格后開(kāi)始了漫長(zhǎng)的中學(xué)教師生活．他在兩處偏僻的地方中學(xué)度過(guò)了包括30歲到40歲的這段數(shù)學(xué)家的黃金歲月．,他在中學(xué)不光是教數(shù)學(xué)，還教物理、德文、地理甚至體育和書(shū)法課，而所得薪金連進(jìn)行科學(xué)通信的郵資都付不起．但魏爾斯特拉斯以驚人的毅力，過(guò)著一種雙重的生活．他白天教課，晚上攻讀研究阿貝爾等人的數(shù)學(xué)著作，并寫(xiě)了許多論文．其中有少數(shù)發(fā)表在當(dāng)時(shí)德國(guó)中學(xué)發(fā)行的一種不定期刊物“教學(xué)簡(jiǎn)介”上，但正如魏爾斯特拉斯后來(lái)的學(xué)生、瑞典數(shù)學(xué)家米塔列夫勒所說(shuō)的那樣“沒(méi)有人會(huì)到中學(xué)的教學(xué)簡(jiǎn)介中去尋找有劃時(shí)代意義的數(shù)學(xué)論文。”不過(guò)魏爾斯特拉斯這一段時(shí)間的業(yè)余研究，卻奠定了他一生數(shù)學(xué)創(chuàng)造的基礎(chǔ)．,一直到1853年，魏爾斯特拉斯將一篇關(guān)于阿貝爾函數(shù)的論文寄給了德國(guó)數(shù)學(xué)家克雷爾主辦的純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志常常簡(jiǎn)稱數(shù)學(xué)雜志，這才使他時(shí)來(lái)運(yùn)轉(zhuǎn)．,克雷爾的雜志素以向有創(chuàng)造力的年青數(shù)學(xué)家開(kāi)放而著稱．他接受了魏爾斯特拉斯的論文并在第二年就發(fā)表出來(lái)，隨即引起了轟動(dòng)．,哥尼斯堡大學(xué)一位數(shù)學(xué)教授親自到魏爾斯特拉斯當(dāng)時(shí)任教的布倫斯堡中學(xué)向他頒發(fā)了哥尼斯堡大學(xué)博士學(xué)位證書(shū)．普魯士教育部宣布晉升魏爾斯特拉斯，并給了他一年假期帶職從事研究．此后，他再也沒(méi)有回到布倫斯堡．1856年，也就是他當(dāng)了15年中學(xué)教師之后，魏爾斯特拉斯被任命為柏林工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)教授，同年被選進(jìn)柏林科學(xué)院．他后來(lái)又轉(zhuǎn)到柏林大學(xué)任教授直到去世，晚年享有很高的聲譽(yù)，幾乎被看成是德意志的民族英雄．,在數(shù)學(xué)史上，魏爾斯特拉斯關(guān)于分析嚴(yán)格化的貢獻(xiàn)使他獲得了“現(xiàn)代分析之父”的稱號(hào)．這種嚴(yán)格化的突出表現(xiàn)是創(chuàng)造了一套語(yǔ)言，用以重建分析體系．可以說(shuō)，數(shù)學(xué)分析達(dá)到今天所具有的嚴(yán)密形式，本質(zhì)上歸功于魏爾斯特拉斯的工作,1022實(shí)數(shù)理論,魏爾斯特拉斯很少正式發(fā)表自己的研究成果，他的許多思想和方法主要是通過(guò)他在柏林工業(yè)大學(xué)和柏林大學(xué)的課堂講授而傳播的，其中有一些后來(lái)由他的學(xué)生整理發(fā)表出來(lái)．在1857年開(kāi)始的解析函數(shù)論課程中，魏爾斯特拉斯給出了第一個(gè)嚴(yán)格的實(shí)數(shù)定義，這個(gè)定義大意是先從自然數(shù)出發(fā)定義正有理數(shù)，然后通過(guò)無(wú)窮多個(gè)有理數(shù)的集合來(lái)定義實(shí)數(shù)．像大多數(shù)情況一樣，魏爾斯特拉斯只是在課堂上作了講授．1872年，有人曾建議他發(fā)表這一定義，但被魏爾斯特拉斯拒絕了．,不過(guò)，1872年，戴德金、康托爾CANTOR，18451918、梅雷HCRMERAY和海涅HEHEINTE等人幾乎同時(shí)發(fā)表了他們各自的實(shí)數(shù)理論，而其中戴德金和康托爾的實(shí)數(shù)構(gòu)造方法正是我們現(xiàn)在通常所采用的．,戴德金,尤利烏斯威廉理查德戴德金（JULIUSWILHELMRICHARDDEDEKIND，18311916）又譯狄德金，最偉大的德國(guó)數(shù)學(xué)家、理論家和教育家，近代抽象數(shù)學(xué)的先驅(qū)。據(jù)辭海，戴德金還是格丁根大學(xué)哲學(xué)博士、柏林科學(xué)院院士。,格奧爾格康托爾,格奧爾格康托爾（CANTOR，GEORGFERDINANDLUDWIGPHILIPP，184533191816）德國(guó)數(shù)學(xué)家，集合論的創(chuàng)始人。生于俄國(guó)圣彼得堡（今俄羅斯列寧格勒）。父親是猶太血統(tǒng)的丹麥商人，母親出身藝術(shù)世家。1856年全家遷居德國(guó)的法蘭克福。先在一所中學(xué)，后在威斯巴登的一所大學(xué)預(yù)科學(xué)校學(xué)習(xí)。,戴德金的方法也稱為戴德金分割，是將一切有理數(shù)的集合劃分為兩個(gè)非空不相交的子集和，使得中的每一個(gè)元素小于中的每一個(gè)元素，這時(shí)戴德金把這個(gè)劃分定義為有理數(shù)的一個(gè)分割，記為。有些分割是有理數(shù)產(chǎn)生的，在這樣的分割中，要么有最大元素，要么有最小元素．但有些分割卻不是,例如，若是由滿足的一切正有理數(shù)組成，是由一切其余的有理數(shù)組成，則既不存在的最大元素，也不存在的最小元素，因?yàn)椴淮嬖谟欣頂?shù)使得．戴德金說(shuō)每當(dāng)我們考慮一個(gè)不是由有理數(shù)產(chǎn)生的分割時(shí)，就得到一個(gè)新數(shù)即無(wú)理數(shù)，我們認(rèn)為這個(gè)數(shù)是由分割完全確定的．因此，戴德金就把一切實(shí)數(shù)組成的集合R定義為有理數(shù)集的一切分割，而一個(gè)實(shí)數(shù)就是一個(gè)分割．,康托爾的基本思想則是把實(shí)數(shù)定義為有理數(shù)序列，這里必須是滿足柯西收斂準(zhǔn)則的基本序列，即當(dāng)時(shí)，對(duì)任意正整數(shù)一致地趨于0．康托爾把每個(gè)有理數(shù)基本序列與一個(gè)實(shí)數(shù)等同起來(lái)．而兩個(gè)基本序列與,若，則被看成是等價(jià)的，即它們定義同一個(gè)實(shí)數(shù)．用現(xiàn)代語(yǔ)言說(shuō)，康托爾的定義相當(dāng)于把實(shí)數(shù)集合定義為有理數(shù)的基本序列的一切等價(jià)類的集合．如果是一個(gè)有理數(shù)，則序列就表示對(duì)應(yīng)于的實(shí)數(shù)．,戴德金和康托爾在他們各自的實(shí)數(shù)定義下都嚴(yán)格證明了實(shí)數(shù)系的完備性．例如，康托爾證明了，若是任一實(shí)數(shù)序列，又若對(duì)于任意正整數(shù)一致地有成立，則必存在唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)，它被一個(gè)由有理數(shù)構(gòu)成的基本序列所確定，使得．,這表明，由實(shí)數(shù)構(gòu)成的基本序列不會(huì)產(chǎn)生任何更新類型的數(shù)，或者說(shuō)由實(shí)數(shù)構(gòu)成的基本序列不需要任何更新類型的數(shù)來(lái)充當(dāng)它的極限，因?yàn)橐呀?jīng)存在的實(shí)數(shù)已足夠提供其極限了．因此，從為基本序列提供極限的觀點(diǎn)來(lái)說(shuō)，實(shí)數(shù)系是一個(gè)完備系．這樣，長(zhǎng)期以來(lái)圍繞著實(shí)數(shù)概念的邏輯循環(huán)得以徹底消除．實(shí)數(shù)的定義及其完備性的確立，標(biāo)志著由魏爾斯特拉斯倡導(dǎo)的分析算術(shù)化運(yùn)動(dòng)大致宣告完成．,1023集合論的誕生,在分析的嚴(yán)格化過(guò)程中，一些基本概念如極限、實(shí)數(shù)、級(jí)數(shù)等的研究都涉及到由無(wú)窮多個(gè)元素組成的集合，特別是在對(duì)那些不連續(xù)函數(shù)進(jìn)行分析時(shí)，需要對(duì)使函數(shù)不連續(xù)或使收斂問(wèn)題變得很困難的點(diǎn)集進(jìn)行研究，這樣就導(dǎo)致了集合論的建立．狄利克雷、黎曼等人都研究過(guò)這方面的問(wèn)題，但只有康托爾在這一過(guò)程中系統(tǒng)發(fā)展了一般點(diǎn)集的理論，并開(kāi)拓了一個(gè)全新的數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域．,康托爾是在研究函數(shù)的三角級(jí)數(shù)表達(dá)式的唯一性問(wèn)題時(shí)開(kāi)始接觸無(wú)窮點(diǎn)集的．為了描述這種集合，他在1872年發(fā)表的關(guān)于三角級(jí)數(shù)中一個(gè)定理的推廣這篇文章里，定義了一系列點(diǎn)集論的基本概念，如極限點(diǎn)、導(dǎo)集、二階導(dǎo)集，，第一型導(dǎo)集、第二型導(dǎo)集等，奠定了無(wú)窮點(diǎn)集論的初步基礎(chǔ)．在將唯一性定理推廣到允許無(wú)窮例外點(diǎn)等的過(guò)程中，康托爾認(rèn)識(shí)到，這些例外點(diǎn)的集合及其導(dǎo)集所產(chǎn)生的問(wèn)題與全體實(shí)數(shù)集合的構(gòu)造性質(zhì)密切相關(guān)．,因此，康托爾開(kāi)始關(guān)注這樣一個(gè)問(wèn)題,像自然數(shù)集那樣的無(wú)窮集合和像實(shí)數(shù)集那樣的無(wú)窮集合存在著怎樣的關(guān)系,1873年11月29日，康托爾在給戴德金的信中將上述問(wèn)題以更明確的形式提了出來(lái),全體正整數(shù)集合和全體實(shí)數(shù)集合能否建立一一對(duì)應(yīng),,康托爾,這個(gè)問(wèn)題看起來(lái)似乎不成問(wèn)題，因?yàn)槭请x散的，是連續(xù)的，但康托爾認(rèn)為這個(gè)問(wèn)題也許并不那么簡(jiǎn)單，我們不能過(guò)分相信直覺(jué)．,,康托爾,導(dǎo)致康托爾作出這種判斷的，是他不久前剛剛證明的一個(gè)結(jié)論全體有理數(shù)的集合是可數(shù)的．這很有些出乎意料，因?yàn)橛欣頂?shù)不像自然數(shù)，它是稠密的，在任何兩個(gè)不同的有理數(shù)之間都存在另一個(gè)有理數(shù)，事實(shí)上，有無(wú)限多個(gè)．依靠直覺(jué)，似,考慮正有理數(shù)按以下方式排成的陣列（如圖）。在其中，第一行依大小次序包括所有以1為分母的正分?jǐn)?shù)，即全體正整數(shù)；第二行依大小次序包括所有以2為分母的正分?jǐn)?shù)；第三行依大小次序包括所有以3為分母的正分?jǐn)?shù)等等．顯然，每個(gè)正有理數(shù)出現(xiàn)在這個(gè)陣列中．如果我們按箭頭所示依次重新排序，略去已經(jīng)出現(xiàn)過(guò)的數(shù)，就得到全體正有理數(shù)的一個(gè)無(wú)窮序列，,,于是序列就是包括所有有理數(shù)的集合。這樣就證明了有理數(shù)集的可數(shù)性．,乎可以斷言有理數(shù)是不可數(shù)的，但事實(shí)并非如此．康托爾的證明如下這里是他1895年給出的第二個(gè)證明．,更令人驚異的是，康托爾還證明全體實(shí)代數(shù)數(shù)的集合也是可數(shù)的，而在直覺(jué)上實(shí)代數(shù)數(shù)似乎要比有理數(shù)多得多．康托爾起初想要證明實(shí)數(shù)集也是可數(shù)的，但他終于發(fā)現(xiàn)，在自然數(shù)集和實(shí)數(shù)集之間不可能建立一一對(duì)應(yīng)．康托爾的第一個(gè)證明是在1873年12月作出的，而以“康托爾對(duì)角線法”著稱的第二個(gè)證明則發(fā)表于1890年．在這第二個(gè)證明中，康托爾實(shí)際考慮的是實(shí)數(shù)集．,,他的思路是，假定是可數(shù)集，則必然存在中所有實(shí)數(shù)的一個(gè)序列，現(xiàn)將每個(gè)這樣的實(shí)數(shù)寫(xiě)成十進(jìn)小數(shù)形式，并約定將有理數(shù)寫(xiě)成無(wú)窮小數(shù)，如,,于是有,,現(xiàn)構(gòu)造，并規(guī)定如果，則，如果，則，因此是中的一個(gè)實(shí)數(shù)，但卻不同于上面序列中的任何一個(gè)數(shù)．這就與假定相矛盾，因此是不可數(shù)的．,康托爾關(guān)于實(shí)數(shù)不可數(shù)性的發(fā)現(xiàn)，是為建立超窮集合論而邁出的真正有意義的一步．之后，康托爾開(kāi)始考慮在正整數(shù)和實(shí)數(shù)兩個(gè)不同的無(wú)窮集合之外，是否還有更大的無(wú)窮從1874年到1877年，他經(jīng)過(guò)三年的探索，證明了維空間的點(diǎn)集與線性點(diǎn)集是可以建立一一對(duì)應(yīng)的．這個(gè)結(jié)論與直覺(jué)如此相悖，以致康托爾驚呼“我見(jiàn)到了，但我不相信．”當(dāng)這個(gè)結(jié)果在1878年發(fā)表后，也引起了克羅內(nèi)克等人的激烈反對(duì)．正是在這篇文章中，康托爾明確提出了“基數(shù)”或“勢(shì)”的概念,給定兩個(gè)集合和，如果能夠根據(jù)某種規(guī)則在它們之間建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，就稱這兩個(gè)集合有相同的“基數(shù)”，或者說(shuō)“等勢(shì)”．,康托爾認(rèn)為，建立集合論重要的是把數(shù)的概念從有窮數(shù)推廣到無(wú)窮數(shù)．為此，他建立了超窮基數(shù)和超窮序數(shù)的理論．因?yàn)榧热痪S空間不能產(chǎn)生更大的無(wú)窮集合，進(jìn)一步就要問(wèn)能否從已知的無(wú)窮集合出發(fā)根據(jù)確鑿的數(shù)學(xué)運(yùn)算來(lái)形成更大的無(wú)窮．康托爾先是在1883年的一篇文章里提出了良序集和序數(shù)的概念，并根據(jù)序數(shù)理論從序數(shù)集來(lái)形成更大的無(wú)窮．而后他又在1891年發(fā)表的“集合論的一個(gè)根本問(wèn)題”里，利用一集合的冪集即該集合所有子集的集合來(lái)形成較原集合更大的無(wú)窮，并證明了著名的康托爾定理一集合的冪集的基數(shù)較原集合的基數(shù)大。,,因此，從自然數(shù)集的基數(shù)也是一切可數(shù)集的基數(shù)出發(fā)，根據(jù)康托爾定理就得到了超窮基數(shù)一個(gè)無(wú)限上升的序列,,這里表示自然數(shù)集的基數(shù)，表示其冪集的基數(shù)，等等．,這樣，康托爾就為我們展現(xiàn)了一幅壯麗的圖景無(wú)窮也具有無(wú)窮多的“層次”，并不存在一個(gè)最大的無(wú)窮．,可以證明，就是實(shí)數(shù)集的基數(shù)也稱連續(xù)統(tǒng)的基數(shù)，那么在自然數(shù)集基數(shù)與連續(xù)統(tǒng)基數(shù)之間是否還存在其他基數(shù)上述序列是否窮盡了一切超窮基數(shù)呢這就是著名的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)和廣義連續(xù)統(tǒng)假設(shè)，康托爾沒(méi)有解決這個(gè)問(wèn)題，后來(lái)希爾伯特把它列為他所提出的23個(gè)著名問(wèn)題的第一個(gè)問(wèn)題見(jiàn)第11章．,格奧爾格康托爾,格奧爾格康托爾（CANTOR，18451918）德國(guó)數(shù)學(xué)家，集合論的創(chuàng)始人。生于俄國(guó)圣彼得堡（今俄羅斯列寧格勒）。父親是猶太血統(tǒng)的丹麥商人，母親出身藝術(shù)世家。1856年全家遷居德國(guó)的法蘭克福。先在一所中學(xué)，后在威斯巴登的一所大學(xué)預(yù)科學(xué)校學(xué)習(xí)。,康托爾，1862年入蘇黎世大學(xué)學(xué)工,翌年轉(zhuǎn)入柏林大學(xué)攻讀數(shù)學(xué)和神學(xué)，受教于庫(kù)默爾（KUMMER，18101893）、維爾斯特拉斯和克羅內(nèi)克KRONECKER，18231891。1866年曾去格丁根學(xué)習(xí)一學(xué)期。1867年在庫(kù)默爾指導(dǎo)下獲博士學(xué)位。畢業(yè)后受魏爾斯特拉斯的直接影響，由數(shù)論轉(zhuǎn)向嚴(yán)格的分析理論的研究，不久嶄露頭角。他在哈雷大學(xué)任教（18691913）的初期證明了復(fù)合變量函數(shù)三角級(jí)數(shù)展開(kāi)的唯一性，繼而用有理數(shù)列極限定義無(wú)理數(shù)。,1872年成為該校副教授，1879年任教授。由于學(xué)術(shù)觀點(diǎn)上受到的沉重打擊，使康托爾曾一度患精神分裂癥。1884年，由于連續(xù)統(tǒng)假設(shè)長(zhǎng)期得不到證明，再加上與克羅內(nèi)克（康托爾的老師）的尖銳對(duì)立，精神上屢遭打擊，5月底，他支持不住了，第一次精神崩潰。雖在1887年恢復(fù)了健康，繼續(xù)工作，但晚年一直病魔纏身。1918年1月6日在德國(guó)哈雷（HALLE）維滕貝格大學(xué)附屬精神病院去世。,令人唏噓不已,康托爾愛(ài)好廣泛，極有個(gè)性，終身信奉宗教。早期在數(shù)學(xué)方面的興趣是數(shù)論，1870年開(kāi)始研究三角級(jí)數(shù)并由此導(dǎo)致19世紀(jì)末、20世紀(jì)初最偉大的數(shù)學(xué)成就集合論和超窮數(shù)理論的建立。除此之外，他還努力探討在新理論創(chuàng)立過(guò)程中所涉及的數(shù)理哲學(xué)問(wèn)題18881893年康托爾任柏林?jǐn)?shù)學(xué)會(huì)第一任會(huì)長(zhǎng)，1890年領(lǐng)導(dǎo)創(chuàng)立德國(guó)數(shù)學(xué)家聯(lián)合會(huì)并任首屆主席。,主要貢獻(xiàn),康托爾對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)是集合論和超窮數(shù)理論。兩千多年來(lái)，科學(xué)家們接觸到無(wú)窮，卻又無(wú)力去把握和認(rèn)識(shí)它，這的確是向人類提出的尖銳挑戰(zhàn)。康托爾以其思維之獨(dú)特，想象力之豐富，方法之新穎繪制了一幅人類智慧的精品集合論和超窮數(shù)理論，令19、20世紀(jì)之交的整個(gè)數(shù)學(xué)界、甚至哲學(xué)界感到震驚?？梢院敛豢鋸埖刂v，“關(guān)于數(shù)學(xué)無(wú)窮的革命幾乎是由他一個(gè)人獨(dú)立完成的?！?評(píng)價(jià),康托爾的集合論得到公開(kāi)的承認(rèn)和熱情的稱贊應(yīng)該說(shuō)首先在瑞士蘇黎世召開(kāi)的第一屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上表現(xiàn)出來(lái)。隨著時(shí)間的推移，人們逐漸認(rèn)識(shí)到集合論的重要性。希爾伯特HILBERT，18621943高度贊譽(yù)康托爾的集合論“是數(shù)學(xué)天才最優(yōu)秀的作品”，“是人類純粹智力活動(dòng)的最高成就之一”，“是這個(gè)時(shí)代所能夸耀的最巨大的工作”。在1900年第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，希爾伯特高度評(píng)價(jià)了康托爾工作的重要性，并把康托爾的連續(xù)統(tǒng)假設(shè)列入20世紀(jì)初有待解決的23個(gè)重要數(shù)學(xué)問(wèn)題之首。希爾伯特用堅(jiān)定的語(yǔ)言向世界宣布“沒(méi)有任何人能將我們從康托爾所創(chuàng)造的伊甸園中驅(qū)趕出來(lái)”。,103分析的擴(kuò)展,19世紀(jì)分析的嚴(yán)格化成為這個(gè)時(shí)代分析的特點(diǎn)，但是，加固基礎(chǔ)的工作并沒(méi)有影響到19世紀(jì)的分析學(xué)家們?nèi)ミM(jìn)一步拓廣自己的領(lǐng)

簡(jiǎn)介：,幾何學(xué)的變革,第九章,,,,什么叫幾何,幾何，就是研究空間結(jié)構(gòu)及性質(zhì)的一門學(xué)科。它是數(shù)學(xué)中最基本的研究?jī)?nèi)容之一，與分析、代數(shù)等等具有同樣重要的地位，并且關(guān)系極為密切。,,,幾何學(xué)發(fā)展,幾何學(xué)發(fā)展歷史悠長(zhǎng)，內(nèi)容豐富。它和代數(shù)、分析、數(shù)論等等關(guān)系極其密切。幾何思想是數(shù)學(xué)中最重要的一類思想。目前的數(shù)學(xué)各分支發(fā)展都有幾何化趨向，即用幾何觀點(diǎn)及思想方法去探討各數(shù)學(xué)理論。,91歐幾里得平行公設(shè),直到18世紀(jì)末，幾何領(lǐng)域仍然是歐幾里得一統(tǒng)天下．解析幾何改變了幾何研究的方法，但沒(méi)有從實(shí)質(zhì)上改變歐氏幾何本身的內(nèi)容．解析方法的運(yùn)用雖然在相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)沖淡了人們對(duì)綜合幾何的興趣，但歐幾里得幾何作為數(shù)學(xué)嚴(yán)格性的典范始終保持著神圣的地位．,,然而，這個(gè)近乎科學(xué)“圣經(jīng)”的歐幾里得幾何并非無(wú)懈可擊．事實(shí)上，公元前3世紀(jì)到18世紀(jì)末，數(shù)學(xué)家們雖然一直堅(jiān)信歐氏幾何的完美與正確，但有一件事卻始終讓他們耿耿于懷，這就是歐幾里得第五公設(shè)，也稱平行公設(shè)．在歐氏幾何的所有公設(shè)中，唯獨(dú)這條公設(shè)顯得比較特殊．它的敘述不像其他公設(shè)那樣簡(jiǎn)潔、明了，當(dāng)時(shí)就有人懷疑它不像是一個(gè)公設(shè)而更像是一個(gè)定理，并產(chǎn)生了從其他公設(shè)和定理推出這條公設(shè)的想法．,下面回顧一下“歐氏幾何公理、公設(shè)”,歐氏幾何公理,,（1）等于同量的量彼此相等；（2）等量加等量，和相等；（3）等量減等量，差相等；（4）彼此重合的圖形是全等的；（5）整體大于部分。,歐氏幾何公設(shè),（1）假定從任意一點(diǎn)到任意一點(diǎn)可作一直線；（2）一條有限直線可不斷延長(zhǎng)；（3）以任意中心和半徑可以畫(huà)圓；（4）凡直角部彼此相等；（5）若一直線落在兩直線上所構(gòu)成的同旁內(nèi)角和小于兩直角，那么把兩直線無(wú)限延長(zhǎng)，它們將在同旁內(nèi)角和小于兩直角的一側(cè)相交。,,,第五公設(shè),第五公設(shè)若一直線落在兩直線上，所構(gòu)成的同旁內(nèi)角和小于兩直角，那么把兩直線無(wú)限延長(zhǎng)，它們將在同旁內(nèi)角和小于兩直角的一側(cè)相交。,因此，從古希臘時(shí)代開(kāi)始，數(shù)學(xué)家們就一直沒(méi)有放棄消除對(duì)第五公設(shè)疑問(wèn)的努力．他們或者尋求以一個(gè)比較容易接受、更加自然的等價(jià)公設(shè)來(lái)代替它，或者試圖把它當(dāng)作一條定理由其他公設(shè)、公理推導(dǎo)出來(lái)．在眾多的替代公設(shè)中，今天最常用的是,“過(guò)已知直線外一點(diǎn)能且只能作一條直線與已知直線平行”．,般將這個(gè)替代公設(shè)歸功于蘇格蘭數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家普萊菲爾JPLAYFAIR，17481819，所以有時(shí)也叫普萊菲爾公設(shè)．,歷史上第一個(gè)嘗試證明第五公設(shè)的是古希臘天文學(xué)家托勒玫PTOLEMY，約公元150作出的，后來(lái)普羅克魯斯指出托勒玫的“證明”無(wú)意中假定了過(guò)直線外一點(diǎn)只能作一條直線平行于該直線，這就是上面提到的普萊菲爾公設(shè)．,文藝復(fù)興時(shí)期對(duì)希臘學(xué)術(shù)興趣的恢復(fù)使歐洲數(shù)學(xué)家重新關(guān)注起第五公設(shè)．在17世紀(jì)研究過(guò)第五公設(shè)的數(shù)學(xué)家有沃利斯等．但每一種“證明”要么隱含了另一個(gè)與第五公設(shè)等價(jià)的假定，要么存在著其他形式的推理錯(cuò)誤．而且，這類工作中的大多數(shù)對(duì)數(shù)學(xué)思想的進(jìn)展沒(méi)有多大現(xiàn)實(shí)意義．因此，在18世紀(jì)中葉，達(dá)朗貝爾曾把平行公設(shè)的證明問(wèn)題稱為“幾何原理中的家丑”．但就在這一時(shí)期前后，對(duì)第五公設(shè)的研究開(kāi)始出現(xiàn)有意義的進(jìn)展．在這方面的代表人物是意大利數(shù)學(xué)家薩凱里、德國(guó)數(shù)學(xué)家克呂格爾和瑞士數(shù)學(xué)家蘭伯特．,薩凱里（意大利）最先使用歸謬法來(lái)證明平行公設(shè)．他在一本名叫歐幾里得無(wú)懈可擊1733的書(shū)中，從著名的“薩凱里四邊形”出發(fā)來(lái)證明平行公設(shè)．,薩凱里四邊形是一個(gè)等腰雙直角四邊形，其中∠∠，且為直角。薩凱里需要證明∠C∠D且為直角。,,薩凱里指出不用平行公設(shè)容易證明∠C∠D，并且頂角具有三種可能性并分別將它們命名為,1．直角假設(shè)∠C和∠D是直角；2．鈍角假設(shè)∠C和∠D是鈍角；3．銳角假設(shè)∠C和∠D是銳角．,可以證明，直角假設(shè)與第五公設(shè)等價(jià)．薩凱里的計(jì)劃是證明后兩個(gè)假設(shè)可以導(dǎo)致矛盾，根據(jù)歸謬法就只剩下第一個(gè)假設(shè)成立，這樣就證明了第五公設(shè)．,薩凱里在假定直線為無(wú)限長(zhǎng)的情況下，首先由鈍角假設(shè)推出了矛盾，然后考慮銳角假設(shè)，在這一過(guò)程中他獲得了一系列新奇有趣的結(jié)果，如三角形三內(nèi)角之和小于兩個(gè)直角；過(guò)給定直線外一給定點(diǎn)，有無(wú)窮多條直線不與該給定直線相交，等等．雖然這些結(jié)果實(shí)際上并不包含任何矛盾，但薩凱里認(rèn)為它們太不合情理，便以為自己導(dǎo)出了矛盾而判定銳角假設(shè)是不真實(shí)的．,薩凱里的工作激發(fā)了數(shù)學(xué)家們進(jìn)一步的思考．1763年，克呂格爾（德國(guó)）在其博士論文中首先指出薩凱里的工作實(shí)際上并未導(dǎo)出矛盾，只是得到了似乎與經(jīng)驗(yàn)不符的結(jié)論．克呂格爾是第一位對(duì)平行公設(shè)能否由其他公理加以證明表示懷疑的數(shù)學(xué)家．他的見(jiàn)解啟迪蘭伯特（瑞士）對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行了更加深入的探討．,1766年，蘭伯特寫(xiě)出了平行線理論一書(shū)，在這本書(shū)中，他也像薩凱里那樣考慮了一個(gè)四邊形，不過(guò)他是從一個(gè)三直角四邊形出發(fā)，按照第四個(gè)角是直角、鈍角還是銳角作出了三個(gè)假設(shè)．由于鈍角假設(shè)導(dǎo)致矛盾，所以他很快就放棄了它．與薩凱里不同的是，蘭伯特并不認(rèn)為銳角假設(shè)導(dǎo)出的結(jié)論是矛盾，而且他認(rèn)識(shí)到一組假設(shè)如果不引起矛盾的話，就提供了一種可能的幾何．因此，蘭伯特最先指出了通過(guò)替換平行公設(shè)而展開(kāi)新的無(wú)矛盾的幾何學(xué)的道路．,,薩凱里、克呂格爾和蘭伯特等，都可以看成是非歐幾何的先行者．然而，當(dāng)他們走到了非歐幾何的門檻前，卻由于各自不同的原因或則卻步后退如薩凱里在證明了一系列非歐幾何的定理后卻宣布“歐幾里得無(wú)懈可擊”，或則徘徊不前蘭伯特（瑞士）在生前對(duì)是否發(fā)表自己的結(jié)論一直躊躇不定，平行線理論一書(shū)是他死后由朋友發(fā)表的．,突破具有兩千年根基的歐氏幾何傳統(tǒng)的束縛，需要更高大的巨人，這樣的時(shí)機(jī)在19世紀(jì)初逐漸成熟，并且也像解析幾何、微積分的創(chuàng)立一樣，這樣的人物出現(xiàn)了不止一位．對(duì)非歐幾何來(lái)說(shuō)，他們是高斯、波約JBOLYAI，18021860和羅巴切夫斯基NILOBACHEVSKY,17931856．,下見(jiàn)希爾伯特的評(píng)價(jià)。,,,希爾伯特說(shuō)“19世紀(jì)最富有啟發(fā)性和最值得注意的成就是非歐幾里得幾何的發(fā)現(xiàn)?！?92非歐幾何的誕生,前面講過(guò)，在非歐幾何正式建立之前，它的技術(shù)性內(nèi)容已經(jīng)被大量地推導(dǎo)出來(lái)．但最先認(rèn)識(shí)到非歐幾何是一種邏輯上相容并且可以描述物質(zhì)空間、像歐氏幾何一樣正確的新幾何學(xué)的是高斯．,高斯,高斯（JOHANNCARLFRIEDRICHGAUSS）（1777年1855年），生于不倫瑞克，卒于哥廷根，德國(guó)著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家、大地測(cè)量學(xué)家。高斯的成就遍及數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，在數(shù)論、非歐幾何、微分幾何、超幾何級(jí)數(shù)、復(fù)變函數(shù)論以及橢圓函數(shù)論等方面均有開(kāi)創(chuàng)性貢獻(xiàn)。他十分注重?cái)?shù)學(xué)的應(yīng)用，并且在對(duì)天文學(xué)、大地測(cè)量學(xué)和磁學(xué)的研究中也偏重于用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行研究。,非歐幾何的誕生,“非歐幾何”的名稱來(lái)源于高斯。他從1799年開(kāi)始意識(shí)到平行公設(shè)不能由其他公理推出，并從1813年起發(fā)展了這種平行公設(shè)在其中不成立的新幾何。,非歐幾何的誕生,為了驗(yàn)證“非歐幾何”應(yīng)用的可能性，他實(shí)際測(cè)量了由三座山峰構(gòu)成的三角形，此三角形的三邊分別為69，85與109公里。他發(fā)現(xiàn)其內(nèi)角和比1800大了近15〞。,從高斯的遺稿中可以了解到，他從1799年開(kāi)始意識(shí)到平行公設(shè)不能從其他的歐幾里得公理推出來(lái)，并從1813年起發(fā)展了這種平行公設(shè)在其中不成立的新幾何．他起先稱之為“反歐幾里得幾何”，最后改稱為“非歐幾里得幾何”，所以“非歐幾何”這個(gè)名稱正是來(lái)自高斯．,但他除了在給朋友的一些信件中對(duì)其非歐幾何的思想有所透露外，高斯生前并沒(méi)有發(fā)表過(guò)任何關(guān)于非歐幾何的論著．這主要是因?yàn)樗械阶约旱陌l(fā)現(xiàn)與當(dāng)時(shí)流行的康德空間哲學(xué)相抵觸，擔(dān)心世俗的攻擊．他曾在給貝塞爾PWBESSEL的一封信中說(shuō)如果他公布自己的這些發(fā)現(xiàn)，“黃蜂就會(huì)圍著耳朵飛”，并會(huì)“引起波哀提亞人特指有世俗偏見(jiàn)的愚人的叫囂”．,當(dāng)聲譽(yù)甚隆的高斯決定將自己的發(fā)現(xiàn)秘而不宣時(shí)，一位尚名不見(jiàn)經(jīng)傳的匈牙利青年波約卻急切地希望通過(guò)高斯的評(píng)價(jià)而將自己關(guān)于非歐幾何的研究公諸于世，波約的父親F波約是高斯的朋友，也是一位數(shù)學(xué)家．,1832年2月14日，F(xiàn)波約將他兒子的一篇題為絕對(duì)空間的科學(xué)的26頁(yè)文章寄給高斯，這篇文章也作為F．波約剛剛完成的一本數(shù)學(xué)著作的附錄而發(fā)表，其中論述的所謂“絕對(duì)幾何”就是非歐幾何．F．波約請(qǐng)高斯對(duì)他兒子的論文發(fā)表意見(jiàn)。,波約,匈牙利數(shù)學(xué)家波約,“稱贊他即J波約就等于稱贊我自己．整篇文章的內(nèi)容，您兒子所采取的思路和獲得的結(jié)果，與我在30至35年前的思考不謀而合．”,J波約對(duì)高斯的答復(fù)深感失望，認(rèn)為高斯想剽竊自己的成果．1840年俄國(guó)數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基關(guān)于非歐幾何的德文著作出版后，更使J波約灰心喪氣，從此便不再發(fā)表數(shù)學(xué)論文，而他的父親倒很開(kāi)通，安慰他說(shuō)“春天的紫羅蘭在各處盛開(kāi)．”,然而高斯回信說(shuō),在非歐幾何的三位發(fā)明人中，只有羅巴切夫斯基最早、最系統(tǒng)地發(fā)表了自己的研究成果，并且也是最堅(jiān)定地宣傳和捍衛(wèi)自己的新思想的一位。他先是于1826年在喀山大學(xué)發(fā)表了簡(jiǎn)要論述平行線定理的一個(gè)嚴(yán)格證明的演講，報(bào)告了自己關(guān)于非歐幾何的發(fā)現(xiàn)，而后又在1829年發(fā)表了題為論幾何原理的論文，這是歷史上第一篇公開(kāi)發(fā)表的非歐幾何文獻(xiàn)。,,,羅巴切夫斯基,羅巴切夫斯基,羅巴切夫斯基,,羅巴切夫斯基1792年生于俄國(guó)下諾伏哥羅德（今高爾基城），1807年進(jìn)入喀山大學(xué)，1811年畢業(yè)并獲碩士學(xué)位。羅巴切夫斯基畢業(yè)后留校任職，歷任教授助理、非常任教授、常任教授、物理數(shù)學(xué)系主任，35歲被任命為校長(zhǎng)。1846年以后任喀山學(xué)區(qū)副督學(xué)，直至逝世。如果沒(méi)有羅氏幾何學(xué)，羅巴切夫斯基只能算一個(gè)優(yōu)秀的科學(xué)與教育管理者。,羅巴切夫斯基后來(lái)為發(fā)展、闡釋這種新幾何學(xué)而付出了畢生心血．他生前發(fā)表了許多論著，其中18351838年間的系列論文具有完備的平行線理論的新幾何學(xué)原理較好地表述了他的思想，而1840年用德文出版的平行理論的幾何研究則引起高斯的關(guān)注，這使他在1842年成為德國(guó)哥廷根科學(xué)協(xié)會(huì)會(huì)員．,羅巴切夫斯基非歐幾何的基本思想與高斯、波約是一致的，即用與歐幾里得第五公設(shè)相反的斷言通過(guò)直線外一點(diǎn)，可以引不止一條而至少是兩條直線平行于已知直線，作為替代公設(shè)，由此出發(fā)進(jìn)行邏輯推導(dǎo)而得出一連串新幾何學(xué)的定理．羅巴切夫斯基明確指出，這些定理并不包含矛盾，因而它的總體就形成了一個(gè)邏輯上可能的、無(wú)矛盾的理論，這個(gè)理論就是一種新的幾何學(xué)非歐幾里得幾何學(xué)．,設(shè)給定了直線和直線外一點(diǎn)，從引的垂直線．按照羅巴切夫斯基的基本假設(shè)，至少存在兩條直線，通過(guò)點(diǎn)且不與直線相交注意圖形在這里只起輔助理解的作用，羅氏論證的并不是我們普通平面上所作的圖．,,羅巴切夫斯基考慮所有過(guò)不與相交的直線的極限情形，指出這樣的極限直線有兩條與，并證明了它們也不與相交．因此，與，便構(gòu)成了所有不與相交的直線的邊界，在這兩條邊界直線所成夾角內(nèi)的所有直線都不與相交．,,羅巴切基稱與為的“平行線”，而落在角口內(nèi)的所有直線叫不相交直線．如果按不相交即平行的意義理解，那么羅巴切夫斯基的幾何里，過(guò)直線外一點(diǎn)就可以引無(wú)窮多條直線與給定的直線平行．,,,,若把平行角記作，則時(shí)，就得到歐氏平行公設(shè)．若，則單調(diào)增加且趨于；而時(shí)，單調(diào)減少且趨于0．換句話說(shuō)，如果在離直線很遠(yuǎn)處作與此直線垂線很小夾角的直線，那么我們可以沿著這條“傾斜”的直線前進(jìn)而永遠(yuǎn)不與直線相遇,,羅巴切夫斯基還將夾角的一半稱為“平行角”，因小于兩直角，故平行角小于直角．羅巴切夫斯基發(fā)現(xiàn)，平行角是點(diǎn)到直線的距離的函數(shù)．,用歐氏幾何的眼光來(lái)看，羅巴切夫斯基幾何還有許多令人驚奇的結(jié)果，我們只能舉一些例子，如,1．三角形三內(nèi)角之和小于兩直角，假如三角形變大，使它所有三條高都無(wú)限增長(zhǎng)，則它的三個(gè)內(nèi)角全部趨向于零；,2．不存在面積任意大的三角形；,3．如果兩個(gè)三角形的三個(gè)角相等，它們就全等；,4．圓周長(zhǎng)不與半徑成正比，而是更迅速地增長(zhǎng)，并符合下面的公式,其中是依賴于長(zhǎng)度單位的常數(shù)．利用的級(jí)數(shù)展開(kāi)又可以得到,,因此，常數(shù)越大，就越小，上述公式就越接近于普通歐氏幾何中的圓周長(zhǎng)公式．這只是一個(gè)例子，說(shuō)明羅巴切夫斯基幾何在極限情形下就變成歐幾里得幾何．,,,羅巴切夫斯基還發(fā)展了非歐三角學(xué)，得出一系列三角公式，主要有,93非歐幾何的發(fā)展與確認(rèn),德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼BRIEMANN，18261866在1854年發(fā)展了羅巴切夫斯基等人的思想而建立了一種更廣泛的幾何，即現(xiàn)在所稱的黎曼幾何．羅巴切夫斯基幾何以及歐氏幾何都只不過(guò)是這種幾何的特例．,,黎曼非歐幾何,黎曼18261866）德國(guó)著名數(shù)學(xué)家。1846年，進(jìn)入哥廷根大學(xué)學(xué)神學(xué)，后在數(shù)學(xué)家的影響下，放棄神學(xué)改學(xué)數(shù)學(xué)，有幸成為高斯晚年的學(xué)生。獲博士后留校。,黎曼（18261866）,黎曼的研究是以高斯關(guān)于曲面的內(nèi)蘊(yùn)微分幾何為基礎(chǔ)的．內(nèi)蘊(yùn)微分幾何也是19世紀(jì)幾何學(xué)的重大發(fā)展之一．我們知道，在蒙日等人開(kāi)創(chuàng)的微分幾何中，曲面是在歐氏空間內(nèi)考察的，但高斯1828年發(fā)表的論文關(guān)于曲面的一般研究則提出了一種全新的觀念，即一張曲面本身就構(gòu)成一個(gè)空間．它的許多性質(zhì)如曲面上的距離、角度、總曲率是等并不依賴于背景空間，這種以研究曲面內(nèi)在性質(zhì)為主的微分幾何稱為“內(nèi)蘊(yùn)微分幾何”．,黎曼非歐幾何,1854年發(fā)表就職演說(shuō)關(guān)于幾何基礎(chǔ)的假設(shè)（1868年發(fā)表），其中建立了黎曼空間概念，創(chuàng)立了黎曼幾何學(xué)的基礎(chǔ)。主要思想（1）區(qū)分了無(wú)界域無(wú)限的概念；（2）對(duì)歐幾里得的公設(shè)1、2、5作了如下修改1）兩個(gè)不同的點(diǎn)至少確定一條直線；2）直線是無(wú)界的；3）平面上任何兩條直線都相交。,在他1854年發(fā)表的題為關(guān)于幾何基礎(chǔ)的假設(shè)的演講中，黎曼將高斯關(guān)于歐氏空間中曲面的內(nèi)蘊(yùn)幾何推廣為任意空間的內(nèi)蘊(yùn)幾何．他把維空間稱作一個(gè)流形，維流形中的一個(gè)點(diǎn)，可以用個(gè)參數(shù)的一組特定值來(lái)表示，這些參數(shù)就叫作流形的坐標(biāo)．,黎曼幾何，為愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論提供了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。,,黎曼從定義兩個(gè)鄰近點(diǎn)的距離出發(fā)，假定這個(gè)微小距離的平方是一個(gè)二次微分齊式,,其中是坐標(biāo)的函數(shù)，，并且上式右邊總?cè)≌担@個(gè)表達(dá)式后來(lái)以“黎曼度量”著稱．,在此基礎(chǔ)上，黎曼又定義了曲線的長(zhǎng)度，兩曲線在一點(diǎn)的交角等，所有這些度量性質(zhì)都是僅由表達(dá)式中的系數(shù)確定的．,黎曼還引進(jìn)了流形曲率的概念．在黎曼幾何中，最重要的一種對(duì)象就是所謂的常曲率空間即在每一點(diǎn)上曲率都相等的流形，對(duì)于三維空間，有以下三種情形,1．曲率為正常數(shù)；2．曲率為負(fù)常數(shù)；3．曲率恒等于零．,黎曼指出后兩種情形分別對(duì)應(yīng)于羅巴切夫斯基的非歐幾何學(xué)和通常的歐氏幾何學(xué)，而第一種情形則是黎曼本人的創(chuàng)造，它對(duì)應(yīng)于另一種非歐幾何學(xué)．在這種幾何中，過(guò)已知直線外一點(diǎn)，不能作任何平行于該給定直線的直線．這實(shí)際上是以前面提到的薩凱里等人的鈍角假設(shè)為基礎(chǔ)而展開(kāi)的非歐幾何學(xué)．,在黎曼之前，從薩凱里到羅巴切夫斯基，都認(rèn)為鈍角假設(shè)與直線可以無(wú)限延長(zhǎng)的假定矛盾，因而取消了這個(gè)假設(shè)．但黎曼區(qū)分了“無(wú)限”與“無(wú)界”這兩個(gè)概念，認(rèn)為直線可以無(wú)限延長(zhǎng)并不意味著就其長(zhǎng)短而言是無(wú)限的，只不過(guò)是說(shuō)，它是無(wú)端的或無(wú)界的．可以證明，在對(duì)無(wú)限與無(wú)界概念作了區(qū)分以后，人們?cè)阝g角假設(shè)下也可像在銳角假設(shè)下一樣，無(wú)矛盾地展開(kāi)一種幾何．這第二種非歐幾何，也叫正常曲率曲面上的黎曼幾何。,,作為區(qū)別，數(shù)學(xué)史文獻(xiàn)上就把羅巴切夫斯基發(fā)現(xiàn)的非歐幾何叫作羅巴切夫斯基幾何．普通球面上的幾何就是黎曼非歐幾何，其上的每個(gè)大圓可以看成是一條“直線”．容易看出，任意球面“直線”都不可能永不相交。,黎曼可以說(shuō)是最先理解非歐幾何全部意義的數(shù)學(xué)家．他創(chuàng)立的黎曼幾何不僅是對(duì)已經(jīng)出現(xiàn)的非歐幾何羅巴切夫斯基幾何的承認(rèn)，而且顯示了創(chuàng)造其他非歐幾何的可能性。,,黎曼也是現(xiàn)代數(shù)學(xué)史上最具創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)家之一．他1826年出生在德國(guó)一個(gè)牧師家庭，由于家庭環(huán)境的影響，黎曼最初進(jìn)人哥廷根大學(xué)時(shí)學(xué)的是神學(xué)和哲學(xué)，但不久他就喜歡上了數(shù)學(xué)。在征得父親同意后，黎曼將數(shù)學(xué)選定為自己的專業(yè)．然而經(jīng)過(guò)一年后，他發(fā)現(xiàn)哥廷根大學(xué)開(kāi)設(shè)的數(shù)學(xué)課程過(guò)于陳舊，甚至連高斯也在講初等的課程，,黎曼（德國(guó)）,黎曼,,于是他決定去柏林隨雅可比、狄利克雷DIRICHLET等數(shù)學(xué)家學(xué)習(xí)．1849年，黎曼重返哥廷根在高斯指導(dǎo)下做博士論文，題目為單復(fù)變函數(shù)一般理論基礎(chǔ)．,黎曼（德國(guó)）,結(jié)果，這篇論文得到了高斯的贊賞，他以少有的激情給作者寫(xiě)了如下評(píng)語(yǔ),“黎曼先生提交的博士論文提供了可信的證據(jù)，表明作者對(duì)他的論文所涉及的主題進(jìn)行了全面、深入的研究，顯示了一個(gè)具有創(chuàng)造力的、活躍的、真正數(shù)學(xué)的頭腦以及了不起的富有成果的獨(dú)創(chuàng)性．”,不幸的是，黎曼正值他的創(chuàng)造高峰時(shí)因感染上肺結(jié)核而去世，死時(shí)還不到40歲．黎曼在他短暫的一生中，對(duì)于幾何、分析和物理學(xué)的眾多領(lǐng)域都作了開(kāi)創(chuàng)性的貢獻(xiàn)．有數(shù)學(xué)家評(píng)論說(shuō)“黎曼是一個(gè)富有想象的天才，他的想法即使沒(méi)有證明，也鼓舞了整整一個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)家．”,黎曼,1826年9月17日，黎曼生于德國(guó)北部漢諾威的布雷塞倫茨村，父親是一個(gè)鄉(xiāng)村的窮苦牧師。他六歲開(kāi)始上學(xué)，14歲進(jìn)入大學(xué)預(yù)科學(xué)習(xí)，19歲按其父親的意愿進(jìn)入哥廷根大學(xué)攻讀哲學(xué)和神學(xué)，以便將來(lái)繼承父志也當(dāng)一名牧師。由于從小酷愛(ài)數(shù)學(xué)，黎曼在學(xué)習(xí)哲學(xué)和神學(xué)的同時(shí)也聽(tīng)些數(shù)學(xué)課。當(dāng)時(shí)的哥廷根大學(xué)是世界數(shù)學(xué)的中心之一，黎曼被這里的數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)研究的氣氛所感染，決定放棄神學(xué)，專攻數(shù)學(xué)。1847年，黎曼轉(zhuǎn)到柏林大學(xué)學(xué)習(xí)，成為雅可比、狄利克萊、施泰納、艾森斯坦的學(xué)生。1849年重回哥廷根大學(xué)攻讀博士學(xué)位，成為高斯晚年的學(xué)生。,1851年，黎曼獲得數(shù)學(xué)博士學(xué)位；1859年接替去世的狄利克雷被聘為教授。因長(zhǎng)年的貧困和勞累，黎曼在1862年婚后不到一個(gè)月就開(kāi)始患胸膜炎和肺結(jié)核，其后四年的大部分時(shí)間在意大利治病療養(yǎng)。1866年7月20日病逝于意大利，終年39歲。黎曼是世界數(shù)學(xué)史上最具獨(dú)創(chuàng)精神的數(shù)學(xué)家之一。黎曼的著作不多，但卻異常深刻，極富于對(duì)概念的創(chuàng)造與想象。黎曼在其短暫的一生中為數(shù)學(xué)的眾多領(lǐng)域作了許多奠基性、創(chuàng)造性的工作，為世界數(shù)學(xué)建立了豐功偉績(jī)。,黎曼,19世紀(jì)70年代以后，意大利數(shù)學(xué)家貝爾特拉米EBELTRAMI、德國(guó)數(shù)學(xué)家克萊因FKLEIN和法國(guó)數(shù)學(xué)家龐加萊HPOINCARE等人先后在歐幾里得空間中給出了非歐幾何的直觀模型，從而揭示出非歐幾何的現(xiàn)實(shí)意義．至此，非歐幾何才真正獲得了廣泛的理解．,,非歐幾何的模型,1）貝爾特拉米（EBELTRAMI,18351899）模型；2）克萊因（FKELLER，18491925）模型；3）龐加萊（HPOINCARE,18541912）模型。4）球面幾何模型,,,貝爾特拉米非歐幾何模型,偽球面,,,克萊因非歐幾何模型,,,龐加萊模型,龐加萊，曾被認(rèn)為是“數(shù)學(xué)領(lǐng)域的最后一個(gè)奇才。,謝謝,

簡(jiǎn)介：,,分析時(shí)代,第七章,第七章分析時(shí)代,微積分的創(chuàng)立，被譽(yù)為“人類精神的最高勝利”（恩格斯）．在18世紀(jì)，微積分進(jìn)一步深入發(fā)展，這種發(fā)展與廣泛的應(yīng)用緊密交熾在一起，刺激和推動(dòng)了許多數(shù)學(xué)新分支的產(chǎn)生，從而形成了“分析”這樣一個(gè)在觀念和方法上都具有鮮明特點(diǎn)的數(shù)學(xué)領(lǐng)域．在數(shù)學(xué)史上，18世紀(jì)可以說(shuō)是分析的時(shí)代，也是向現(xiàn)代數(shù)學(xué)過(guò)渡的重要時(shí)期．,,英國(guó)早期作出重要貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家有泰勒、麥克勞林、棣莫弗、斯特林等。麥克勞林之后，英國(guó)數(shù)學(xué)陷入了長(zhǎng)期停滯的狀態(tài)．微積分發(fā)明權(quán)的爭(zhēng)論滋長(zhǎng)了不列顛數(shù)學(xué)家的民族保守情緒，使他們不能擺脫牛頓微積分學(xué)說(shuō)中弱點(diǎn)的束縛．,7118世紀(jì)的數(shù)學(xué)家,711泰勒和麥克勞林,英格蘭數(shù)學(xué)家泰勒BROOKTAYLOR,16851731做過(guò)英國(guó)皇家學(xué)會(huì)秘書(shū)．他在1715年出版的正的和反的增量方法一書(shū)中，陳述了他早在1712年就已獲得的著名定理,,泰勒公式使任意單變量函數(shù)展為冪級(jí)數(shù)成為可能，是微積分進(jìn)一步發(fā)展的有力武器．但泰勒對(duì)該定理的證明很不嚴(yán)謹(jǐn)，也沒(méi)有考慮級(jí)數(shù)的收斂性．,泰勒公式在時(shí)的特殊情形后來(lái)被愛(ài)丁堡大學(xué)教授麥克勞林重新得到，現(xiàn)代微積分教科書(shū)中一直把X0時(shí)的泰勒級(jí)數(shù)稱為“麥克勞林級(jí)數(shù)”．,麥克勞林COLINMACLAURIN,16981746,蘇格蘭是牛頓微積分學(xué)說(shuō)的竭力維護(hù)者，他在這方面的代表性著作流數(shù)論（1742），以純熟卻難讀的幾何語(yǔ)言論證流數(shù)方法，試圖從“若干無(wú)例外的原則”出發(fā)嚴(yán)密推演牛頓的流數(shù)論，這是使微積分形式化的努力，但因囿于幾何傳統(tǒng)而并不成功．,麥克勞林是一位數(shù)學(xué)上的奇才。他11歲就考上了格林斯哥大學(xué)。15歲取得碩士學(xué)位，并且為自己關(guān)于重力的功的論文作了杰出的公開(kāi)答辯。19歲就主持阿伯丁的馬里沙學(xué)院數(shù)學(xué)系，并于21歲發(fā)表其第一本重要著作構(gòu)造幾何。他27歲成為愛(ài)丁堡大學(xué)數(shù)學(xué)教授的代理或助理。,他關(guān)于流數(shù)的論文是在他44歲只在死前4年發(fā)表的，這是麥克勞林為了答復(fù)英國(guó)哲學(xué)家、牧師伯克萊對(duì)微積分學(xué)原理的攻擊而寫(xiě)的，也是牛頓流數(shù)法的第一篇符合邏輯的、系統(tǒng)的解說(shuō)。,,麥克勞林級(jí)數(shù),712伯努利家族,在數(shù)學(xué)和科學(xué)的歷史上最著名的家族之一是瑞士伯努利家族從十七世紀(jì)末葉以來(lái)，這個(gè)非凡的瑞士家族在三代時(shí)間里生出了八個(gè)數(shù)學(xué)家其中三個(gè)是杰出的，他們又生出了在許多領(lǐng)域里嶄露頭角的成群后代．,這個(gè)家族的記錄開(kāi)始于雅各布伯努利16541705和約翰伯努利16671748兄弟。他們都是萊布尼茨忠實(shí)的學(xué)生與朋友．他們的工作，構(gòu)成了現(xiàn)今所謂初等微積分的大部分內(nèi)容．,,,雅各布伯努利對(duì)數(shù)學(xué)的主要貢獻(xiàn)是,△發(fā)表過(guò)無(wú)窮級(jí)數(shù)的論文,△研究過(guò)許多特殊曲線,△推導(dǎo)出平面曲線的曲率半徑公式,△引入伯努利數(shù),△發(fā)明極坐標(biāo),△提出概率論中的伯努利定理或大數(shù)定律,雅各布伯努利從小喜愛(ài)科學(xué)，但父親執(zhí)意要他學(xué)神學(xué)，于是一有機(jī)會(huì)他便盡早放棄了神學(xué)。他自學(xué)了牛頓和萊布尼茲的微積分，從1687年起直到去世任巴塞耳BASEL大學(xué)數(shù)學(xué)教授．,雅格布伯努利瑞，16541705,約翰的著作，內(nèi)容很廣泛，它包括,△與反射和折射有聯(lián)系的光學(xué)問(wèn)題,△曲線族的正交軌線的確定,△用級(jí)數(shù)求曲線的長(zhǎng)和區(qū)域的面積,△解析三角學(xué),△最速降線問(wèn)題和等時(shí)線問(wèn)題,比起哥哥來(lái)，弟弟約翰伯努利更是一位多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家。他原來(lái)也錯(cuò)選了職業(yè)，起先學(xué)醫(yī)，并在1694年獲巴塞耳大學(xué)博士學(xué)位，論文是關(guān)于肌肉收縮問(wèn)題的．受哥哥的影響，他也愛(ài)上了微積分，并很快就掌握了它，用它來(lái)解決幾何學(xué)、微分方程和力學(xué)上的許多問(wèn)題．1695年，他任荷蘭格羅寧根GRONINGEN大學(xué)數(shù)學(xué)物理學(xué)教授，而在他哥哥雅各布死后繼任巴塞耳大學(xué)教授．,約翰伯努利瑞，16671748,約翰之子丹尼爾伯努利DANIELBERNOULLI，1700一1782，起初也像他父親一樣學(xué)醫(yī)，寫(xiě)了一篇關(guān)于肺的作用的論文獲得醫(yī)學(xué)學(xué)位，并且也像他父親一樣馬上放棄原業(yè)而改攻他天生的專長(zhǎng)，成為彼得堡的數(shù)學(xué)教授．1733年他回巴塞耳，先后任植物學(xué)、解剖學(xué)與物理學(xué)的教授．他獲得法蘭西科學(xué)院的10項(xiàng)獎(jiǎng)．,他在多年內(nèi)發(fā)表了物理學(xué)、概率論、微積分和微分方程方面的許多著作,△提出倫理道德方面的數(shù)學(xué)期望的概念,△寫(xiě)過(guò)關(guān)于潮汐的論文,△建立了空氣動(dòng)力學(xué)理論，,△提出流體動(dòng)力學(xué)原理,△研究了弦振動(dòng),許多人認(rèn)為他是第一位真正的數(shù)學(xué)物理學(xué)家。,第一個(gè)把牛頓和萊布尼茨的微積分思想連接起來(lái)的人,713歐拉,18世紀(jì)微積分最重大的進(jìn)步是由歐拉LEONARDEULER，瑞士,17071783作出的．,瑞士法郎上的歐拉,18世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家、分析的化身、“數(shù)學(xué)家之英雄”,,圣彼得堡科學(xué)院17271741,17661783柏林科學(xué)院174117661748年無(wú)窮小分析引論、1755年微分學(xué)原理、17681770年積分學(xué)原理最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家、歐拉全集84卷李善蘭譯的代數(shù)學(xué)（1859）等著作記載了歐拉的學(xué)說(shuō)“讀讀歐拉，他是我們大家的老師”“四杰”阿基米德、牛頓、歐拉、高斯,歐拉瑞士,17071783,微積分史上里程碑式的著作,△1748年出版的無(wú)限小分析引論,△1755年發(fā)表的微分學(xué),△17681770發(fā)表積分學(xué)，共3卷,它們?cè)诤荛L(zhǎng)時(shí)間里被當(dāng)作分析課本的典范而普遍使用著。這三部著作包含了歐拉本人在分析領(lǐng)域的大量創(chuàng)造，同時(shí)引進(jìn)了一批標(biāo)準(zhǔn)的符號(hào)如,一函數(shù)符號(hào)∑一求和號(hào)一自然對(duì)數(shù)底一虛數(shù)號(hào),歐拉出生于瑞士巴塞爾一個(gè)牧師家庭，13歲就進(jìn)入巴塞爾大學(xué)，數(shù)學(xué)老師是約翰伯努利．,,伯努利后來(lái)在給歐拉的一封信中這樣贊許自己這位學(xué)生在分析方面的青出于蘭“我介紹高等分析時(shí)，它還是個(gè)孩子，而您正在將它帶大成人．”,歐拉主要的科學(xué)生涯是在俄國(guó)圣彼得堡科學(xué)院17271741；17661783和德國(guó)柏林科學(xué)院17411766度過(guò)的．,,,歐拉是歷史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家．他生前發(fā)表的著作與論文有560余種，死后留下了大量手稿．歐拉自己說(shuō)他未發(fā)表的論文足夠彼得堡科學(xué)院用上20年，結(jié)果是直到1862年即他去世80年后，彼得堡科學(xué)院院報(bào)上還在刊登歐拉的遺作．1911年瑞士自然科學(xué)協(xié)會(huì)開(kāi)始出版歐拉全集，現(xiàn)已出版70多卷，計(jì)劃出齊84卷，都是大四開(kāi)本．歐拉從18歲開(kāi)始創(chuàng)作，到76歲逝世，因此單是收進(jìn)全集的這些文稿，歐拉平均每天就要寫(xiě)約15頁(yè)大四開(kāi)紙的東西，而歐拉還有不少手稿在1771年的彼得堡大火中化為灰燼．,歐拉28歲左眼失明，56歲雙目失明，他完全是依靠驚人的記憶和心算能力進(jìn)行研究與寫(xiě)作．,1783年9月的一天，歐拉在與同事討論了天王星軌道計(jì)算以后疾病發(fā)作，喃喃自語(yǔ)道“我要死了”如巴黎科學(xué)院秘書(shū)孔多塞M．CONDORCET形容的那樣，他“停止了計(jì)算，也停止了生命．”,714克萊洛和達(dá)朗貝爾,克萊洛CLAUDEALEXISCLAIRAUT,L7131765是數(shù)學(xué)上的神童，11歲就寫(xiě)了一篇關(guān)于三次曲線的論文。這篇早年的論文和以后的一篇關(guān)于空間撓曲線的微分幾何的奇妙論文，使他未到法定的年齡18歲就獲得法國(guó)科學(xué)院的席位。,達(dá)朗貝爾法,17171783,自學(xué)成才，進(jìn)入巴黎科學(xué)院院士、終身秘書(shū)17511757年與狄德羅17131784共同主編百科全書(shū)“科學(xué)處于17世紀(jì)的數(shù)學(xué)時(shí)代到18世紀(jì)的力學(xué)時(shí)代，力學(xué)應(yīng)該是數(shù)學(xué)家的主要興趣?！眲?dòng)力學(xué)、數(shù)學(xué)手冊(cè)數(shù)學(xué)分析的重要開(kāi)拓者之一，其成就僅次于歐拉、拉格朗日、拉普拉斯和丹尼爾伯努利,伯樂(lè),達(dá)朗貝爾對(duì)青年科學(xué)家十分熱情，他非常支持青年科學(xué)家研究工作，也愿意在事業(yè)上幫助他們。他曾推薦著名科學(xué)家拉格朗日到普魯士科學(xué)院工作，推薦著名科學(xué)家拉普拉斯到巴黎科學(xué)院工作。達(dá)朗貝爾自己也經(jīng)常與青年科學(xué)家進(jìn)行學(xué)術(shù)討論，從中發(fā)現(xiàn)并引導(dǎo)他們的科學(xué)思想發(fā)展。在十八世紀(jì)的法國(guó)，達(dá)朗貝爾不僅燦爛了科學(xué)事業(yè)的今天，也照亮了科學(xué)事業(yè)的明天。,晚年,達(dá)朗貝爾的日常生活非常簡(jiǎn)單，白天工作，晚上去沙龍活動(dòng)。他終生未婚，但有一位患難與共、生死相依的情人沙龍女主人勒皮納斯。達(dá)朗貝爾與養(yǎng)父母感情一直很好，直到1765年他47歲時(shí)才因病離開(kāi)養(yǎng)父母，住到了勒皮納斯家里，病愈后他一直居住在她的家里?？墒窃谝院蟮娜兆永锼谑聵I(yè)上進(jìn)展緩慢，更使他悲痛欲絕的是勒皮納斯小姐于1776年去世了。在絕望中達(dá)朗貝爾度過(guò)了自己的晚年，1783年10月29日卒于巴黎。由于達(dá)朗貝爾生前反對(duì)宗教，巴黎市政府拒絕為他舉行葬禮。所以當(dāng)這位科學(xué)巨匠離開(kāi)這個(gè)世界的時(shí)候，既沒(méi)有隆重的葬禮、也沒(méi)有緬懷的追悼，只有他一個(gè)人被安靜的埋葬在巴黎市郊的墓地里。,達(dá)朗貝爾JEANLERONDD’ALEMBERT，17171783和克萊洛一樣，出生于巴黎，死于巴黎。但兩人卻是常不友好的、科學(xué)上的對(duì)手。達(dá)朗貝爾原是某貴婦的私生子，出生后被拋棄在巴黎一教堂旁，被一對(duì)窮苦的玻璃匠夫婦收養(yǎng)并接受教育。達(dá)朗貝爾24歲被接納到法國(guó)科學(xué)院，后竟成為巴黎科學(xué)院院士和終身秘書(shū)．,△1743年發(fā)表了他的動(dòng)力學(xué)論著,△1744年寫(xiě)了一篇關(guān)于流體的平衡和運(yùn)動(dòng)的論文,△1746年寫(xiě)了一篇關(guān)于風(fēng)的起因的論文,△1747年寫(xiě)了一篇關(guān)于振動(dòng)弦的論文,在這些文章中，達(dá)朗貝爾導(dǎo)出了偏微分方程，這使他成為研究這種方程的先驅(qū)。,拉格朗日法,17361813,數(shù)學(xué)、力學(xué)和天文學(xué)中都有重大歷史性貢獻(xiàn)，分析學(xué)中僅次于歐位的最大開(kāi)拓者，論著超過(guò)500篇1754年18歲發(fā)現(xiàn)萊布尼茨公式1755年任數(shù)學(xué)教授都靈時(shí)期175417661788年分析力學(xué)柏林時(shí)期176617871797年解析函數(shù)論巴黎時(shí)期17871813分析力學(xué)的創(chuàng)立者、天體力學(xué)的奠基者1799年伯爵，1813年帝國(guó)大十字勛章,715拉格朗日,,拉格朗日J(rèn)OSEPHLOUISLAGRANGE，17361813出生于意大利的都靈。19歲就被任命為都靈炮兵學(xué)校數(shù)學(xué)教授。歐拉和達(dá)朗貝爾力薦他到柏林科學(xué)院任職。1766年當(dāng)歐拉離開(kāi)柏林時(shí)，弗雷德里克大帝在寫(xiě)給拉格朗日的信中說(shuō)“歐洲最偉大的國(guó)王”希望有“歐洲最偉大的數(shù)學(xué)家”在他宮里。拉格朗日接受了這個(gè)邀請(qǐng)，擔(dān)任歐拉辭去的職位達(dá)二十年。,在離開(kāi)柏林幾年之后，拉格朗日接受了新建立的高等師范學(xué)院的教授職位，后來(lái)又到高等工藝學(xué)院任教授。第一個(gè)學(xué)校是短命的，而第二個(gè)學(xué)校在數(shù)學(xué)史上是著名的，因?yàn)楝F(xiàn)代法蘭西的大數(shù)學(xué)家們中有許多在這里受過(guò)教育，而且有許多在這里當(dāng)過(guò)教授。,拉格朗日,拉格朗日的著作對(duì)后來(lái)的數(shù)學(xué)研究有很深的影響，因?yàn)樗钦J(rèn)識(shí)到分析的基礎(chǔ)處于完全不能令人滿意的狀態(tài)，從而試圖使微積分嚴(yán)謹(jǐn)化的最早的第一流數(shù)學(xué)家。今天用得很普遍的記號(hào),就起源于拉格朗日。,拉格朗日嗜好數(shù)論，在這個(gè)領(lǐng)域中也寫(xiě)了幾篇重要的論文。他在方程論方面的早期工作，使伽羅瓦后來(lái)有可能提出他的群論。,歐拉寫(xiě)得過(guò)于細(xì)并且隨便憑借直觀，而拉格朗日寫(xiě)得簡(jiǎn)明并且謀求嚴(yán)格。他在風(fēng)格上是“現(xiàn)代的”，堪稱第一個(gè)真正的分析家。拿破侖與他那個(gè)時(shí)代的許多法國(guó)大數(shù)學(xué)家很親近，他對(duì)拉格朗日總的評(píng)價(jià)是,“拉格朗日是數(shù)學(xué)科學(xué)方面的高聳的金字塔。”,716拉普拉斯和勒讓德,拉普拉斯和勒讓德是拉格朗日的同時(shí)代的人，雖然他們的主要著作發(fā)表于十九世紀(jì)。,拉普拉斯PIERRESIMONLAPLACE，174918271749年出生于法國(guó)諾曼底地區(qū)的一個(gè)貧窮的家庭。他的數(shù)學(xué)才能使他較早獲得好的教學(xué)職位。他在天體力學(xué)、概率論、微分方程和測(cè)地學(xué)領(lǐng)域內(nèi)，都做了杰出的工作。他寫(xiě)了兩部不朽的著作,,△天體力學(xué)（5卷，17991825）,△概率的解析理論（1812）,五卷天體力學(xué)使他贏得了“法蘭西的牛頓”的稱號(hào)。,拉普拉斯,拉普拉斯對(duì)數(shù)學(xué)物理的影響是巨大的．通常認(rèn)為他偏愛(ài)應(yīng)用而對(duì)純粹數(shù)學(xué)不感興趣．美國(guó)天文學(xué)家鮑迪奇，在他把拉普拉斯的論著譯成英文時(shí)指出,“每當(dāng)我遇到拉普拉斯在書(shū)中說(shuō)‘顯然可知’時(shí)，我就知道該花好多小時(shí)的冥思苦想去補(bǔ)充其脫節(jié)之處并確實(shí)證明它是多么顯然可知。”,但拉普拉斯有自己的想法．他在概率的解析理論“緒論”中曾這樣寫(xiě)道,“分析和自然哲學(xué)中最重大的發(fā)現(xiàn)都應(yīng)歸功于這種豐富多產(chǎn)的方法，也就是所謂的‘歸納’方法．牛頓二項(xiàng)式定理和萬(wàn)有引力原理就是歸納法的成果”．,與18世紀(jì)的其他數(shù)學(xué)家相比，拉普拉斯更醉心于發(fā)現(xiàn)結(jié)果而淡出證明。不過(guò)無(wú)論如何，數(shù)學(xué)在他心目中有特殊的地位，因?yàn)樗f(shuō)過(guò)“一切自然現(xiàn)象都是少數(shù)不變定律的數(shù)學(xué)推論”．,拉普拉斯的名字是與宇宙起源的星云學(xué)說(shuō)、勢(shì)論的所謂拉普拉斯方程分不開(kāi)的，雖然這兩項(xiàng)貢獻(xiàn)沒(méi)有項(xiàng)是起源于拉普拉斯的。他的名字與拉普拉斯變換和行列式的拉普拉斯展開(kāi)式，也是分不開(kāi)的。,拉普拉斯曾得到達(dá)朗貝爾的幫助當(dāng)上了巴黎軍事學(xué)校數(shù)學(xué)教授，后來(lái)與拉格朗日LAGRANGE和勒讓德LEGENDRE并稱“巴黎三L”．拉普拉斯是一個(gè)政治上的機(jī)會(huì)主義者，在法國(guó)革命動(dòng)蕩不定的日子里，無(wú)論哪個(gè)黨偶然得勢(shì)，他都去逢迎。1827年逝世，正好是牛頓死后100年。據(jù)說(shuō)留下的遺言是,“我們知道的，是很微小的；我們不知道的，是無(wú)限的．”,勒讓德ADRIENMARIELEGENDRE，17521833以其很通俗的幾何學(xué)基本原理在初等數(shù)學(xué)史上為人們熟知。在其中他試圖以精心排列和簡(jiǎn)化許多命題來(lái)對(duì)歐幾里得原本作教學(xué)方法上的改進(jìn)。勒讓德在高等數(shù)學(xué)方面的主要工作集中在數(shù)論，橢圓函數(shù)、最小二乘法和積分上。,勒讓德的名字，今天是與二階微分方程,聯(lián)系在一起的，這在應(yīng)用數(shù)學(xué)上是相當(dāng)重要的。滿足此微分方程的函數(shù)被稱作勒讓德函數(shù)。這種方程，當(dāng)為非負(fù)整數(shù)時(shí)，有特別有趣的所謂勒讓德多項(xiàng)式的多項(xiàng)式解。,717蒙日,蒙日GASPARDMONGE，17461818是一位幾何學(xué)者，16歲就在里昂學(xué)院任物理學(xué)講師。1768年，蒙日在梅齊埃爾擔(dān)任數(shù)學(xué)教授，1771年還在那里擔(dān)任物理學(xué)教授；1780年被任命為巴黎利瑟姆動(dòng)力學(xué)講座教授；1795年高等工藝學(xué)校建立，他首任校長(zhǎng)，還在那里擔(dān)任數(shù)學(xué)教授。他在那里開(kāi)設(shè)的畫(huà)法幾何課，聽(tīng)課人數(shù)每次多達(dá)400余人。,除了創(chuàng)造射影幾何之外，蒙日還被認(rèn)為是微分幾何之父。他寫(xiě)的分析在幾何學(xué)上的應(yīng)用出了五版，是曲面微分幾何最重要的早期論著之一。,蒙日不象三個(gè)LLAGRANGE，LAPLACE和LEGENDRE那樣避開(kāi)法國(guó)革命，蒙日是支持法國(guó)革命的。他擔(dān)任過(guò)革命政府的海軍部長(zhǎng)，并且參加了為軍隊(duì)制造武器和火藥的工作。曾簽署了處決路易十六的報(bào)告書(shū)。王政復(fù)辟后，蒙日被剝奪了一切職務(wù)，不久謝世。,他與拿破侖有親密的友誼，是拿破侖軍營(yíng)中最有威信的科學(xué)參謀。他與數(shù)學(xué)家傅立葉JOSEPHFOURIER，17681831一道隨拿破侖進(jìn)行倒霉的1798年的埃及遠(yuǎn)征?；氐椒▏?guó)后，蒙日繼續(xù)擔(dān)任他在高等工藝學(xué)院的職位，在那里他被證明是一位非凡的、天才的教師。他的演講啟發(fā)了許多后來(lái)有才能的幾何學(xué)者,72微積分的發(fā)展,18世紀(jì)這些數(shù)學(xué)家雖然不像牛頓、萊布尼茨那樣創(chuàng)立了微積分，但他們?cè)谖⒎e分發(fā)展史上同樣功不可沒(méi)，假如沒(méi)有他們的奮力開(kāi)發(fā)與仔細(xì)耕耘，牛頓和萊布尼茨草創(chuàng)的微積分領(lǐng)地就不可能那樣春色滿園，相反也許會(huì)變得荒蕪凋零．以下概要論述這一時(shí)期微積分深入發(fā)展的幾個(gè)主要方面．,一積分技術(shù)與橢圓積分,18世紀(jì)數(shù)學(xué)家們以高度的技巧，將牛頓和萊布尼茨的無(wú)限小算法施行到各類不同的函數(shù)上，不僅發(fā)展了微積分本身，而且作出了許多影響深遠(yuǎn)的新發(fā)現(xiàn)．在這方面，積分技術(shù)的推進(jìn)尤為明顯．,約翰伯努利和歐拉在他們的論著中使用變量代換和部分分式等方法求出了許多困難的積分，這些方法已經(jīng)成為今天微積分教科書(shū)中求函數(shù)積分的常用方法．,當(dāng)18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們考慮無(wú)理函數(shù)的積分時(shí)，他們就在自己面前打開(kāi)了一片新天地，因?yàn)樗麄儼l(fā)現(xiàn)許多這樣的積分不能用已知的初等函數(shù)來(lái)表示．例如雅各布伯努利在求雙紐線（）弧長(zhǎng)時(shí)，得到弧長(zhǎng)積分,,在天文學(xué)中很重要的橢圓弧長(zhǎng)計(jì)算則引導(dǎo)到積分,歐拉在1744年處理彈性問(wèn)題時(shí)也得到積分,,所有這些積分都屬于后來(lái)所說(shuō)的“橢圓積分”的范疇，它們既不能用代數(shù)函數(shù)，也不能用通常的初等超越函數(shù)如三角函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等表示出來(lái)．橢圓積分的一般形式是,,其中是的有理函數(shù)，則是一般的四次多項(xiàng)式．,,勒讓德后來(lái)將所有的橢圓積分歸結(jié)為三種基本形式．對(duì)橢圓函數(shù)的一般研究在19世紀(jì)20年代被阿貝爾和雅可比CGJACOBI，18041851分別獨(dú)立地從反演的角度發(fā)展為深刻的橢圓函數(shù)理論．,二微積分向多元函數(shù)的推廣,雖然微積分的創(chuàng)立者已經(jīng)接觸到了偏微商和重積分的概念，但將微積分算法推廣到多元函數(shù)而建立偏導(dǎo)數(shù)理論和多重積分理論的主要是18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家．,1720年，尼古勞斯伯努利NICOLAUSBERNOULLIⅡ證明了函數(shù)在一定條件下，對(duì)求偏導(dǎo)數(shù)其結(jié)果與求導(dǎo)順序無(wú)關(guān)，即相當(dāng)于有,歐拉在1734年的一篇文章中也證明了同樣的事實(shí)．在此基礎(chǔ)上，歐拉在一系列的論文中發(fā)展了偏導(dǎo)數(shù)理論．,達(dá)朗貝爾在1743年的著作動(dòng)力學(xué)和1747年關(guān)于弦振動(dòng)的研究中，也推進(jìn)了偏導(dǎo)數(shù)演算．不過(guò)當(dāng)時(shí)一般都用同一個(gè)記號(hào)D表示通常導(dǎo)數(shù)與偏導(dǎo)數(shù)，專門的偏導(dǎo)數(shù)記號(hào),多重積分實(shí)際上已包含在牛頓關(guān)于萬(wàn)有引力的計(jì)算中，但牛頓使用了幾何論述．在18世紀(jì)，牛頓的工作被人以分析的形式推廣．1748年歐拉用累次積分算出了表示一厚度為的橢圓薄片對(duì)其中心正上方一質(zhì)點(diǎn)的引力的重積分,,到19世紀(jì)40年代才由雅可比在其行列式理論中正式創(chuàng)用并逐漸普及。,到1770年左右，歐拉已經(jīng)能給出計(jì)算二重定積分的一般程序．而拉格朗日在關(guān)于旋轉(zhuǎn)橢球的引力的著作中，用三重積分表示引力，并開(kāi)始了多重積分變換的研究．,,三無(wú)窮級(jí)數(shù)理論,微積分的發(fā)展與無(wú)窮級(jí)數(shù)的研究密不可分．牛頓在他的流數(shù)論中自由運(yùn)用無(wú)窮級(jí)數(shù)，他憑藉二項(xiàng)式定理得到了和等許多函數(shù)的級(jí)數(shù)．泰勒級(jí)數(shù)則提供了將函數(shù)展成無(wú)窮級(jí)數(shù)的一般方法．在18世紀(jì)，各種初等函數(shù)的級(jí)數(shù)展開(kāi)陸續(xù)得到，并在解析運(yùn)算中被普遍用來(lái)代表函數(shù)而成為微積分的有力工具．,雅各布伯努利在16891704年間撰寫(xiě)了5篇關(guān)于無(wú)窮級(jí)數(shù)的論文，使他成為當(dāng)時(shí)這一領(lǐng)域的權(quán)威，這些論文的主題也是關(guān)于函數(shù)的級(jí)數(shù)表示及其在求函數(shù)的微分與積分、求曲線下的面積和曲線長(zhǎng)等方面的應(yīng)用．這些構(gòu)成了雅各布伯努利對(duì)微積分算法的重要貢獻(xiàn)．,就級(jí)數(shù)理論本身而言，其中一個(gè)很有啟發(fā)性的工作是關(guān)于調(diào)和級(jí)數(shù),的和是無(wú)窮的證明．伯努利首先指出了,故有,這意味著可將原級(jí)數(shù)中的項(xiàng)分組并使每一組的和都大于1，于是我們總可以得到調(diào)和級(jí)數(shù)的有限多項(xiàng)的和，使它大于任何給定的量．,它相當(dāng)于,其中的叫做“伯努利數(shù)”。利用它可以作的近似計(jì)算。當(dāng)很大時(shí)，,調(diào)和級(jí)數(shù)的討論引起了對(duì)發(fā)散級(jí)數(shù)的興趣并產(chǎn)生了許多重要的結(jié)果，特別是利用發(fā)散級(jí)數(shù)而獲得的一些著名的數(shù)值逼近公式．例如，斯特林在1730年得到一個(gè)發(fā)散的級(jí)數(shù)表示,除了調(diào)和級(jí)數(shù)，當(dāng)時(shí)引起熱烈辯論的另一類發(fā)散級(jí)數(shù)是,雅各布伯努利在1696年的論文中作如下推理,當(dāng)時(shí)得到,但另一方面,伯努利稱這些互相矛盾的結(jié)果為“有趣的悖論”．,1703年，意大利數(shù)學(xué)家格蘭弟GGRANDI通過(guò)的級(jí)數(shù)展開(kāi)又重新發(fā)現(xiàn)這一悖論在級(jí)數(shù),中令，得,格蘭弟稱之為“無(wú)中生有．”,這類發(fā)散級(jí)數(shù)悖論刺激了人們對(duì)無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂性的思考。18世紀(jì)先后出現(xiàn)了一些級(jí)數(shù)收斂判別法則．如萊布尼茨變號(hào)級(jí)數(shù)收斂定理1713；麥克勞林積分判別法1742；達(dá)朗貝爾級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂判別法1754，等等．,四函數(shù)概念的深化,18世紀(jì)微積分發(fā)展的一個(gè)歷史性轉(zhuǎn)析，是將函數(shù)放到了中心的地位，而以往數(shù)學(xué)家們都以曲線作為微積分的主要對(duì)象．這一轉(zhuǎn)折首先也應(yīng)歸功于歐拉，歐拉在無(wú)限小分析引論中明確宣布“數(shù)學(xué)分析是關(guān)于函數(shù)的科學(xué)”，微積分被看作是建立在微分基礎(chǔ)上的函數(shù)理論。,函數(shù)概念在17世紀(jì)已經(jīng)引入，牛頓原理中提出的“生成量”就是雛形的函數(shù)概念．萊布尼茨首先使用了“函數(shù)”FUNCTION這一術(shù)語(yǔ)．他把函數(shù)看成是“像曲線上點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、切線長(zhǎng)度、垂線長(zhǎng)度等所有與曲線上的點(diǎn)有關(guān)的量”．最先將函數(shù)概念公式化的是約翰伯努利．歐拉則將伯努利的思想進(jìn)一步解析化，他在無(wú)限小分析引論中將函數(shù)定義為,“變量的函數(shù)是一個(gè)由該變量與一些常數(shù)以任何方式組成的解析表達(dá)式．”,在這一定義的基礎(chǔ)上，函數(shù)概念本身大大豐富了．歐拉在引論中明確區(qū)分了代數(shù)函數(shù)與超越函數(shù)，將超越函數(shù)看成是以無(wú)限多次算術(shù)運(yùn)算而得到的表達(dá)式，也就是說(shuō)可用無(wú)窮級(jí)數(shù)表示的函數(shù)．歐拉還區(qū)分了顯函數(shù)與隱函數(shù)、單值函數(shù)與多值函數(shù)等．通過(guò)一些積分問(wèn)題的求解，一系列新的超越函數(shù)被納入了函數(shù)的范疇．,除了上面已提到的橢圓積分外，18世紀(jì)得到的最重要的超越函數(shù)還有Γ函數(shù)、B函數(shù),這兩個(gè)函數(shù)在歐拉無(wú)限小分析引論中都有論述，但歐拉早在1730年給哥德巴赫的一封信中已經(jīng)發(fā)現(xiàn)它們．,Γ函數(shù)是歐拉用插值法將階乘概念推廣到非整數(shù)情形時(shí)得到的積分表達(dá)式，“Γ函數(shù)”的名稱及記號(hào)是勒讓德后來(lái)1811給出的．歐拉在1771年進(jìn)一步建立了這兩個(gè)函數(shù)之間的關(guān)系,Γ函數(shù)，B函數(shù)與橢圓積分等一起，是18世紀(jì)新發(fā)現(xiàn)的超越函數(shù)的重要例子，對(duì)于函數(shù)概念的拓廣多有影響．,在18世紀(jì)，已有的初等函數(shù)包括三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)則被推廣到了復(fù)數(shù)領(lǐng)域，這也是受到了積分計(jì)算的激發(fā)．因?yàn)槔绠?dāng)人們用部分分式法則來(lái)求積分,時(shí)，會(huì)導(dǎo)致形式為,的積分，其中被積式的系數(shù)有可能是復(fù)數(shù)．由于這種積分在形式上可看作是對(duì)數(shù)函數(shù)，這就引起了關(guān)于什么是復(fù)數(shù)的對(duì)數(shù)和負(fù)數(shù)的對(duì)數(shù)的探討．,1714年英國(guó)人柯茨R．COTES得到了關(guān)系,這一結(jié)果后又被歐拉獨(dú)立得到并寫(xiě)進(jìn)了無(wú)限小分析引論，引論中還發(fā)表了著名的公式,這公式現(xiàn)在也叫“棣莫弗公式”，棣莫弗在17071730年曾逐步得到了相當(dāng)于這一公式的結(jié)果。這些公式不僅使人們能正確回答什么是復(fù)數(shù)的對(duì)數(shù)，更重要的是揭示了三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)之間的深刻聯(lián)系而形成了初等函數(shù)的統(tǒng)一理論．,五微積分嚴(yán)格化的嘗試,牛頓和萊布尼茨的微積分是不嚴(yán)格的，特別在使用無(wú)限小概念上的隨意與混亂,這使他們的學(xué)說(shuō)從一開(kāi)始就受到懷疑和批評(píng)．,1695年，荷蘭物理學(xué)家紐汶蒂BNIEUWENTYT在其著作無(wú)限小分析中指責(zé),牛頓的流數(shù)術(shù)敘述“模糊不清”，萊布尼茨的高階微分“缺乏根據(jù)”,最令人震憾的抨擊是來(lái)自英國(guó)哲學(xué)家、牧師伯克萊，伯克萊GBERKELEY，168517531734年擔(dān)任克羅因在今愛(ài)爾蘭境內(nèi)主教的伯克萊，發(fā)表了一本小冊(cè)子分析學(xué)家，或致一位不信神的數(shù)學(xué)家，副題中“不信神的數(shù)學(xué)家”是指曾幫助牛頓出版原理的哈雷EHALEY．伯克萊在書(shū)中認(rèn)為當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家們,以歸納代替演繹，沒(méi)有為他們的方法提供合法性證明．,他集中攻擊牛頓流數(shù)論中關(guān)于無(wú)限小量的混亂假設(shè)，例如在首末比方法中，為了求冪的流數(shù)，牛頓假設(shè)有一個(gè)增量O，并以它去除增量得,O,然后又讓O“消失”，得到的流數(shù)。伯克萊指出這里關(guān)于增量O的假設(shè)前后矛盾，是“分明的詭辯”．他譏諷地問(wèn)道,“這些消失的增量究竟是什么呢它們既不是有限量，也不是無(wú)限小，又不是零，難道我們不能稱它們?yōu)橄帕康墓砘陠帷?分析學(xué)家的主要矛頭是牛頓的流數(shù)術(shù)，但對(duì)萊布尼茨的微積分也同樣竭力非難，認(rèn)為其中的正確結(jié)論，是從錯(cuò)誤的原理出發(fā)通過(guò)“錯(cuò)誤的抵消”而獲得．,,伯克萊主教（愛(ài)爾蘭，1985）,伯克萊對(duì)微積分學(xué)說(shuō)的攻擊主要是出于宗教的動(dòng)機(jī)，目的是要證明,流數(shù)原理并不比基督教義“構(gòu)思更清楚”、“推理更明白”．,但他的許多批評(píng)是切中要害的，在客觀上揭露了早期微積分的邏輯缺陷，刺激了數(shù)學(xué)家們?yōu)榻⑽⒎e分的嚴(yán)格基礎(chǔ)而努力．,為了回答伯克萊的攻擊，在英國(guó)本土產(chǎn)生了許多為牛頓流數(shù)論辯護(hù)的著述，其中以前面已提到的麥克勞林流數(shù)論最為典型，但所有這些辯護(hù)都因堅(jiān)持幾何論證而顯得軟弱無(wú)力．歐洲大陸的數(shù)學(xué)家們則力圖以代數(shù)化的途徑來(lái)克服微積分基礎(chǔ)的困難．在18世紀(jì)，這方面的代表人物是達(dá)朗貝爾、歐拉和拉格朗日．,達(dá)朗貝爾在他為科學(xué)，藝術(shù)和工藝百科全書(shū)撰寫(xiě)的“微分”DIFFERENTIEL，1754等條目中，討論他所謂的“微分演算的形而上學(xué)”，即微分學(xué)的基礎(chǔ)。他在這里發(fā)展了牛頓的首末比方法，但用極限概念代替了含糊的“最初比”與“最終比”。,達(dá)朗貝爾定義量的極限為，如果“量可任意逼近，這就是說(shuō)，與之間的差可任意小”．他指出微分演算“僅僅在于從代數(shù)上確定我們已通過(guò)線段來(lái)表達(dá)的比的極限”，并認(rèn)為“這也許是關(guān)于微分學(xué)的最精確、最簡(jiǎn)潔的定義”。,歐拉在微分學(xué)中提出了關(guān)于無(wú)限小的不同階零的理論，歐拉認(rèn)為無(wú)限小就是零，但卻存在著“不同階的零”，也就是不同階的無(wú)限小，而“無(wú)限小演算只不過(guò)是不同無(wú)限小量的幾何比的研究．”他斷言如果采取了這種觀點(diǎn)，“在這門崇高的科學(xué)中，我們就完全能保持最高度的數(shù)學(xué)嚴(yán)格性”。,拉格朗日則在解析函數(shù)論1797一書(shū)中，主張用泰勒級(jí)數(shù)來(lái)定義導(dǎo)數(shù)，以此作為整個(gè)微分、積分演算的出

簡(jiǎn)介：中國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展,魏、晉時(shí)期出現(xiàn)的玄學(xué)，不為漢儒經(jīng)學(xué)束縛，思想比較活躍；它詰辯求勝，又能運(yùn)用邏輯思維，分析義理，這些都有利于數(shù)學(xué)從理論上加以提高。吳國(guó)趙爽注周髀算經(jīng)，漢末魏初徐岳撰九章算術(shù)注，魏末晉初劉徽撰九章算術(shù)注、九章重差圖都是出現(xiàn)在這個(gè)時(shí)期。趙爽與劉徽的工作為中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系奠定了理論基礎(chǔ)。,劉徽,中國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展,趙爽是中國(guó)古代對(duì)數(shù)學(xué)定理和公式進(jìn)行證明與推導(dǎo)的最早的數(shù)學(xué)家之一。他在周髀算經(jīng)書(shū)中補(bǔ)充的“勾股圓方圖及注”和“日高圖及注”是十分重要的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)。在“勾股圓方圖及注”中他提出用弦圖證明勾股定理和解勾股形的五個(gè)公式；在“日高圖及注”中，他用圖形面積證明漢代普遍應(yīng)用的重差公式，趙爽的工作是帶有開(kāi)創(chuàng)性的，在中國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)展中占有重要地位。,中國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展,劉徽約與趙爽同時(shí)，他繼承和發(fā)展了戰(zhàn)國(guó)時(shí)期名家和墨家的思想，主張對(duì)一些數(shù)學(xué)名詞特別是重要的數(shù)學(xué)概念給以嚴(yán)格的定義，認(rèn)為對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)必須進(jìn)行“析理”，才能使數(shù)學(xué)著作簡(jiǎn)明嚴(yán)密，利于讀者。他的九章算術(shù)注不僅是對(duì)九章算術(shù)的方法、公式和定理進(jìn)行一般的解釋和推導(dǎo)，而且在論述的過(guò)程中有很大的發(fā)展。劉徽創(chuàng)造割圓術(shù)，利用極限的思想證明圓的面積公式，并首次用理論的方法算得圓周率為157/50和3927/1250。,中國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展,劉徽用無(wú)窮分割的方法證明了直角方錐與直角四面體的體積比恒為21，解決了一般立體體積的關(guān)鍵問(wèn)題。在證明方錐、圓柱、圓錐、圓臺(tái)的體積時(shí)，劉徽為徹底解決球的體積提出了正確途徑。,中國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展,東晉以后，中國(guó)長(zhǎng)期處于戰(zhàn)爭(zhēng)和南北分裂的狀態(tài)。祖沖之父子的工作就是經(jīng)濟(jì)文化南移以后，南方數(shù)學(xué)發(fā)展的具有代表性的工作，他們?cè)趧⒒兆⒕耪滤阈g(shù)的基礎(chǔ)上，把傳統(tǒng)數(shù)學(xué)大大向前推進(jìn)了一步。他們的數(shù)學(xué)工作主要有計(jì)算出圓周率在31415926～31415927之間；提出祖暅原理；提出二次與三次方程的解法等。,中國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展,據(jù)推測(cè)，祖沖之在劉徽割圓術(shù)的基礎(chǔ)上，算出圓內(nèi)接正6144邊形和正12288邊形的面積，從而得到了這個(gè)結(jié)果。他又用新的方法得到圓周率兩個(gè)分?jǐn)?shù)值，即約率22/7和密率355/113。祖沖之這一工作，使中國(guó)在圓周率計(jì)算方面，比西方領(lǐng)先約一千年之久；,中國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展,祖沖之之子祖暅總結(jié)了劉徽的有關(guān)工作，提出“冪勢(shì)既同則積不容異”，即等高的兩立體，若其任意高處的水平截面積相等，則這兩立體體積相等，這就是著名的祖暅公理。祖暅應(yīng)用這個(gè)公理，解決了劉徽尚未解決的球體積公式。,中國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展,隋煬帝大興土木，客觀上促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。唐初王孝通的緝古算經(jīng)，主要討論土木工程中計(jì)算土方、工程分工、驗(yàn)收以及倉(cāng)庫(kù)和地窖的計(jì)算問(wèn)題，反映了這個(gè)時(shí)期數(shù)學(xué)的情況。王孝通在不用數(shù)學(xué)符號(hào)的情況下，立出數(shù)字三次方程，不僅解決了當(dāng)時(shí)社會(huì)的需要，也為后來(lái)天元術(shù)的建立打下基礎(chǔ)。此外，對(duì)傳統(tǒng)的勾股形解法，王孝通也是用數(shù)字三次方程解決的。,中國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展,唐初統(tǒng)治者繼承隋制，656年在國(guó)子監(jiān)設(shè)立算學(xué)館，設(shè)有算學(xué)博士和助教，學(xué)生30人。由太史令李淳風(fēng)等編纂注釋算經(jīng)十書(shū)，作為算學(xué)館學(xué)生用的課本，明算科考試亦以這些算書(shū)為準(zhǔn)。李淳風(fēng)等編纂的算經(jīng)十書(shū)，對(duì)保存數(shù)學(xué)經(jīng)典著作、為數(shù)學(xué)研究提供文獻(xiàn)資料方面是很有意義的。他們給周髀算經(jīng)、九章算術(shù)以及海島算經(jīng)所作的注解，對(duì)讀者是有幫助的。隋唐時(shí)期，由于歷法的需要，天算學(xué)家創(chuàng)立了二次函數(shù)的內(nèi)插法，豐富了中國(guó)古代數(shù)學(xué)的內(nèi)容。,中國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展,算籌是中國(guó)古代的主要計(jì)算工具，它具有簡(jiǎn)單、形象、具體等優(yōu)點(diǎn)，但也存在布籌占用面積大，運(yùn)籌速度加快時(shí)容易擺弄不正而造成錯(cuò)誤等缺點(diǎn)，因此很早就開(kāi)始進(jìn)行改革。其中太乙算、兩儀算、三才算和珠算都是用珠的槽算盤(pán)，在技術(shù)上是重要的改革。尤其是“珠算”，它繼承了籌算五升十進(jìn)與位值制的優(yōu)點(diǎn)，又克服了籌算縱橫記數(shù)與置籌不便的缺點(diǎn)，優(yōu)越性十分明顯。但由于當(dāng)時(shí)乘除算法仍然不能在一個(gè)橫列中進(jìn)行。算珠還沒(méi)有穿檔，攜帶不方便，因此仍沒(méi)有普遍應(yīng)用。,中國(guó)古代數(shù)學(xué)的發(fā)展,唐中期以后，商業(yè)繁榮，數(shù)字計(jì)算增多，迫切要求改革計(jì)算方法，從新唐書(shū)等文獻(xiàn)留下來(lái)的算書(shū)書(shū)目，可以看出這次算法改革主要是簡(jiǎn)化乘、除算法，唐代的算法改革使乘除法可以在一個(gè)橫列中進(jìn)行運(yùn)算，它既適用于籌算，也適用于珠算。,321劉徽的數(shù)學(xué)成就,隋書(shū)“律歷志”中提到“魏陳留王景元四年劉徽注九章”，由此知道劉徽是公元3世紀(jì)魏晉時(shí)人，并于公元263年撰九章算術(shù)注。九章算術(shù)注包含了劉徽本人的許多創(chuàng)造，完全可以看成是獨(dú)立的著作，奠定了這位數(shù)學(xué)家在中國(guó)數(shù)學(xué)史上的不朽地位。,劉徽數(shù)學(xué)成就中最突出的是“割圓術(shù)”和體積理論。,中國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽,劉徽（約公元225年295年），漢族，山東臨淄人，魏晉期間偉大的數(shù)學(xué)家，著有九章算術(shù)注和海島算經(jīng)等。劉徽的一生是為數(shù)學(xué)刻苦探求的一生．他雖然地位低下，但人格高尚．他不是沽名釣譽(yù)的庸人，而是學(xué)而不厭的偉人，他給我們中華民族留下了寶貴的財(cái)富。,九章算術(shù)注對(duì)數(shù)學(xué)方法的貢獻(xiàn)開(kāi)始了其獨(dú)特的推理論證的嘗試?！拔隼硪赞o，解體用圖?！眲?chuàng)立了“出入相補(bǔ)”的方法，提出了“割圓術(shù)”，上首次將極限概念用于近似計(jì)算；引入十進(jìn)制小數(shù)的記法和負(fù)整數(shù)的知識(shí)；他試圖建立球體積公式，雖然沒(méi)有成功，但為后人提供了科學(xué)的方法；他對(duì)勾股測(cè)量問(wèn)題的深入研究，在幾何研究中，從少數(shù)幾個(gè)原理出發(fā)，運(yùn)用邏輯手段推導(dǎo)出結(jié)果的方法。提出“審辨名分”，不但對(duì)自己提出的每一個(gè)新概念都給出界定九章算術(shù)注豐富了九章算術(shù)的數(shù)學(xué)成果，主要表現(xiàn)在算術(shù)、代數(shù)和幾何諸方面。諸如，割圓術(shù)與徽率“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無(wú)所失矣?！?中國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽,九章算術(shù)約成書(shū)于東漢之初，共有246個(gè)問(wèn)題的解法．在許多方面如解聯(lián)立方程，分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算，正負(fù)數(shù)運(yùn)算，幾何圖形的體積面積計(jì)算等，都屬于世界先進(jìn)之列，但因解法比較原始，缺乏必要的證明，而劉徽則對(duì)此均作了補(bǔ)充證明．在這些證明中，顯示了他在多方面的創(chuàng)造性的貢獻(xiàn)．他是世界上最早提出十進(jìn)小數(shù)概念的人，并用十進(jìn)小數(shù)來(lái)表示無(wú)理數(shù)的立方根．在代數(shù)方面，他正確地提出了正負(fù)數(shù)的概念及其加減運(yùn)算的法則；改進(jìn)了線性方程組的解法．在幾何方面，提出了“割圓術(shù)“，,古典數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展時(shí)期,（1）割圓術(shù)劉徽注九章算術(shù)方田章“圓田術(shù)”“半周半徑相乘得積步”，求圓面積時(shí)用圓周率為3。“又按為圖，以六觚之一面乘半徑，因而三之，得十二觚之冪。若又割之，次以十二觚之一面乘半徑，因而六之，則得二十四觚之冪。割之彌細(xì)，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣?！?,,,,,,,,,,,,,,,,,,劉徽在割圓術(shù)中提出的“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無(wú)所失矣“，這可視為中國(guó)古代極限觀念的佳作．,古典數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展時(shí)期,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,古典數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展時(shí)期,第一，設(shè)圓的半徑為1尺，從圓內(nèi)接正六邊形出發(fā)，倍增正多邊形的邊數(shù)，直到正96邊形，依次算出正多邊形的周長(zhǎng)和面積。第二，由正48邊形邊長(zhǎng)計(jì)算正96邊形面積。第三，找出與圓面積之間的關(guān)系，這種關(guān)系也稱劉徽不等式。,,,,,,,,,,,,,,,,,,,割圓術(shù)的基本原理,設(shè)圓面積為SO、半徑為R、圓內(nèi)接正N邊形邊長(zhǎng)為IN、周長(zhǎng)為L(zhǎng)N、面積為SN。將邊數(shù)加倍后,得到圓內(nèi)接正2N邊形，其邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)、面積分別記為L(zhǎng)2N,L2N,S2N。劉徽首先指出，由LN及勾股定理可求出L2N其次知道了圓內(nèi)接正N邊形的周長(zhǎng)LN，又可求得正2N邊形的面積，如果在圓內(nèi)接N邊形的每邊上作一高為CD的矩形，就可以證明劉徽不等式S2NSOS2NS2N－SN,徽率,從圓內(nèi)接正六邊形出發(fā)，取半徑R為1尺，一直計(jì)算到192邊形，得出圓周率的近似值Π≈314，化成分?jǐn)?shù)為157/50，這就是有名的“徽率”,古典數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展時(shí)期,,,,,,,,,,,,,,,,,,,弧田術(shù)劉徽注九章算術(shù)方田章“弧田術(shù)”“以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一?！?（二）體積理論,劉徽的面積、體積理論建立在一條簡(jiǎn)單而又基本的原理之上，這就是他所謂的“出入相補(bǔ)”原理一個(gè)幾何圖形（平面的或立體的）被分割成若干部分后，面積或體積的總和不變。,在平面的情形，劉徽成功地證明了九章算術(shù)中許多面積公式，但當(dāng)他轉(zhuǎn)向立體情形時(shí)，卻發(fā)現(xiàn)“出入相補(bǔ)”的運(yùn)用遇到了很大的困難。這里實(shí)質(zhì)性的障礙在于與平面情形不同，并不是任意兩個(gè)體積相等的立體圖形都可以剖分或拼補(bǔ)（也就是中國(guó)古代數(shù)學(xué)家所說(shuō)的“出入相補(bǔ)”）相等。,“圭田”即等腰三角形“今有圭田，廣十二步，正縱二十一步。問(wèn)為田幾何“答曰一百二十六步。術(shù)曰半廣以乘正縱。劉徽注“半廣者，以盈補(bǔ)虛為直田也。亦可半正縱以乘廣。按半廣乘縱，以取中平之?dāng)?shù)。故廣縱相乘為積步。畝法除之，即得也。”,,,劉徽?qǐng)D解,“邪田”，即直角梯形的面積“今有邪田，一頭廣三十步，一頭廣四十二步，正縱六十四步。問(wèn)為田幾何”答曰九畝一百四十四步。術(shù)曰并兩邪而半之，以乘正縱若廣。又可半正縱若廣，以并，畝法而一。即,,,,劉徽根據(jù)出入相補(bǔ)原理的圖解,“箕田”即等腰梯形“今有箕田，舌廣二十步，踵廣五步，正縱三十步。問(wèn)為田幾何”答曰一畝一百三十五步。術(shù)曰并踵舌而半之，以乘正縱。畝法而一。劉徽注“中分箕田則為兩邪田，故其術(shù)相似。又可并踵舌，半正縱以乘之”,,他在推算九章算術(shù)中的一些立體體積公式時(shí)，靈活地使用了兩種無(wú)限小方法極限方法與不可分量方法。,1陽(yáng)馬術(shù)。九章算術(shù)“商功章”陽(yáng)馬術(shù)給出陽(yáng)馬的體積公式為其三條直角邊乘積的三分之一。,劉徽從一長(zhǎng)方體出發(fā)（見(jiàn)圖），將它斜分成兩個(gè)“壍堵”，然后再斜分壍堵得到兩個(gè)立體圖形，其中一個(gè)就是陽(yáng)馬，另一個(gè)是鱉臑。,術(shù)曰“廣袤相乘，以高乘之，三而一．”,古典數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展時(shí)期,劉徽常使用四種圖形來(lái)求立體立方、塹堵、陽(yáng)馬和鱉臑,,古典數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展時(shí)期,劉徽常使用四種圖形來(lái)求立體立方、塹堵、陽(yáng)馬和鱉臑方臺(tái),,古典數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展時(shí)期,九章算術(shù)商功第15問(wèn)“今有陽(yáng)馬，廣五尺，袤七尺，高八尺。問(wèn)積幾何。答曰九十三尺少半尺。術(shù)曰廣袤相乘，以高乘之，三而一?！眲⒒兆ⅰ靶敖饬⒎降脙蓧q堵，邪解塹堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉臑，陽(yáng)馬居二，鱉臑居一，不易之率也。合兩鱉臑成一陽(yáng)馬，合三陽(yáng)馬而成一立方，故三而一?！?劉徽證明陽(yáng)馬體積與鱉臑體積之比為21,,“牟合方蓋”,在九章算術(shù)開(kāi)立圓術(shù)注中，他指出了球體積公式V9D3/16D為球直徑的不精確性，并引入了“牟合方蓋”這一著名的幾何模型,球體積牟合方蓋”是指正方體的兩個(gè)軸互相垂直的內(nèi)切圓柱體的貫交部分。牟合方蓋的性質(zhì)牟合方蓋的內(nèi)切球就是立方體的內(nèi)切球,,,,,用同一水平面去截，得到一個(gè)圓和它的外切正方形（牟合方蓋的截面）二者的關(guān)系是截面圓與其外切正方形的面積之比是從而,,,,,,劉徽在這里實(shí)際已用到了西方微積分史著作中所說(shuō)的“卡瓦列利原理”，可惜沒(méi)有將它總結(jié)為一般形式。牟合方蓋的體積怎么求呢劉徽終于未能解決。,劉徽雖然沒(méi)有推證出球體積公式，但他所創(chuàng)用的特殊形式的不可分量方法，成為后來(lái)祖沖之父子在球體積問(wèn)題上取得突破的先導(dǎo)。,劉徽九章算術(shù)注還有其他許多數(shù)學(xué)成果，特別是他在九章算術(shù)“勾股”章之后所加的一整篇文字，作為九章算術(shù)注第十卷，后來(lái)單獨(dú)刊行，稱為海島算經(jīng)。,重差術(shù),在自撰海島算經(jīng)中，他提出了重差術(shù)，采用了重表、連索和累矩等測(cè)高測(cè)遠(yuǎn)方法。他還運(yùn)用“類推衍化”的方法，使重差術(shù)由兩次測(cè)望，發(fā)展為“三望”、“四望”。而印度在7世紀(jì)，歐洲在15～16世紀(jì)才開(kāi)始研究?jī)纱螠y(cè)望的問(wèn)題。劉徽的工作，不僅對(duì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響，而且在世界數(shù)學(xué)吏上也確立了崇高的歷史地位。鑒于劉徽的巨大貢獻(xiàn)，所以不少書(shū)上把他稱作“中國(guó)數(shù)學(xué)史上的牛頓”。,見(jiàn)下面,海島算經(jīng),（4）重差術(shù)和海島算經(jīng)劉徽注釋九章算術(shù)“勾股”章的最后，補(bǔ)充重差術(shù)的九個(gè)問(wèn)題。今有望海島，立兩表，齊高三丈，前后相去千步，令后表與前表參相直。從前表卻行一百二十三步，人目著地，取望島峰，與末表參合，從后表卻行一百二十七步，人目著地，取望島峰，亦與表末參合。問(wèn)島及去表各幾何,,劉徽給出如下公式即,,,322祖沖之與祖暅,祖沖之（公元429500，如圖）活躍于南朝宋、齊兩代，出生于歷法世家，本人做過(guò)南徐州（今鎮(zhèn)江）從事史和公府參軍，都是地位不高的小官，但他卻成為歷代為數(shù)很少能名列正史的數(shù)學(xué)家之一。,中國(guó)數(shù)學(xué)家祖沖之,祖沖之（公元429年─公元500年）是我國(guó)杰出的數(shù)學(xué)家，科學(xué)家。南北朝時(shí)期人，漢族人，字文遠(yuǎn)。生于宋文帝元嘉六年，卒于齊昏侯永元二年。祖籍范陽(yáng)郡遒縣（今河北淶水縣）。為避戰(zhàn)亂，祖沖之的祖父祖昌由河北遷至江南。祖昌曾任劉宋的“大匠卿”，掌管土木工程；祖沖之的父親也在朝中做官。祖沖之從小接受家傳的科學(xué)知識(shí)。青年時(shí)進(jìn)入華林學(xué)省，從事學(xué)術(shù)活動(dòng)。一生先后任過(guò)南徐州（今鎮(zhèn)江市）從事史、公府參軍、婁縣（今昆山市東北）令、謁者仆射、長(zhǎng)水校尉等官職。其主要貢獻(xiàn)在數(shù)學(xué)、天文歷法和機(jī)械三方面。,中國(guó)數(shù)學(xué)家祖沖之,祖沖之，在世界數(shù)學(xué)史上第一次將圓周率（Π）值計(jì)算到小數(shù)點(diǎn)后七位，即31415926到31415927之間。他提出約率22/7和密率355/113，這一密率值是世界上最早提出的，比歐洲早一千多年，所以有人主張叫它“祖率”也就是圓周率的祖先。他將自己的數(shù)學(xué)研究成果匯集成一部著作，名為綴術(shù)，唐朝國(guó)學(xué)曾經(jīng)將此書(shū)定為數(shù)學(xué)課本。他編制的大明歷，第一次將“歲差”引進(jìn)歷法。提出在391年中設(shè)置144個(gè)閏月。推算出一回歸年的長(zhǎng)度為36524281481日，誤差只有50秒左右。,,他不僅是一位杰出的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家，而且還是一位杰出的機(jī)械專家。重新造出早已失傳的指南車、千里船等巧妙機(jī)械多種。此外，他對(duì)音樂(lè)也有研究。著作有釋論語(yǔ)、釋孝經(jīng)、易義、老子義、莊子義及小說(shuō)述異記等，但早已失傳。,祖沖之星,1964年11月9日為了紀(jì)念祖沖之對(duì)我國(guó)和世界科學(xué)文化作出的偉大貢獻(xiàn)，紫金山天文臺(tái)將1964年發(fā)現(xiàn)的，國(guó)際永久編號(hào)為1888的小行星命名為“祖沖之星”。,紫金山天文臺(tái),祖沖之、祖暅（1）圓周率祖沖之關(guān)于圓周率的貢獻(xiàn)記載在隋書(shū)中，隋書(shū)律歷志說(shuō)“祖沖之更開(kāi)密法，以圓徑一億為一丈，圓周盈數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒數(shù)三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正數(shù)在盈朒二限之間”。即圓周率數(shù)值的上下限密率，約率,,,,,祖沖之（429500）與祖率,據(jù)隨書(shū)律歷志記載，祖沖之求得的Π值的取值范圍為3141592Π31415927（并稱為朒、盈數(shù)）如果利用劉徽的割圓術(shù)得到上述結(jié)果，需要從正六邊形起，連續(xù)的倍增正多邊形的邊數(shù)，至24576邊形,（一）祖氏原理與球體積,曾使劉徽絞盡腦汁的球體積問(wèn)題，到祖沖之時(shí)代終于獲得解決。這一成就被記錄在九章算術(shù)“開(kāi)立圓術(shù)”李淳風(fēng)注中。,根據(jù)李淳風(fēng)的注，祖暅球體積的推導(dǎo)繼承了劉徽的路線，即從計(jì)算“牟合方蓋”體積來(lái)突破。,,取牟合方蓋的八分之一，然后考慮它與它的外切正方體所圍成的立體，并如圖Ⅰ那樣將它再剖分成三個(gè)小立體，將這三個(gè)小立體單畫(huà)出來(lái)分別如圖Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ。同時(shí)考慮一個(gè)以外切正方體上底面為底、以該正方體,,一邊為垂直邊的倒方錐（圖Ⅴ）。,祖暅推證的關(guān)鍵是以下的命題,,命題倒方錐Ⅴ的體積，等于三個(gè)小立體Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ的體積之和，因此也等于從外切正方體中挖去牟合方蓋的部分即立體Ⅰ的體積ⅤⅡⅢⅣⅠ,如果證明了命題，那么倒方錐Ⅴ的體積容易知道是（是正方體邊長(zhǎng)，也是內(nèi)切球半徑長(zhǎng)）。于是牟合方蓋八分之一的體積應(yīng)為，整個(gè)牟合方蓋體積為。,根據(jù)劉徽已經(jīng)證過(guò)的結(jié)果，應(yīng)有下列關(guān)系,祖暅原理與球體積公式,劉徽原理與“牟合方蓋”用水平截面去截球和“牟合方蓋”，可知截面的面積之比恒為Π4，于是由劉徽原理立即得到V球V牟Π4即V球（Π/4）V牟。,“小方蓋差”與球體積公式,左圖，小牟合方蓋中，PQ是小牟合方蓋被水平截平面得到正方形的一邊，設(shè)為A，UQ是球半徑R，UP是高H。根據(jù)勾股定理得A2R2–H2這正是截平面PQRS的面積中圖，小方蓋差在等高處的截面面積等于R2－A2H2，右圖，底邊為R，高也是R的倒正四棱錐，在等高處的截面面積也是H2,根據(jù)祖暅原理可知小方蓋差和倒立正四棱錐的體積相等。,設(shè)則有，由勾股定理，，故,但在高H處倒方錐V的截面積顯然也等于。,這就是說(shuō)，在任一相同的高處立體I（注意在方體中已挖去牟合方蓋部分）的截面積都與倒方錐V的截面積相等。,這時(shí)祖暅提出了一條原理說(shuō)“冪勢(shì)既同，則積不容異”。應(yīng)用這一原理，命題的證明不言而喻。,至于關(guān)鍵命題的證明，祖暅考察在高H處的水平截面，如圖所示容易看出三個(gè)小立方體Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ的截面積ASQP,CTQR與BSQT合并在一起應(yīng)等于正方體截面積ABCD與牟合方蓋部分的截面積PQRD之差，即,概言之，祖暅推導(dǎo)幾何圖形體積公式的方法是以下列兩條原理為基礎(chǔ),（1）出入相補(bǔ)原理；,（2）祖氏原理冪勢(shì)既同，則積不容異。,祖氏原理在西方文獻(xiàn)中稱“卡瓦列利原理”，1635年意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利BCAVALIERI獨(dú)立提出，對(duì)微積分的建立有重要影響。,劉徽和祖沖之父子的工作，思想是很深刻的，它們反映了魏晉南北朝時(shí)代中國(guó)古典數(shù)學(xué)中出現(xiàn)的論證傾向，以及這種傾向所達(dá)到的高度。祖沖之父子的方法都記載在綴術(shù)中。綴術(shù)在隋、唐時(shí)期曾與九章算術(shù)一起被列為官學(xué)教科書(shū)，但隋書(shū)﹒律歷志中已說(shuō)“學(xué)官莫能究其深?yuàn)W”了綴術(shù)于公元10世紀(jì)在中國(guó)本土完全失傳。,中國(guó)數(shù)學(xué)家祖暅,祖沖之的兒子祖暅，也是一位杰出的數(shù)學(xué)家，他繼承他父親的研究，創(chuàng)立了球體體積的正確算法。在天文方面，他也能繼承父業(yè)。小時(shí)習(xí)學(xué)家傳的學(xué)業(yè)，深入研究的十分精細(xì)，也有靈巧的心思。技藝達(dá)到神妙的境地，就是古代傳說(shuō)中的魯班和倕（傳說(shuō)為舜時(shí)的巧匠）這樣的巧匠也難以超過(guò)他。他曾著天文錄三十卷，天文錄經(jīng)要訣一卷，可惜這些書(shū)都失傳了。他父親制定的大明歷，就是經(jīng)他三次向梁朝政府建議，才被正式采用的。他還制造過(guò)記時(shí)用的漏壺造得很準(zhǔn)確，并且作過(guò)一部漏刻經(jīng)。,中國(guó)數(shù)學(xué)家祖暅,祖沖之與他的兒子祖暅一起，用巧妙的方法解決了球體體積的計(jì)算。他們當(dāng)時(shí)采用的一條原理是“冪勢(shì)既同，則積不容異?！币饧次挥趦善叫衅矫嬷g的兩個(gè)立體，被任一平行于這兩平面的平面所截，如果兩個(gè)截面的面積恒相等，則這兩個(gè)立體的體積相等。在西方被稱為“卡瓦列利原理”，但這是在祖沖之以后一千多年才由意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利（CAVALIERI）發(fā)現(xiàn)的。,祖暅之子祖皓,暅之子皓，志節(jié)慷慨，有文武才略。少傳家業(yè)，善算歷。大同中為江都令，后拜廣陵太守（相當(dāng)于現(xiàn)在的警備區(qū)司令）。祖皓在一次戰(zhàn)爭(zhēng)中失利而亡。南史記載“城陷，皓見(jiàn)執(zhí)，被縛射之，箭遍體，然后車裂以徇。城中無(wú)少長(zhǎng)，皆埋而射之?！庇忠晃辉跀?shù)學(xué)上有天才、有才能的人才，白白為了皇家送了命。,注祖沖之的孫子祖皓，也傳家學(xué)，擅長(zhǎng)歷算。只可惜，南朝梁武帝末年降將侯景叛亂，到處燒殺掠奪，祖皓被殺，祖氏科學(xué)世家，被亂臣覆滅了。,茍全性命于亂世，不求聞達(dá)于諸侯。諸葛亮,生于亂世,323算經(jīng)十書(shū),隋唐時(shí)期中國(guó)數(shù)學(xué)發(fā)展的兩件大事是數(shù)學(xué)教育制度的建立和數(shù)學(xué)典籍的整理。,7世紀(jì)初，隋代開(kāi)始在國(guó)子監(jiān)中設(shè)立“算學(xué)”，并“置博士、助教、學(xué)生等員”，這是中國(guó)封建教育中數(shù)學(xué)?？平逃恼囟?。唐代不僅沿襲了“算學(xué)制度”，而且還在科舉考試中開(kāi)設(shè)了數(shù)學(xué)科目，叫“明算科”，考試及第者也可做官，不過(guò)只授予最低官階。,“算學(xué)”制度及明算開(kāi)科都需要適用的教科書(shū)，唐高宗親自下令對(duì)以前的十部數(shù)學(xué)著作進(jìn)行注疏整理。受詔負(fù)責(zé)這項(xiàng)工作的是李淳風(fēng)（約604672），公元656年編成以后，成為國(guó)學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書(shū)，稱“十部算經(jīng)”或“算經(jīng)十書(shū)”。這十部算經(jīng)分別是,周髀算經(jīng)、九章算術(shù)、海島算經(jīng)、孫子算經(jīng)、張邱建算經(jīng)、夏侯陽(yáng)算經(jīng)、五曹算經(jīng)、五經(jīng)算術(shù)、綴術(shù)和緝古算經(jīng)。,其中綴術(shù)在唐、宋之交失傳以后，宋代刊刻的算經(jīng)十書(shū)中便以南北朝時(shí)期北周人甄鸞所著數(shù)術(shù)記遺來(lái)替補(bǔ)。甄鸞也是五曹算經(jīng)、五經(jīng)算術(shù)的作者。,（一）孫子算經(jīng)與“物不知數(shù)”問(wèn)題,孫子算經(jīng)作者不詳，大約是公元4世紀(jì)的作品，全書(shū)3卷，卷上有今天僅存的中國(guó)籌算法則的記載。,孫子算經(jīng)最著稱于世的是卷下的“物不知數(shù)問(wèn)題”“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問(wèn)物幾何”,這相當(dāng)于求解一次同余組,答曰二十三．術(shù)曰三三數(shù)之剩二，置一百四十，五五數(shù)之剩三，置六十三，七七數(shù)之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十減之，即得．凡三三數(shù)之剩一，則置七十，五五數(shù)之剩一，則置二十一，七七數(shù)之剩一，則置十五，即得．”,孫子算經(jīng)給出的答數(shù)是符合條件的最小正數(shù)解，“物不知數(shù)”題術(shù)文指示了解題方法，列成算式就是,孫子算經(jīng)還說(shuō)明對(duì)任意余數(shù)，只要將算式中的2，3，2換成，并調(diào)整105的系數(shù)就行了。這是今天關(guān)于一次同余組一般解法的剩余定理的特殊形式。孫子問(wèn)題引導(dǎo)了宋代秦九韶求解一次同余組的一般算法“大衍求一術(shù)”?，F(xiàn)代文獻(xiàn)中往往把求解一次同余組的剩余定理稱為“中國(guó)剩余定理”，或直稱“孫子定理”。,古典數(shù)學(xué)的形成與發(fā)展時(shí)期,明代程大位算法統(tǒng)宗三人同行七十稀，五樹(shù)梅花廿一枝。七子團(tuán)圓正月半，除百零五便得知。宋代周密志雅堂雜鈔卷下“鬼谷算”三歲孩兒七十稀，五留廿一事尤奇。七度上元重相會(huì)，寒食清明便可知。,孫子算經(jīng)孫子算經(jīng)全書(shū)共3卷，其中的算題趣味性較強(qiáng)，著名的“雉兔同籠”、“獸禽同籠”、“望九隄”等問(wèn)題。“雉兔同籠”問(wèn)題今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雉兔各幾何,,,孫子算經(jīng)卷下第26題，“物不知數(shù)”問(wèn)題今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問(wèn)物幾何“三、三數(shù)之剩二，置一百四十；五、五數(shù)之剩三，置六十三；七、七數(shù)之剩二，置三十。并之，得二百三十三。以二百一十減之，即得。凡三、三數(shù)之剩一，則置七十；五、五數(shù)之剩一，則置二十一；七、七數(shù)之剩一，則置十五。一百六以上，以一百五減之，即得?！睂O子算經(jīng)給出解答是,,,,（二）張邱建算經(jīng)和“百雞問(wèn)題”,張邱建算經(jīng)三卷，據(jù)考大約成書(shū)于公元466485年間，作者張邱建是北魏時(shí)人．張邱建算經(jīng)卷下最后一題通常稱“百雞問(wèn)題”,“今有雞翁一，直錢五；雞母一，直錢三；雞雛三，直錢一．凡百錢買雞百只．問(wèn)雞翁、母、雛各幾何”,張邱建算經(jīng)張邱建算經(jīng)是南北朝時(shí)期的一部數(shù)學(xué)著作，成書(shū)時(shí)間大約在466－485年間，作者是北魏人。張邱建算經(jīng)分上、中、下三卷，其中所列的題目，大部分都是現(xiàn)實(shí)的實(shí)際問(wèn)題。這部著作在中國(guó)數(shù)學(xué)史上居有一定的地位，有些題目和解法超出了九章算術(shù)的范圍。,,,,,此題相當(dāng)于解不定方程組,,張邱建給出所有可能的正整數(shù)解,三緝古算經(jīng)與三次方程,緝古算經(jīng)是十部算經(jīng)中年代最晚的一部，作者王孝通是唐初人，緝古算經(jīng)也是一本實(shí)用問(wèn)題集，用“開(kāi)帶從立方法”解決工程問(wèn)題，“開(kāi)帶從立方法”就是求三次方程正根的數(shù)值解法，書(shū)中給出了28個(gè)形如,的正系數(shù)方程及其正有理根，但沒(méi)有解題方法．,緝古算經(jīng)是世界上最早討論三次方程組代數(shù)解法的著作．高次方程的數(shù)值解法，在宋、元時(shí)期得到了高度發(fā)展．,緝古算經(jīng)緝古算經(jīng)的作者是王孝通，唐代初期人，他對(duì)九章算術(shù)和綴術(shù)都有深入的研究，校算過(guò)歷書(shū)。他從土木工程和天文歷法的實(shí)際需要出發(fā)，對(duì)復(fù)雜的立體求積問(wèn)題和天文測(cè)算問(wèn)題，進(jìn)行鉆研，創(chuàng)造了三次方程布列和求解的方法。緝古算經(jīng)共列20個(gè)問(wèn)題，大都?xì)w結(jié)為一個(gè)三次方程求解。,如第15題，其大意是“已知勾股相乘積，弦多于勾，求勾A，股B，弦C”王孝通的解法如下得關(guān)于A的三次方程,,,,,例題,1、在中算史上，劉徽首先建立了可靠的理論來(lái)推算圓周率，他所算得的“徽率”是。A、31B、314C、3142D、314159262、下列數(shù)學(xué)著作中不屬于“算經(jīng)十書(shū)”的是。A、數(shù)書(shū)九章B、五經(jīng)算術(shù)C、綴術(shù)D、緝古算經(jīng),例題,3．周髀算經(jīng)和（）是我國(guó)古代兩部重要的數(shù)學(xué)著作。A孫子算經(jīng)B墨經(jīng)C算數(shù)書(shū)D九章算術(shù)4．中國(guó)數(shù)學(xué)史上最先完成勾股定理證實(shí)的數(shù)學(xué)家是A周公后人榮方與陳子B三國(guó)時(shí)期的趙爽C西漢的張蒼、耿壽昌D魏晉南北朝時(shí)期的劉徽5．世界上第一個(gè)把Π計(jì)算到31415926＜Π＜31415927的數(shù)學(xué)家是A劉徽B阿基米德C祖沖之D卡瓦列利,例題,6．海島算經(jīng)的作者是__劉徽__，四元玉鑒的作者是__朱世杰_____7．中國(guó)古代把直角三角形的兩條直角邊分別稱為勾和股，斜邊稱為弦8．徽率、祖率或密率、約率分別是、和9．我國(guó)古代數(shù)學(xué)家劉徽用來(lái)推算圓周率的方法叫___割圓術(shù)____術(shù)，用來(lái)計(jì)算面積和體積的一條基本原理是___出入相補(bǔ)原理_原理,例題,10請(qǐng)給出勾股定理的兩種證明方法，

簡(jiǎn)介：第12章,20世紀(jì)數(shù)學(xué)概觀Ⅱ,空前發(fā)展的應(yīng)用數(shù)學(xué),,121應(yīng)用數(shù)學(xué)的新時(shí)代,數(shù)學(xué)的廣泛滲透與應(yīng)用，是它一貫的特點(diǎn)，但在數(shù)學(xué)史上，數(shù)學(xué)的應(yīng)用在不同時(shí)期的發(fā)展是不平衡的．18世紀(jì)是數(shù)學(xué)與力學(xué)緊密結(jié)合的時(shí)代；19世紀(jì)是純粹數(shù)學(xué)形成的時(shí)代；20世紀(jì)則可以說(shuō)既是純粹數(shù)學(xué)的時(shí)代，又是應(yīng)用數(shù)學(xué)的時(shí)代．特別是20世紀(jì)40年代以后，數(shù)學(xué)以空前的廣度與深度向其他科學(xué)技術(shù)和人類知識(shí)領(lǐng)域滲透，加上電子計(jì)算機(jī)的推助，應(yīng)用數(shù)學(xué)的蓬勃發(fā)展已形成為當(dāng)代數(shù)學(xué)的一股強(qiáng)大潮流．應(yīng)用數(shù)學(xué)的這個(gè)新時(shí)代具有以下幾方面的特點(diǎn)．,1數(shù)學(xué)的應(yīng)用突破了傳統(tǒng)的范圍而向人類幾乎所有的知識(shí)領(lǐng)域滲透．,19世紀(jì)70、80年代，還是在現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的早期，恩格斯曾經(jīng)對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用的狀況作過(guò)這樣的估計(jì)“在固體力學(xué)中是絕對(duì)的，在氣體力學(xué)中是近似的，在流體力學(xué)中已經(jīng)比較困難了，在物理學(xué)中多半是嘗試性的和相對(duì)的，在化學(xué)中是最簡(jiǎn)單的一次方程式，在生物學(xué)中等于零”．從那以后經(jīng)過(guò)一個(gè)多世紀(jì)的發(fā)展，可以看到恩格斯所描述的狀況有了根本的改觀．?dāng)?shù)學(xué)正在向包括從粒子物理到生命科學(xué)、從航空技術(shù)到地質(zhì)勘探在內(nèi)的一切科技領(lǐng)域進(jìn)軍．,數(shù)學(xué)在物理學(xué)中的應(yīng)用經(jīng)歷了一系列激動(dòng)人心的重大事件；現(xiàn)代化學(xué)為了描述化學(xué)過(guò)程已少不了微分方程和積分方程，并且有許多還是連數(shù)學(xué)家都感到棘手的非線性方程；生物學(xué)不用數(shù)學(xué)的時(shí)代也已一去不返．除了自然科學(xué)，在經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)學(xué)、歷史學(xué)等社會(huì)科學(xué)部門中，數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用也在嶄露頭角．與以往時(shí)代不同的是，數(shù)學(xué)在向外滲透過(guò)程中越來(lái)越多地與其他領(lǐng)域相結(jié)合而形成一系列交叉學(xué)科，如數(shù)學(xué)物理、數(shù)理化學(xué)、生物數(shù)學(xué)、數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)、數(shù)學(xué)地質(zhì)學(xué)、數(shù)理氣象學(xué)、數(shù)理語(yǔ)言學(xué)、數(shù)理心理學(xué)、數(shù)學(xué)考古學(xué)，等等，它們的數(shù)目還在增加．,2純粹數(shù)學(xué)幾乎所有的分支都獲得了應(yīng)用，其中最抽象的一些分支也參與了滲透．,在20世紀(jì)60年代，像拓?fù)鋵W(xué)這樣的抽象數(shù)學(xué)離實(shí)際應(yīng)用似乎還很遙遠(yuǎn)．然而正如我們?cè)谙旅嬉v到的，拓?fù)鋵W(xué)在今天的物理學(xué)、生物學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)中正在扮演重要角色．在凝聚態(tài)物理中分類晶體結(jié)構(gòu)的“缺陷”及液晶理論中所用到的某些齊性空間中同倫群的計(jì)算，即使對(duì)專業(yè)的代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)家也是很難的問(wèn)題；,數(shù)論曾經(jīng)被英國(guó)數(shù)學(xué)家哈代看成是“無(wú)用”和“清白”的學(xué)問(wèn)，哈代說(shuō)“至今還沒(méi)有人能發(fā)現(xiàn)有什么火藥味的東西是數(shù)論或相對(duì)論造成的”，并預(yù)言“將來(lái)很多年也不會(huì)有人能夠發(fā)現(xiàn)這類事情”。但1982年以來(lái)，哈代所鐘愛(ài)的“清白”學(xué)問(wèn)數(shù)論，已經(jīng)在密碼技術(shù)“公開(kāi)密鑰”系統(tǒng)、衛(wèi)星信號(hào)傳輸、計(jì)算機(jī)科學(xué)和量子場(chǎng)論等許多部門發(fā)揮重要的有時(shí)是關(guān)鍵的作用．,3現(xiàn)代數(shù)學(xué)對(duì)生產(chǎn)技術(shù)的應(yīng)用變得越來(lái)越直接．,以往數(shù)學(xué)工具直接用于生產(chǎn)技術(shù)的事例雖有發(fā)生，但數(shù)學(xué)與生產(chǎn)技術(shù)的關(guān)系基本上是間接的常常是先應(yīng)用于其他科學(xué)如力學(xué)、天文學(xué)，再由這些科學(xué)提供技術(shù)進(jìn)步的基礎(chǔ)．20世紀(jì)下半葉以來(lái)，數(shù)學(xué)科學(xué)與生產(chǎn)技術(shù)的相互作用正在加強(qiáng)，數(shù)學(xué)提供的工具直接影響和推動(dòng)技術(shù)進(jìn)步的頻率正在加大，并在許多情況下產(chǎn)生巨大的經(jīng)濟(jì)效益．,例如以計(jì)算流體力學(xué)為基礎(chǔ)的數(shù)值模擬已成為飛行器設(shè)計(jì)的有效工具，類似的數(shù)值模擬方法正在被應(yīng)用于許多技術(shù)部門以替代耗資巨大的試驗(yàn)；1980年代以來(lái)，以調(diào)和分析為基礎(chǔ)的小波分析直接應(yīng)用于通信、石油勘探與圖象處理等廣泛的技術(shù)領(lǐng)域；現(xiàn)代大規(guī)模生產(chǎn)的管理決策、產(chǎn)品質(zhì)量控制等也密切依賴于數(shù)學(xué)中的線性規(guī)劃算法與統(tǒng)計(jì)方法；現(xiàn)代醫(yī)學(xué)儀器工業(yè)也離不開(kāi)數(shù)學(xué)如CR掃描儀、核磁共振儀等研制的理論基礎(chǔ)主要是現(xiàn)代積分理論，等等，這樣的例子舉不勝舉．,4現(xiàn)代數(shù)學(xué)在向外滲透的過(guò)程中，產(chǎn)生了一些相對(duì)獨(dú)立的應(yīng)用學(xué)科。這些學(xué)科以數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)理論為基礎(chǔ)，但不同于上面提到的交叉應(yīng)用分支，其應(yīng)用對(duì)象不只是限于某一門特殊的學(xué)科如物理、化學(xué)、生物等，而是適用于相當(dāng)廣泛的領(lǐng)域．這樣的應(yīng)用學(xué)科有數(shù)理統(tǒng)計(jì)、運(yùn)籌學(xué)、控制論等等．,20世紀(jì)數(shù)學(xué)空前廣泛的應(yīng)用，是與它的另一個(gè)特點(diǎn)即前面已解釋過(guò)的更高的抽象化趨勢(shì)共軛發(fā)展著．我們看到，一方面數(shù)學(xué)的核心領(lǐng)域正變得越來(lái)越抽象，一方面數(shù)學(xué)的應(yīng)用也變得越來(lái)越廣泛．核心數(shù)學(xué)創(chuàng)造的許多高度抽象的語(yǔ)言、結(jié)構(gòu)、方法與理論，被反復(fù)地證實(shí)是其他科學(xué)技術(shù)和人類生產(chǎn)與社會(huì)實(shí)踐中普遍適用的工具，這恰恰反映了數(shù)學(xué)抽象理論與客觀現(xiàn)實(shí)世界之間的深刻、復(fù)雜而又奇妙的聯(lián)系．?dāng)?shù)學(xué)的高度抽象性與內(nèi)在統(tǒng)一性，不斷在更高的層次上決定著這門科學(xué)應(yīng)用的廣泛性．,122數(shù)學(xué)向其他科學(xué)的滲透,本節(jié)以數(shù)學(xué)物理、生物數(shù)學(xué)與數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)為例來(lái)說(shuō)明20世紀(jì)數(shù)學(xué)向其他科學(xué)的滲透．,1221數(shù)學(xué)物理,物理學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)的歷史較長(zhǎng)．18世紀(jì)是數(shù)學(xué)與經(jīng)典力學(xué)相結(jié)合的黃金時(shí)期．19世紀(jì)數(shù)學(xué)應(yīng)用的重點(diǎn)轉(zhuǎn)移到電學(xué)與電磁學(xué)，并且由于劍橋?qū)W派的努力而形成了數(shù)學(xué)物理分支．進(jìn)入20世紀(jì)以后，隨著物理科學(xué)的發(fā)展，數(shù)學(xué)相繼在應(yīng)用于相對(duì)論、量子力學(xué)以及基本粒子理論等方面取得了一個(gè)又一個(gè)突破，極大地豐富了數(shù)學(xué)物理的內(nèi)容，同時(shí)也反過(guò)來(lái)刺激了數(shù)學(xué)自身的進(jìn)步．,在20世紀(jì)初狹義相對(duì)論和廣義相對(duì)論的創(chuàng)立過(guò)程中，數(shù)學(xué)都建有奇功．1907年，德國(guó)數(shù)學(xué)家閔可夫斯基HMINKOWSKI，18641909提出了“閔可夫斯基空間”，即將時(shí)間與空間融合在一起的四維時(shí)空．閔可夫斯基幾何為愛(ài)因斯坦狹義相對(duì)論提供了合適的數(shù)學(xué)模型．有了閔可夫斯基時(shí)空模型后，愛(ài)因斯坦又進(jìn)一步研究引力場(chǎng)理論以建立廣義相對(duì)論．,1912年夏愛(ài)因斯坦已經(jīng)概括出新的引力理論的基本物理原理，但為了實(shí)現(xiàn)廣義相對(duì)論的目標(biāo)，還必須尋求理論的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，愛(ài)因斯坦為此花費(fèi)了3年的時(shí)間，最后在數(shù)學(xué)家格羅斯曼M．GROSSMANN介紹下掌握了發(fā)展相對(duì)論引力學(xué)說(shuō)所必需的數(shù)學(xué)工具以黎曼幾何為基礎(chǔ)的絕對(duì)微分學(xué)，亦即愛(ài)因斯坦后來(lái)所稱的張量分析．在1915年11月25日發(fā)表的一篇論文中，愛(ài)因斯坦終于導(dǎo)出了廣義協(xié)變的引力場(chǎng)方程,,就是黎曼度規(guī)張量，愛(ài)因斯坦指出“由于這組方程，廣義相對(duì)論作為一種邏輯結(jié)構(gòu)終于大功告成”,根據(jù)愛(ài)因斯坦的理論，時(shí)空整體是不均勻的，只是在微小的區(qū)域內(nèi)可以近似地看作均勻．在數(shù)學(xué)上，廣義相對(duì)論的時(shí)空可以解釋為一種黎曼空間，非均勻時(shí)空連續(xù)區(qū)可借助于現(xiàn)成的黎曼度量,,來(lái)描述．這樣，廣義相對(duì)論的數(shù)學(xué)表述第一次揭示了非歐幾何的現(xiàn)實(shí)意義，成為歷史上數(shù)學(xué)應(yīng)用最偉大的例子之一．,在數(shù)學(xué)史上有意義的是，與愛(ài)因斯坦建立引力場(chǎng)方程的同時(shí)，數(shù)學(xué)家希爾伯特也沿著另一條道路獨(dú)立地得到了引力場(chǎng)方程．,希爾伯特采取公理化方法，從兩條基本公理世界函數(shù)公理和廣義協(xié)變公理出發(fā)，運(yùn)用當(dāng)時(shí)的一項(xiàng)純數(shù)學(xué)成果E．諾特關(guān)于連續(xù)群的不變式理論，得出了他的全部理論．希爾伯特于1915年11月20日向哥廷根科學(xué)會(huì)提交了關(guān)于物理學(xué)基礎(chǔ)的第一份報(bào)告，其中得到了一組與愛(ài)因斯坦5天后發(fā)表的引力場(chǎng)方程等價(jià)的方程，因而也成為現(xiàn)代引力理論的奠基人．,希爾伯特在他關(guān)于物理學(xué)基礎(chǔ)的報(bào)告正式出版時(shí)說(shuō)道“我所獲得的場(chǎng)的微分方程與愛(ài)因斯坦稍后發(fā)表的論文中指出的廣義相對(duì)論的漂亮理論不謀而合”。不過(guò)這兩位偉大的學(xué)者之間卻沒(méi)有發(fā)生關(guān)于優(yōu)先權(quán)的爭(zhēng)執(zhí)，反而進(jìn)行了一系列友好的通信．希爾伯特將建立廣義相對(duì)論的榮譽(yù)歸于愛(ài)因斯坦，并在1915年頒發(fā)第3屆波約數(shù)學(xué)獎(jiǎng)時(shí)主動(dòng)推薦了愛(ài)因斯坦，“因?yàn)樵谒囊磺谐删椭兴w現(xiàn)的高度的數(shù)學(xué)精神．”,“惺惺相惜”,我們知道，20世紀(jì)初，普朗克、愛(ài)因斯坦、玻爾等創(chuàng)立了量子力學(xué)，但到1925年為止，還沒(méi)有一種量子理論能以統(tǒng)一的結(jié)構(gòu)來(lái)概括這一領(lǐng)域已經(jīng)積累的知識(shí)，當(dāng)時(shí)的量子力學(xué)可以說(shuō)是本質(zhì)上相互獨(dú)立的、有時(shí)甚至相互矛盾的部分的混合體．1925年有了重要進(jìn)展，由海森堡建立的矩陣力學(xué)和由薛定諤發(fā)展的波動(dòng)力學(xué)形成了兩大量子理論，而進(jìn)一步將這兩大理論融合為統(tǒng)一的體系，便成為當(dāng)時(shí)科學(xué)界的當(dāng)務(wù)之急．恰恰在這時(shí)，數(shù)學(xué)又起了意想不到的但卻是決定性的作用．,20世紀(jì)數(shù)學(xué)物理的另一項(xiàng)經(jīng)典成果是量子力學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的確立．,1927年，希爾伯特和馮諾依曼、諾德海姆LNORDHEIM合作發(fā)表了論文論量子力學(xué)基礎(chǔ)，開(kāi)始了用積分方程等分析工具使量子力學(xué)統(tǒng)一化的努力．,在隨后兩年中，馮諾依曼又進(jìn)一步利用他從希爾伯特關(guān)于積分方程的工作中提煉出來(lái)的抽象希爾伯特空間理論，去解決量子力學(xué)的特征值問(wèn)題，并最終將希爾伯特的譜理論推廣到量子力學(xué)中經(jīng)常出現(xiàn)的無(wú)界算子情形，從而奠定了量子力學(xué)的嚴(yán)格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)．1932年，馮諾依曼發(fā)表了總結(jié)性著作量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，完成了量子力學(xué)的公理化．,現(xiàn)在越來(lái)越清楚，希爾伯特20世紀(jì)初關(guān)于積分方程的工作以及由此發(fā)展起來(lái)的無(wú)窮多個(gè)變量的理論，確實(shí)是量子力學(xué)的非常合適的數(shù)學(xué)工具．量子力學(xué)的奠基人之一海森堡后來(lái)說(shuō)“量子力學(xué)的數(shù)學(xué)方法原來(lái)就是希爾伯特積分方程理論的直接應(yīng)用，這真是一件特別幸運(yùn)的事情”而希爾伯特本人則深有感觸地回顧道“無(wú)窮多個(gè)變量的理論研究，完全是出于純粹數(shù)學(xué)的興趣．我甚至管這理論叫‘譜分析’，當(dāng)時(shí)根本沒(méi)有預(yù)料到它后來(lái)會(huì)在實(shí)際的物理光譜理論中獲得應(yīng)用”．,抽象的數(shù)學(xué)成果最終成為其他科學(xué)新理論的仿佛是定做的工具，在20世紀(jì)下半葉又演出了精彩的一幕，這就是大范圍微分幾何在統(tǒng)一場(chǎng)論中的應(yīng)用．廣義相對(duì)論的發(fā)展，逐漸促使科學(xué)家們?nèi)で箅姶艌?chǎng)與引力場(chǎng)的統(tǒng)一表述，這方面第一個(gè)大膽的嘗試是數(shù)學(xué)家外爾HWEYL在1918年提出的規(guī)范場(chǎng)理論，外爾自己稱之為“規(guī)范不變幾何”。統(tǒng)一場(chǎng)論的探索后來(lái)又?jǐn)U展到基本粒子間的強(qiáng)相互作用和弱相互作用．,1954年，物理學(xué)家楊振寧和米爾斯RLMILLS提出的“楊米爾斯理論”，揭示了規(guī)范不變性可能是所有四種電磁、引力、強(qiáng)、弱相互作用的共性，開(kāi)辟了用規(guī)范場(chǎng)論來(lái)統(tǒng)一自然界這4種相互作用的新途徑。數(shù)學(xué)家們很快就注意到楊米爾斯理論所需要的數(shù)學(xué)工具早已存在，物理規(guī)范勢(shì)實(shí)際上就是微分幾何中纖維叢上的聯(lián)絡(luò)，20世紀(jì)30、40年代以來(lái)已經(jīng)得到深入的研究。,不僅如此，人們還發(fā)現(xiàn)規(guī)范場(chǎng)的楊米爾斯方程是一組在數(shù)學(xué)上有重要意義的非線性偏微分方程．1975年以來(lái)，對(duì)楊米爾斯方程的研究取得了許多重要成果，展示了統(tǒng)一場(chǎng)論的誘人前景，同時(shí)也推動(dòng)了數(shù)學(xué)自身的發(fā)展．,1981年以來(lái)興起的“超弦理論”，正成為數(shù)學(xué)家與物理學(xué)家攜手合作的又一個(gè)活躍領(lǐng)域，超弦理論也是以引力理論、量子力學(xué)和粒子相互作用的統(tǒng)一數(shù)學(xué)描述為目標(biāo)，其中用到的數(shù)學(xué)已涉及微分拓?fù)?、代?shù)幾何、微分幾何、群論與無(wú)窮維代數(shù)、復(fù)分析與黎曼曲面的模理論等．,1222生物數(shù)學(xué),與物理、化學(xué)相比，生物學(xué)中應(yīng)用數(shù)學(xué)相當(dāng)遲緩．將數(shù)學(xué)方法引進(jìn)生物學(xué)研究大約始于20世紀(jì)初，英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家皮爾遜KPEARSON，18571936首先將統(tǒng)計(jì)學(xué)應(yīng)用于遺傳學(xué)與進(jìn)化論，并于1902年創(chuàng)辦了生物統(tǒng)計(jì)學(xué)BIOMETRIKA雜志。統(tǒng)計(jì)方法在生物學(xué)中的應(yīng)用變得日益廣泛，1926年，意大利數(shù)學(xué)家伏爾泰拉VVOLTERRA提出著名的伏爾泰拉方程,,成功地解釋了生物學(xué)家觀察到的地中海不同魚(yú)種周期消長(zhǎng)的現(xiàn)象方程中表示食餌即被食小魚(yú)數(shù)，表示捕食者即食肉大魚(yú)數(shù)，從此微分方程又成為建立各種生物模型的重要工具．用微分方程建立生物模型在20世紀(jì)50年代曾獲得轟動(dòng)性成果，這就是描述神經(jīng)脈沖傳導(dǎo)過(guò)程的數(shù)學(xué)模型霍奇金哈斯利HODGKINHUXLEY方程1952和描述視覺(jué)系統(tǒng)側(cè)抑制作用的哈特萊因拉特里夫HARTLINERATLIFF方程1958，它們都是復(fù)雜的非線性方程組，引起了數(shù)學(xué)家和生物學(xué)家的濃厚興趣．這兩項(xiàng)工作分別獲得1963年和1967年度諾貝爾醫(yī)學(xué)生理學(xué)獎(jiǎng)．,20世紀(jì)50年代是數(shù)學(xué)與生物學(xué)結(jié)緣的良好時(shí)期，也是在這一時(shí)期，科學(xué)家們發(fā)現(xiàn)了脫氧核糖核酸即DNA的雙螺旋結(jié)構(gòu)如圖，1953，美國(guó)生物化學(xué)家JD沃森和英國(guó)物理學(xué)家FHC．克里克．雙螺旋模型的發(fā)現(xiàn)標(biāo)志著分子生物學(xué)的誕生，同時(shí)也拉開(kāi)了抽象的拓?fù)鋵W(xué)與生物學(xué)結(jié)合的序幕．,,現(xiàn)代實(shí)驗(yàn)技術(shù)使生物學(xué)家們?cè)陔娮语@微鏡下看到DNA雙螺旋鏈有纏繞與紐結(jié)．采用把DNA的紐結(jié)解開(kāi)再把它們復(fù)制出來(lái)的辦法去了解DNA的結(jié)構(gòu)，這就使代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)中的紐結(jié)理論有了用武之地。早在19世紀(jì)，高斯就討論過(guò)紐結(jié)問(wèn)題，并指出，“對(duì)兩條閉曲線或無(wú)限長(zhǎng)曲線的纏繞情況進(jìn)行計(jì)數(shù)，將是位置幾何即拓?fù)鋵W(xué)與度量幾何的邊緣領(lǐng)域里的一個(gè)主要任務(wù)．”一個(gè)多世紀(jì)后，高斯預(yù)言的這項(xiàng)數(shù)學(xué)任務(wù)，竟也成為揭示生命奧秘的DNA結(jié)構(gòu)研究中的一項(xiàng)重要任務(wù)．,1969年以來(lái)，數(shù)學(xué)家與物學(xué)家合作在計(jì)算雙螺旋“環(huán)繞數(shù)”刻畫(huà)兩條閉曲線相互纏繞情況的拓?fù)洳蛔兞糠矫嫒〉昧嗽S多進(jìn)展如懷特公式，JHWHITE，1969；1984年，關(guān)于紐結(jié)的新的不變量瓊斯JONES多項(xiàng)式的發(fā)現(xiàn)，使生物學(xué)家有了一種新的工具對(duì)他們?cè)贒NA的結(jié)構(gòu)中觀察到的紐結(jié)進(jìn)行分類．另外，1976年以來(lái)，數(shù)學(xué)家與生物學(xué)家合作在運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)與組合數(shù)學(xué)來(lái)了解DNA鏈中堿基的排序方面也取得了令人鼓舞的成績(jī)．,馮諾依曼說(shuō)過(guò)“在現(xiàn)代實(shí)驗(yàn)科學(xué)中，能否接受數(shù)學(xué)方法或與數(shù)學(xué)相近的物理學(xué)方法，已越來(lái)越成為該學(xué)科成功與否的重要標(biāo)準(zhǔn)．”20世紀(jì)60年代，數(shù)學(xué)方法在醫(yī)學(xué)診斷技術(shù)中的應(yīng)用提供了這方面的又一重要例證，這就是CT掃描儀的發(fā)明．19631964年間，美藉南非理論物理學(xué)家科馬克發(fā)表了計(jì)算人體不同組織對(duì)X射線吸收量的數(shù)學(xué)公式，解決了計(jì)算機(jī)斷層掃描的理論問(wèn)題．科馬克的工作促使英國(guó)工程師亨斯菲爾德GNHOUNSFIELD發(fā)明了第一臺(tái)計(jì)算機(jī)X射線斷層掃描儀即CT掃描儀．科馬克和亨斯菲爾德共同榮獲了1979年諾貝爾醫(yī)學(xué)生理學(xué)獎(jiǎng)．,科馬克的計(jì)算公式是建立在積分幾何中拉東JRADON變換,,的基礎(chǔ)之上。如圖，設(shè)是X射線穿入人體組織圖中平面區(qū)域前的強(qiáng)度；是射線穿出后的強(qiáng)度；表示點(diǎn)沿變化時(shí)人體組織對(duì)射線的吸收系數(shù)與組織密度等有關(guān)．,,,,,,記,,在內(nèi)，直線與從各個(gè)方向相交．若沿這些直線測(cè)出的值，是否能由定出函數(shù)科馬克利用與拉東變換相關(guān)的一套計(jì)算卷積反投影等解決了這一問(wèn)題，從而能根據(jù)測(cè)量所得的值建立函數(shù)，并進(jìn)一步用計(jì)算機(jī)重建人體組織橫斷面圖．,除了數(shù)理統(tǒng)計(jì)、微分方程、拓?fù)鋵W(xué)和積分論，概率論馬爾可夫過(guò)程等應(yīng)用于人口理論和種群理論；布爾代數(shù)應(yīng)用于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)描述；傅里葉分析應(yīng)用于生物高分子結(jié)構(gòu)分析，等等，這一切構(gòu)成了“生物數(shù)學(xué)”的豐富內(nèi)容．現(xiàn)代生物數(shù)學(xué)可以按方法論分成三大部門，即生物統(tǒng)計(jì)、生物動(dòng)力系統(tǒng)和生物控制論．,1223數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué),20世紀(jì)40年代以來(lái)，經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的數(shù)學(xué)化，導(dǎo)致了數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)的誕生．參與這門交叉學(xué)科建立和發(fā)展的有馮諾依曼等著名數(shù)學(xué)家．馮諾依曼與摩根斯頓OMORGENSTEM合著的博奕論與經(jīng)濟(jì)行為THEORYOFGAMESANDECONOMICBEHAVIOR，1944提出競(jìng)爭(zhēng)的數(shù)學(xué)模型并應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)問(wèn)題，成為現(xiàn)代數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)的開(kāi)端．20世紀(jì)50年代以來(lái)，數(shù)學(xué)方法在西方經(jīng)濟(jì)學(xué)中占據(jù)了重要地位，以致大部分諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)都授予了與數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)有關(guān)的工作．,前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家康托洛維奇19121986和美國(guó)數(shù)學(xué)家丹齊格GBDANTZIG各自獨(dú)立創(chuàng)建的線性規(guī)劃論參見(jiàn)123，在20世紀(jì)50年代被美藉荷蘭經(jīng)濟(jì)學(xué)家?guī)炱章筎CKOOPMANS應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)學(xué)而獲得很大成功．,庫(kù)普曼斯1951年發(fā)表生產(chǎn)和配置的活動(dòng)分析，用“活動(dòng)分析”代替經(jīng)典經(jīng)濟(jì)中的生產(chǎn)函數(shù)．所謂活動(dòng)分析包含了兩個(gè)基本概念商品和活動(dòng)．商品用定義，活動(dòng)用一組系數(shù)定義．例如煉鋼“活動(dòng)”，產(chǎn)出1噸鋼，消耗2個(gè)人工，1噸生鐵，600度電，活動(dòng)系數(shù)形成活動(dòng)矢量,,其中大于0的元素表示產(chǎn)出，小于0的元素表示投入。一種商品可寫(xiě)成活動(dòng)的線性式,,這相當(dāng)于線性規(guī)劃問(wèn)題求解．這種活動(dòng)分析，將“生產(chǎn)”描述為由一系列各具固定投入與產(chǎn)出關(guān)系的活動(dòng)，有利于用數(shù)學(xué)方法研究資源配置效率與價(jià)格體系之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．庫(kù)普曼斯與康托洛維奇同獲1975年度諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)．,20世紀(jì)50年代以來(lái)數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)由于公理化方法的引進(jìn)而取得了重大進(jìn)展．1959年美藉法國(guó)數(shù)學(xué)家、經(jīng)濟(jì)學(xué)家德布洛GDEBREU發(fā)表價(jià)格理論，對(duì)一般經(jīng)濟(jì)均衡理論給出了嚴(yán)格的公理化表述．從此公理化方法成為現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)研究的基本方法．,一般經(jīng)濟(jì)均衡價(jià)格的存在問(wèn)題是經(jīng)濟(jì)學(xué)界長(zhǎng)期關(guān)注但懸而未決的問(wèn)題．粗略地講，這問(wèn)題是問(wèn)是否存在一個(gè)價(jià)格體系，使得消費(fèi)需求與生產(chǎn)供給相等這樣的價(jià)格體系就叫一般均衡價(jià)格體系．,早在1874年，法國(guó)經(jīng)濟(jì)家沃拉斯LWALRAS就已將這個(gè)問(wèn)題歸結(jié)為由供給等于需求所決定的方程組的求解，這樣導(dǎo)出的一般是一組復(fù)雜的非線性方程，雖經(jīng)許多數(shù)學(xué)家和經(jīng)濟(jì)學(xué)家不懈的努力，但問(wèn)題始終沒(méi)有解決．,直到1954年，德布洛和另一位美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家阿羅KARROW才第一次利用凸集理論、不動(dòng)點(diǎn)定理等給出了一般經(jīng)濟(jì)均衡的嚴(yán)格表述和存在性證明．德布洛的價(jià)格理論又使這一理論體系公理化．阿羅和德布洛先后獲得1972和1983年度諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)．一般經(jīng)濟(jì)均衡理論在20世紀(jì)70年代以后又有了飛速發(fā)展，其研究用到了微分拓?fù)洹⒋鷶?shù)拓?fù)?、大范圍分析、?dòng)力系統(tǒng)等抽象數(shù)學(xué)工具．,20世紀(jì)70年代以后，隨機(jī)分析又進(jìn)入了經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域，特別是1973年布萊克FBLACK和斯科爾斯MSSCHOLES將期權(quán)定價(jià)問(wèn)題歸結(jié)為一個(gè)隨機(jī)微分方程的解，從而導(dǎo)出了相當(dāng)符合實(shí)際的著名的期權(quán)定價(jià)公式，即布萊克斯科爾斯公式,,其中,,布萊克斯科爾斯理論被認(rèn)為是金融數(shù)學(xué)方面的一項(xiàng)突破，它后又被默頓RCMERTON進(jìn)一步完善，不僅在金融活動(dòng)中行之有效，產(chǎn)生巨大利益，而且在數(shù)學(xué)上對(duì)隨機(jī)分析、隨機(jī)控制、偏微分方程、非線性分析、數(shù)值分析和數(shù)理統(tǒng)計(jì)等領(lǐng)域的發(fā)展也帶來(lái)極大的推動(dòng)．默頓和斯科爾斯榮獲1997年度諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)應(yīng)分享這一榮譽(yù)的布萊克不幸在兩年前去世．,123獨(dú)立的應(yīng)用學(xué)科,數(shù)學(xué)向另一門科學(xué)滲透到一定階段，就會(huì)形成像我們?cè)谏弦还?jié)中介紹的那樣一些交叉分支，這類分支大量地、系統(tǒng)地應(yīng)用各種數(shù)學(xué)工具，但一般說(shuō)來(lái)，它們?cè)跀?shù)學(xué)方法上并不獨(dú)立．20世紀(jì)應(yīng)用數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)獨(dú)特景觀，是產(chǎn)生了一批具有自己的數(shù)學(xué)方法、相對(duì)獨(dú)立的應(yīng)用學(xué)科．這些學(xué)科大都在第二次世界大戰(zhàn)期間形成如運(yùn)籌學(xué)、控制論等，或者是經(jīng)過(guò)二戰(zhàn)而有了飛躍的發(fā)展如數(shù)理統(tǒng)計(jì)．,1231數(shù)理統(tǒng)計(jì),簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)古來(lái)就有．在18、19世紀(jì)出現(xiàn)了統(tǒng)計(jì)推斷思想的萌芽并有一定發(fā)展，但以概率論為基礎(chǔ)、以統(tǒng)計(jì)推斷為主要內(nèi)容的現(xiàn)代意義的數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)，則到20世紀(jì)才告成熟．,1763年，英國(guó)人貝葉斯JBAYES發(fā)表論機(jī)會(huì)學(xué)說(shuō)問(wèn)題的求解，其中的“貝葉斯定理”給出了在已知結(jié)果正后，對(duì)所有原因計(jì)算其條件概率后驗(yàn)概率的公式，可以看作最早的一種統(tǒng)計(jì)推斷程序．拉普拉斯和高斯等利用貝葉斯公式估計(jì)參數(shù)，特別是高斯由于計(jì)算行星軌道的需要建立了以“最小二乘法”為基礎(chǔ)的誤差分析17941809．這些都促使統(tǒng)計(jì)學(xué)擺脫對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)的單純描述而向強(qiáng)調(diào)推斷的階段過(guò)渡．,英國(guó)生物學(xué)家和統(tǒng)計(jì)學(xué)家K．皮爾遜在現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計(jì)的建立上起了重要作用．皮爾遜在19世紀(jì)末、20世紀(jì)初發(fā)展了他老師高爾頓FGALTON首先提出的“相關(guān)”與“回歸”的理論，成功地創(chuàng)立了生物統(tǒng)計(jì)學(xué)1901．皮爾遜提出了“總體”的概念，明確指出統(tǒng)計(jì)學(xué)不是研究樣本本身而是要根據(jù)樣本對(duì)總體進(jìn)行推斷，并根據(jù)這一思想提出了“擬合優(yōu)度檢驗(yàn)”，即檢驗(yàn)作為樣本取出的個(gè)體是否“擬合”從理論上確定的總體分布的問(wèn)題．這是假設(shè)檢驗(yàn)的先聲．皮爾遜為此還發(fā)展了分布。,皮爾遜的工作是所謂“大樣本統(tǒng)計(jì)”的前驅(qū)．他的學(xué)生戈塞特WSGOSSET1908年以筆名“學(xué)生”發(fā)表的“學(xué)生分布”即分布則開(kāi)創(chuàng)了小樣本統(tǒng)計(jì)理論．小樣本理論強(qiáng)調(diào)樣本必須從總體中隨機(jī)地抽取，即必須是隨機(jī)樣本，從而使統(tǒng)計(jì)學(xué)研究對(duì)象從群體現(xiàn)象轉(zhuǎn)變?yōu)殡S機(jī)現(xiàn)象,,現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)作為一門獨(dú)立學(xué)科的奠基人是英國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)希爾R．A．FISHER，18901962。,,費(fèi)希爾,費(fèi)希爾畢業(yè)于劍橋大學(xué)，做過(guò)中學(xué)教員，曾長(zhǎng)期在農(nóng)業(yè)試驗(yàn)站工作，在將統(tǒng)計(jì)學(xué)應(yīng)用于農(nóng)業(yè)與遺傳學(xué)方面有豐富的積累．在1920和1930,年代，費(fèi)希爾提出了許多重要的統(tǒng)計(jì)方法，開(kāi)辟了一系列統(tǒng)計(jì)學(xué)的分支領(lǐng)域．,他發(fā)展了正態(tài)總體下各種統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布，將已有的相關(guān)、回歸理論建造為系統(tǒng)的相關(guān)分析與回歸分析；1925年他與葉茨FYATES合作創(chuàng)立了試驗(yàn)設(shè)計(jì)這一重要的統(tǒng)計(jì)分支，與這種試驗(yàn)設(shè)計(jì)相適應(yīng)的數(shù)據(jù)分析方法方差分析，也是費(fèi)希爾在1923年提出的．試驗(yàn)設(shè)計(jì)倡導(dǎo)用統(tǒng)計(jì)方法設(shè)計(jì)試驗(yàn)方案，以提高試驗(yàn)效率，節(jié)省人力物力，因而產(chǎn)生了巨大的社會(huì)影響．,費(fèi)希爾也是另一門重要統(tǒng)計(jì)分支假設(shè)檢驗(yàn)的先驅(qū)之一，他引進(jìn)了顯著性檢驗(yàn)概念．費(fèi)希爾關(guān)于檢驗(yàn)程序的推導(dǎo)方法是直觀的，在數(shù)學(xué)上尚不夠精煉．19281938年間，原藉羅馬尼亞的美國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家內(nèi)曼J．NEYMAN，18941981與K．皮爾遜的兒子小皮爾遜ESPEARSON，18951980合作，發(fā)展了假設(shè)檢驗(yàn)的嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論，將所有可能的總體分布族看作一個(gè)集合，引進(jìn)“檢驗(yàn)功效函數(shù)”的概念作為判斷檢驗(yàn)程序好壞的標(biāo)準(zhǔn)，從而使統(tǒng)計(jì)推斷的思想變得更加明確．,費(fèi)希爾實(shí)際上還開(kāi)辟了多元統(tǒng)計(jì)分析的方向，他關(guān)于多元正態(tài)總體的統(tǒng)計(jì)分析，就是一種狹義的多元分析．1928年維夏特J．WISHART導(dǎo)出了“維夏特分布”，將這一方向發(fā)展為統(tǒng)計(jì)學(xué)中的一個(gè)獨(dú)立分支．多元統(tǒng)計(jì)分析的奠基人還有中國(guó)數(shù)學(xué)家許寶騍和美國(guó)數(shù)學(xué)家霍太林HHOTELLING等．,費(fèi)希爾自1933年起任倫敦大學(xué)學(xué)院教授，在那里領(lǐng)導(dǎo)了一個(gè)有世界影響的數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)派．在20世紀(jì)30、40年代，費(fèi)希爾和他的學(xué)派可以說(shuō)占據(jù)了數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)研究的主導(dǎo)地位．,1946年，瑞典數(shù)學(xué)家克拉默HCRAMER發(fā)表了統(tǒng)計(jì)學(xué)的數(shù)學(xué)方法，用測(cè)度論系統(tǒng)總結(jié)了數(shù)理統(tǒng)計(jì)的發(fā)展，標(biāo)志著現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的成熟．,第二次世界大戰(zhàn)期間，數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)研究中一些重要的新動(dòng)向，在很大程度上決定了這門學(xué)科在戰(zhàn)后的發(fā)展方向．其中最有影響的是美藉羅馬尼亞數(shù)學(xué)家沃爾德AWALD，19021950提出的序貫分析和統(tǒng)計(jì)決策理論．,序貫分析的要旨是在統(tǒng)計(jì)推斷中以“序貫抽樣方案”來(lái)代替?zhèn)鹘y(tǒng)的固定抽樣方案．所謂序貫抽樣就是分步抽樣先抽少量樣本，根據(jù)結(jié)果再?zèng)Q定是否停止抽樣還是繼續(xù)抽樣，以及抽多少樣本．而在經(jīng)典統(tǒng)計(jì)中，抽樣的多少是事先確定的，全部數(shù)據(jù)只影響最后結(jié)果．采用序貫抽樣可以使整個(gè)推斷程序在達(dá)到一定精度時(shí)自動(dòng)停止，因此有很大的優(yōu)越性．沃爾德是為了解決二戰(zhàn)中軍方提出的實(shí)際問(wèn)題而研究出序貫分析這一嶄新的統(tǒng)計(jì)方法的．他在1947年發(fā)表了序貫分析專著，使序貫分析在戰(zhàn)后發(fā)展為數(shù)理統(tǒng)計(jì)中一個(gè)重要分支．,統(tǒng)計(jì)決策理論也引起了戰(zhàn)后數(shù)理統(tǒng)計(jì)思想的革新．經(jīng)典統(tǒng)計(jì)主要著眼于推斷，至于所獲得的論斷會(huì)產(chǎn)生什么后果，應(yīng)采取何種對(duì)策或行動(dòng)，則被認(rèn)為不屬于統(tǒng)計(jì)的范疇．沃爾德的統(tǒng)計(jì)決策理論則將后者也納人統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容，用博奕的觀點(diǎn)看待數(shù)理統(tǒng)計(jì)問(wèn)題．他還定義了統(tǒng)計(jì)推斷程序的風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)，用以判別推斷程序的好壞．沃爾德1950年發(fā)表統(tǒng)計(jì)決策函數(shù)一書(shū)，就在這一年，他因飛機(jī)失事不幸早逝．,沃爾德在他的統(tǒng)計(jì)研究中積極地利用先驗(yàn)概率與貝葉斯定理，這與費(fèi)希爾學(xué)派回避摒棄先驗(yàn)概率的做法大相徑庭，因而引起極大反響．在20世紀(jì)下半葉，數(shù)學(xué)家們圍繞著先驗(yàn)概率和貝葉斯定理展開(kāi)的更為激烈的爭(zhēng)論，對(duì)整個(gè)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的發(fā)展有深遠(yuǎn)影響．,1232運(yùn)籌學(xué),運(yùn)籌學(xué)OPERATIONSRESEARCH原意為“作戰(zhàn)研究”，其策源地在英國(guó)．,第二次世界大戰(zhàn)中英國(guó)空軍發(fā)現(xiàn)空防雷達(dá)送來(lái)的信息需要加以協(xié)調(diào)，才能使雷達(dá)、戰(zhàn)斗機(jī)系統(tǒng)在配合上達(dá)到滿意的作戰(zhàn)效果．當(dāng)時(shí)負(fù)責(zé)英國(guó)海岸雷達(dá)系統(tǒng)的羅A．P．ROWE建議進(jìn)行這方面的研究并起名為“OPERATIONALRESEARCH”，英國(guó)空軍還成立了專門的運(yùn)籌小組．不久美國(guó)軍隊(duì)也開(kāi)展了類似的研究并改稱“OPERATIONSRESEARCH”（運(yùn)籌一詞，出自漢書(shū)﹒高帝本紀(jì)“運(yùn)籌帷幄之中，決勝千里之外?！保?運(yùn)籌研究在1940年英國(guó)對(duì)付德軍空襲的戰(zhàn)斗中建有奇功，在如搜尋潛艇、深水炸彈投放方案、兵力分配等方面也都發(fā)揮了功效．到二戰(zhàn)結(jié)束時(shí)，在英、美等國(guó)軍隊(duì)中服務(wù)的運(yùn)籌學(xué)工作者已超過(guò)700人。戰(zhàn)后由于這些人的倡導(dǎo)，運(yùn)籌學(xué)被引人民用部門，研究?jī)?nèi)容不斷擴(kuò)充而形成為一門蓬勃發(fā)展的新興的應(yīng)用學(xué)科．目前，它已包括有數(shù)學(xué)規(guī)劃論、博奕論、排隊(duì)論、決策分析、圖論、可靠性數(shù)學(xué)理論、庫(kù)存論、搜索論等許多分支，統(tǒng)籌與優(yōu)選也可列入運(yùn)籌學(xué)的范疇，運(yùn)籌學(xué)就是運(yùn)用這些數(shù)學(xué)方法來(lái)解決生產(chǎn)、國(guó)防、商業(yè)和其他領(lǐng)域中的安排、籌劃、控制、管理等有關(guān)的問(wèn)題．,數(shù)學(xué)規(guī)劃論是運(yùn)籌學(xué)中一個(gè)基本而又龐大的領(lǐng)域，其中線性規(guī)劃論則是發(fā)展最早和比較成熟的分支．,有一類實(shí)際問(wèn)題需要將某些對(duì)象最大化如利潤(rùn)、安全等或最小化如支出、風(fēng)險(xiǎn)等，數(shù)學(xué)規(guī)劃就是為這類實(shí)際問(wèn)題提供數(shù)學(xué)模型的一種方法，具體地說(shuō)，數(shù)學(xué)規(guī)劃尋求函數(shù)在規(guī)定必須滿

簡(jiǎn)介：非洲豬瘟防治技術(shù)規(guī)范（試行）非洲豬瘟防治技術(shù)規(guī)范（試行）非洲豬瘟（AFRICANSWINEFEVER，ASF）是由非洲豬瘟病毒引起的豬的一種急性、熱性、高度接觸性動(dòng)物傳染病，以高熱、網(wǎng)狀內(nèi)皮系統(tǒng)出血和高死亡率為特征。世界動(dòng)物衛(wèi)生組織（OIE）將其列為法定報(bào)告動(dòng)物疫病，我國(guó)將其列為一類動(dòng)物疫病。為防范、控制和撲滅非洲豬瘟疫情，依據(jù)中華人民共和國(guó)動(dòng)物防疫法重大動(dòng)物疫情應(yīng)急條例國(guó)家突發(fā)重大動(dòng)物疫情應(yīng)急預(yù)案等法律法規(guī)，制定本規(guī)范。1適用范圍本規(guī)范規(guī)定了非洲豬瘟的診斷、疫情報(bào)告和確認(rèn)、疫情處置、防范等防控措施。本規(guī)范適用于中華人民共和國(guó)境內(nèi)與非洲豬瘟防治活動(dòng)有關(guān)的單位和個(gè)人。2診斷21流行病學(xué)211傳染源感染非洲豬瘟病毒的家豬、野豬（包括病豬、康復(fù)豬和隱性感染豬）和鈍緣軟蜱為主要傳染源。221最急性無(wú)明顯臨床癥狀突然死亡。222急性體溫可高達(dá)42℃，沉郁，厭食，耳、四肢、腹部皮膚有出血點(diǎn)，可視黏膜潮紅、發(fā)紺。眼、鼻有黏液膿性分泌物；嘔吐；便秘，糞便表面有血液和黏液覆蓋；或腹瀉，糞便帶血。共濟(jì)失調(diào)或步態(tài)僵直，呼吸困難，病程延長(zhǎng)則出現(xiàn)其他神經(jīng)癥狀。妊娠母豬流產(chǎn)。病死率高達(dá)100。病程4～10天。223亞急性癥狀與急性相同，但病情較輕，病死率較低。體溫波動(dòng)無(wú)規(guī)律，一般高于405℃。仔豬病死率較高。病程5～30天。224慢性波狀熱，呼吸困難，濕咳。消瘦或發(fā)育遲緩，體弱，毛色暗淡。關(guān)節(jié)腫脹，皮膚潰瘍。死亡率低。病程2～15個(gè)月。23病理變化漿膜表面充血、出血，腎臟、肺臟表面有出血點(diǎn)，心內(nèi)膜和心外膜有大量出血點(diǎn)，胃、腸道粘膜彌漫性出血。膽囊、膀胱出血。肺臟腫大，切面流出泡沫性液體，氣管內(nèi)有血性泡沫樣粘液。脾臟腫大，易碎，呈暗紅色至黑色，表面有出血點(diǎn)，邊緣鈍網(wǎng)，有時(shí)出現(xiàn)邊緣梗死。頜下淋巴結(jié)、腹腔淋巴結(jié)腫大，嚴(yán)重出血。

簡(jiǎn)介：非洲非洲備課時(shí)間授課時(shí)間課型新授授課人審批人審批意見(jiàn)課題12非洲（1）知識(shí)與技能1、運(yùn)用地圖說(shuō)明非洲的地理位置（經(jīng)緯度位置、半球位置、海陸位置）2、初步學(xué)會(huì)從自然角度分析非洲的人種特征；從歷史原因分析非洲的人口分布，以及非洲是世界上國(guó)家最多的大洲這一現(xiàn)象。3、運(yùn)用地圖分析說(shuō)明非洲地形特征，并能夠在地圖上找出非洲幾個(gè)著名地形區(qū)方程與方法培養(yǎng)學(xué)生從地圖上獲取地理知識(shí)的能力，從課外書(shū)籍上獲取地理知識(shí)的能力教學(xué)目標(biāo)情感態(tài)度價(jià)值觀訓(xùn)練讀圖分析，解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生人人平等的觀念教學(xué)重點(diǎn)運(yùn)用地圖說(shuō)明非洲的地理位置（經(jīng)緯度位置、半球位置、海陸位置）運(yùn)用地圖分析說(shuō)明非洲地形特征，并能夠在地圖上找出非洲幾個(gè)著名地形區(qū)教學(xué)難點(diǎn)訓(xùn)練讀圖分析，解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生人人平等的觀念教學(xué)方法啟發(fā)、討論、講授式教學(xué)準(zhǔn)備多媒體課件PPT及地形圖上山脈高原的名稱總結(jié)“非洲地形以高原為主”有“高原大陸”之稱。2、根據(jù)“全球、各大洲平均海拔高度比較”總結(jié)“非洲的平均海拔一般”定基礎(chǔ)。在教師的引導(dǎo)下，閱讀地形圖，及各種統(tǒng)計(jì)圖表，掌握讀圖的方法，鍛煉讀圖能力熟練讀圖的技巧。3根據(jù)“全球、各大洲最高、最低海拔高度比較”（柱狀圖），計(jì)算相對(duì)高度，總結(jié)“非地形地面起伏不太大”4根據(jù)地形圖，總結(jié)“非洲地勢(shì)東南高，西北低”通過(guò)地圖、課本使學(xué)生觀察到非洲的幾處特別之處1、非洲東部的東非大裂谷是世界上最長(zhǎng)的陸地裂谷。2、非洲中部的剛果盆地是世界上最大的盆地。3、非洲的海岸線十分平直。閱讀課文，簡(jiǎn)單介紹、以人文教育、德育為主。課堂小結(jié)讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的收獲和體會(huì)必做地理填充圖作業(yè)布置選做板書(shū)設(shè)計(jì)六、板書(shū)設(shè)計(jì)非洲1、國(guó)家最多的大洲2、非洲的地理位置3、高原為主的地形課后小記

簡(jiǎn)介：非洲非洲學(xué)習(xí)內(nèi)容第六章認(rèn)識(shí)大洲第二節(jié)非洲師教學(xué)設(shè)計(jì)收獲學(xué)習(xí)目標(biāo)通過(guò)地圖掌握非洲的地理位置重點(diǎn)和難點(diǎn)非洲地理位置及地形特點(diǎn)；圖中分析非洲地形師教學(xué)反思（疑惑）一、自主學(xué)習(xí)〈認(rèn)真研讀教材P1316內(nèi)容，完成下列要求，你能行〉〈一〉自學(xué)指導(dǎo)（將下列知識(shí)點(diǎn)在文中找出，小組互動(dòng)后合書(shū)填寫(xiě)，你最棒）緯度位置非洲全稱位于_____的西部，地跨_________。非地理位置海陸位置東瀕_______，西臨_______，北隔_________及___________海峽與歐洲相望，東北隔狹長(zhǎng)的與亞洲相望，并以________運(yùn)河為界。國(guó)家和地區(qū)最多的大洲是，目前有__個(gè)獨(dú)立國(guó)家和地區(qū)。洲地形地形特點(diǎn)____面積廣大，被稱為“”，地勢(shì)東南____，西北____。（高原大陸）1、___________號(hào)稱“非洲屋脊”是非洲最高的高原主要地形區(qū)2、非洲最高的山峰是__________。閱讀課本P14非洲地形圖完成下列要求1、寫(xiě)出下列字母所代表的地理事物的名稱大洲AB大洋CD海EF2、寫(xiě)出下列序號(hào)和字母所代表的地理事物的名稱①_______河②______河③_____半島④________島⑤_________沙漠A、_______高原B、______高原C、_____高原D、________盆地E、______灣2、（1）寫(xiě)出圖中字母所代表的氣候類型的名稱A___________B___________C___________D___________E___________（2）非洲分布面積最廣的氣候類型是________。（3）非洲的降水很不____，3、非洲最大的盆地是__________。4、世界最大的沙漠是__________。5、世界陸上最大的斷裂帶?！炊祷?dòng)交流小組質(zhì)疑，你最聰明。二、小組活動(dòng)降水量最為豐富的地區(qū)__________和___________。降水很少的是地區(qū)是_________。（4）請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明非洲的氣候特點(diǎn)。非洲以氣候?yàn)橹鳎⒁詾橹行哪媳睂?duì)稱分布。氣候普遍炎熱，被稱為“”。第7頁(yè)第8頁(yè)

簡(jiǎn)介：非洲豬瘟防控工作方案非洲豬瘟防控工作方案為切實(shí)做好全省非洲豬瘟防控工作，嚴(yán)防疫源輸入我縣，根據(jù)省畜牧獸醫(yī)局辦公室關(guān)于做好非洲豬瘟防控工作的緊急通知等文件精神要求，結(jié)合我縣實(shí)際，特制定本方案。一、指導(dǎo)思想與工作目標(biāo)（一）、指導(dǎo)思想根據(jù)省委省政府部署要求，統(tǒng)一思想，確保認(rèn)識(shí)到位、責(zé)任到位、措施到位。按照“廣排查、早發(fā)現(xiàn)、快反應(yīng)、嚴(yán)處置、全根除”要求，強(qiáng)化全面排查巡查、強(qiáng)化疫情應(yīng)急處置、強(qiáng)化生物安全措施、強(qiáng)化生豬及其產(chǎn)品移動(dòng)監(jiān)管、強(qiáng)化檢疫監(jiān)督執(zhí)法、強(qiáng)化聯(lián)防聯(lián)控、強(qiáng)化宣傳引導(dǎo)。切實(shí)推進(jìn)養(yǎng)殖業(yè)健康發(fā)展，維護(hù)市場(chǎng)穩(wěn)定。（二）、工作目標(biāo)1、監(jiān)測(cè)排查覆蓋率達(dá)到100；2、運(yùn)載工具消毒率達(dá)到100；3、嚴(yán)禁從疫區(qū)及疑似疫區(qū)調(diào)運(yùn)生豬及其產(chǎn)品；4、應(yīng)急處置率達(dá)到100。（二）、監(jiān)測(cè)排查按照職責(zé)分工，開(kāi)展宣傳告知，督促相關(guān)企業(yè)切實(shí)履行主體責(zé)任，對(duì)重點(diǎn)區(qū)域、重點(diǎn)環(huán)節(jié)進(jìn)行監(jiān)測(cè)排查。發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，及時(shí)采取應(yīng)急措施。同時(shí)對(duì)監(jiān)測(cè)排查過(guò)程中發(fā)現(xiàn)的違法違規(guī)行為進(jìn)行，依法進(jìn)行嚴(yán)厲查處。完善監(jiān)測(cè)機(jī)制，強(qiáng)化保障措施。四、工作要求（一）、加強(qiáng)組織領(lǐng)導(dǎo)。要在當(dāng)?shù)卣慕y(tǒng)一領(lǐng)導(dǎo)下，加強(qiáng)組織領(lǐng)導(dǎo)，認(rèn)真履行職責(zé)，確保非洲豬瘟防控工作有力有序開(kāi)展。要突出工作重點(diǎn)，制定切實(shí)可行的實(shí)施方案，分解整治任務(wù)，落實(shí)具體的責(zé)任單位和責(zé)任人員，將各項(xiàng)措施落到實(shí)處。要加強(qiáng)督導(dǎo)檢查，確保防控工作取得實(shí)效。（2）、健全完善制度機(jī)制。進(jìn)一步完善非洲豬瘟防治技術(shù)和應(yīng)急預(yù)案。完善不明聯(lián)防聯(lián)控協(xié)作機(jī)制，充分發(fā)揮協(xié)作機(jī)制優(yōu)勢(shì)和作用。（三）、加大宣傳力度。積極回應(yīng)社會(huì)關(guān)切，及時(shí)向社會(huì)公布，向有關(guān)部門通報(bào)防控工作進(jìn)展，及時(shí)解釋回應(yīng)公眾關(guān)注熱點(diǎn)。通山縣動(dòng)物衛(wèi)生監(jiān)督所

簡(jiǎn)介：英語(yǔ)發(fā)展史英語(yǔ)是當(dāng)今世界上最被廣泛使用的第二語(yǔ)言，也是最為重要的國(guó)際語(yǔ)言，全球有超過(guò)3億人使用英語(yǔ)作為他們的本族語(yǔ)。在中國(guó)，英語(yǔ)教育也正進(jìn)行得如火如荼，許多來(lái)自英美的外教在這里從事教學(xué)工作。1英語(yǔ)發(fā)展史英語(yǔ)的形成和統(tǒng)一英語(yǔ)發(fā)展史可以追溯到公元前500年左右。在大不列顛島GREATBRITAIN上史料記載的最早的語(yǔ)言是公元前500年左右的凱爾特語(yǔ)CELTIC。公元前55年，羅馬人入侵大不列顛，并一直占領(lǐng)了大約500多年，拉丁語(yǔ)進(jìn)入了該地區(qū)，并成為官方語(yǔ)言，凱爾特語(yǔ)的地位下降。約公元449年，居住于丹麥與德國(guó)北部的3個(gè)日耳曼人部族趁羅馬帝國(guó)衰落入侵到大不列顛島上。他們分別是盎格魯人（ANGLES，入侵日德蘭半島中部）、薩克遜人（SAXONS，入侵日德蘭半島南部）和朱特人（JUTES，入侵日德蘭半島北部）。在語(yǔ)言上，他們?nèi)〈水?dāng)時(shí)該地所使用的凱爾特語(yǔ)。這三個(gè)日耳曼部族方言隨著社會(huì)發(fā)展，逐漸融合為一種新的語(yǔ)言，即盎格魯一薩克遜語(yǔ)（ANGLOSAXON），這就是后來(lái)形成的英語(yǔ)的基礎(chǔ)。到公元700年，人們把大不列顛島上三部族混合形成的語(yǔ)言稱為ENGLISC。到公元1000年，島上整個(gè)國(guó)家被稱作ENGLAL。這兩個(gè)詞后來(lái)就演變成ENGLISH（英語(yǔ)）和ENGL（英格蘭或英國(guó)）這就是ENGLISH和ENGL兩個(gè)詞的歷史由來(lái)。8世紀(jì)末，丹麥人大批入侵英國(guó)，在其東北部建立丹麥區(qū)，持續(xù)了近300年，當(dāng)時(shí)所帶來(lái)的斯堪的那維亞語(yǔ)對(duì)英語(yǔ)的發(fā)展有很大影響。公元1066年，法國(guó)的諾曼蒂公爵侵人英國(guó)，并加冕為英國(guó)國(guó)王，建立了諾曼蒂王朝，一直延續(xù)到1154年。在諾曼蒂王朝統(tǒng)治期間，英國(guó)實(shí)際上存在著三種語(yǔ)言，法語(yǔ)是官方語(yǔ)言；拉丁語(yǔ)是宗教語(yǔ)言，用于閱讀圣經(jīng)、教堂宗教活動(dòng)；英語(yǔ)則是下層社會(huì)勞動(dòng)者用的世俗語(yǔ)言。法語(yǔ)在英國(guó)的特殊地位一直延續(xù)到14世紀(jì)，法院、學(xué)校、宮廷分別于1362年、1385年、1399年才停止使用法語(yǔ)。1382年用英語(yǔ)書(shū)寫(xiě)的圣經(jīng)出現(xiàn)，才結(jié)束了拉丁語(yǔ)的宗教語(yǔ)言地位。這時(shí)英語(yǔ)才成為英國(guó)的全民語(yǔ)言。因此英語(yǔ)中保留著大量的法語(yǔ)詞匯（如AGE，AIR，BRUSH，CRY，BOURGEOISIE）和拉丁語(yǔ)詞匯（ANGEL，CLE，MOKE，POPE）。在“文藝復(fù)興”時(shí)期（14世紀(jì)16世紀(jì)），由于人們對(duì)古希臘、古羅馬文化表現(xiàn)出濃厚的語(yǔ)方言。從總體上來(lái)講，目前美國(guó)英語(yǔ)在中國(guó)也最為流行。17世紀(jì)時(shí)，英國(guó)移民開(kāi)始在北美洲（現(xiàn)美國(guó)的東海岸）進(jìn)行殖民活動(dòng)。后來(lái)，移民人數(shù)增多，遂于沿海建立了13個(gè)殖民地。這13個(gè)殖民地經(jīng)過(guò)獨(dú)立運(yùn)動(dòng)，后建立了美國(guó)，并成為美國(guó)最初的13州。它們脫離了與英國(guó)的從屬關(guān)系，所以當(dāng)時(shí)移民所講的英語(yǔ)就成為美國(guó)的語(yǔ)言。由于美國(guó)與英國(guó)中間有大西洋相隔，兩邊人員來(lái)往、語(yǔ)言交流受到影響，兩地的英語(yǔ)逐漸產(chǎn)生差異。美國(guó)英語(yǔ)方言主要分新英格蘭、大西洋沿岸中部和南方三種。新英格蘭方言區(qū)是以馬薩諸塞州為中心的美國(guó)東北地區(qū)。該地居民都是英格蘭人移民，三分之二來(lái)自東安利亞的清教徒，少數(shù)來(lái)自英格蘭北部，是比較純的英格蘭英語(yǔ)。大西洋沿岸中部方言區(qū)以賓夕法尼亞州為中心，早期該地是來(lái)自英格蘭北部的移民，后來(lái)則多為來(lái)自蘇格蘭、愛(ài)爾蘭的移民，除定居賓夕法尼亞州外，還波及新澤西州和特拉華州。后來(lái)進(jìn)入的移民還有荷蘭人、德國(guó)人、瑞典人。南方方言區(qū)以弗吉尼亞州為最早的核心區(qū)。移民來(lái)自英格蘭，其中約一半來(lái)自英格蘭的西南部。后來(lái)，隨著美國(guó)在越過(guò)阿巴拉契亞山脈向西發(fā)展過(guò)程中，三個(gè)方言區(qū)的進(jìn)展各有不同。新英格蘭方言除圍繞大湖南岸外，還出現(xiàn)以西雅圖、舊金山和鹽湖城為中心的三個(gè)語(yǔ)言島。大西洋沿岸中部方言向西進(jìn)入俄亥俄州等地，直達(dá)南、北國(guó)境線，成為美國(guó)最大方言區(qū)。

簡(jiǎn)介：史前時(shí)代162318951623年德國(guó)科學(xué)家契克卡德（WSCHICKARD）制造了人類有史以來(lái)第一臺(tái)機(jī)械計(jì)算機(jī)，這臺(tái)機(jī)器能夠進(jìn)行六位數(shù)的加減乘除運(yùn)算。1642年法國(guó)科學(xué)家帕斯卡（BPAL）發(fā)明了著名的帕斯卡機(jī)械計(jì)算機(jī)，首次確立了計(jì)算機(jī)器的概念。1674年萊布尼茨改進(jìn)了帕斯卡的計(jì)算機(jī)，使之成為一種能夠進(jìn)行連續(xù)運(yùn)算的機(jī)器，并且提出了“二進(jìn)制”數(shù)的概念。（據(jù)說(shuō)這個(gè)概念來(lái)源于中國(guó)的八卦）1834年巴貝奇提出了分析機(jī)的概念，機(jī)器共分為三個(gè)部分堆棧，運(yùn)算器，控制器。他的助手，英國(guó)著名詩(shī)人拜倫的獨(dú)生女阿達(dá)奧古斯塔（ADAAUGUSTA）為分析機(jī)編制了人類歷史上第一批計(jì)算機(jī)程序。阿達(dá)和巴貝奇為計(jì)算機(jī)的發(fā)展創(chuàng)造了不朽的功勛，他們對(duì)計(jì)算機(jī)的預(yù)見(jiàn)起碼超前了一個(gè)世紀(jì)以上，正是他們的辛勤努力，為后來(lái)計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。1847年英國(guó)數(shù)學(xué)家布爾（GBOOLE）發(fā)表著作邏輯的數(shù)學(xué)分析。

簡(jiǎn)介：20182018年碩士研究生入學(xué)考試科目年碩士研究生入學(xué)考試科目特殊教育專業(yè)綜合特殊教育專業(yè)綜合考試大綱考試大綱參考書(shū)特殊教育概論（第2版）劉春玲，江琴娣主編，華東師范大學(xué)出版社出版，20163考試內(nèi)容1、特殊教育基礎(chǔ)理論知識(shí)基本概念、教育體系及相關(guān)政策法法規(guī)；2、特殊教育發(fā)展歷史脈絡(luò)及重要?dú)v史事件與人物；3、各類特殊兒童的主要心理特征及產(chǎn)生的原因；4、各類特殊兒童教育教學(xué)方法及干預(yù)技術(shù)；5、特殊教育研究基本方法與數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)；試卷內(nèi)容結(jié)構(gòu)1、特殊教育基礎(chǔ)理論知識(shí)占40分；2、特殊教育發(fā)展重大歷史事件、人物及發(fā)展趨勢(shì)占10分；3、各類特殊兒童主要心理特征及產(chǎn)生原因占30分；4、各類特殊兒童的教育方法與技術(shù)占40分；5、特殊教育研究基本方法與數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)占30分；試卷難易結(jié)構(gòu)試題按其難度分為容易題、稍難題和較難題，容易題約占60；稍難題約占30；較難題約占10。試卷題型結(jié)構(gòu)名詞解釋6道，簡(jiǎn)答題5道，論述題2道，案例分析題1道；設(shè)計(jì)題1道；試卷分值結(jié)構(gòu)名詞解釋30分，簡(jiǎn)答題50分，論述題30分，案例分析題15分；設(shè)計(jì)題25分；評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)和要求名詞解釋每小題5分，完全回答出題目所問(wèn)各知識(shí)點(diǎn)給滿分，不完全酌情扣分，答錯(cuò)、答偏不給分；簡(jiǎn)答題每小題8分，完全回答出題目所問(wèn)各知識(shí)點(diǎn)給滿分，不完全酌情扣分，答錯(cuò)、答偏不給分；論述題每小題15分，能夠緊扣題目主旨，答案完備，表達(dá)清晰，論證充分，給1315分之間；能夠理解題目意思，所回答的被容切題，表述清晰，論證不夠充分，給1012分之間；對(duì)題意只是一般了解，回答基本切題，觀點(diǎn)一般，論證不充分，給810分之間；對(duì)題目意思了解不足，所答知識(shí)點(diǎn)有重大錯(cuò)誤，表達(dá)能力薄弱，論證充分，給58分之間；完全錯(cuò)誤理解題意，所答知識(shí)點(diǎn)不足不切題，語(yǔ)言組織差，毫無(wú)基本概念的給05分之間。案例分析題每題15分；能夠準(zhǔn)確分析材料論述問(wèn)題，答案完備，表述清晰，論證有力，給1315份；能準(zhǔn)確分析材料，所回答內(nèi)容切題，表述清晰，但論證證據(jù)不足，給1012分；對(duì)材料分析一般，回答基本切題，觀點(diǎn)一般，論證不充分，給810分；對(duì)材料分析不足；回答存在較大錯(cuò)誤，表述較弱，論證不充分，給予58分；對(duì)材料分析存在偏差，所答內(nèi)容不切題，語(yǔ)言組織差，給05分；設(shè)計(jì)題每題25分；設(shè)計(jì)內(nèi)容具有較大價(jià)值，設(shè)計(jì)科學(xué)合理，具有較強(qiáng)可行性，論述清晰、論證充分，給2025分；設(shè)計(jì)內(nèi)容具有較大價(jià)值，設(shè)計(jì)較為科學(xué)合理，具有一定可行性，論述清晰，論證較充分給1520分；設(shè)計(jì)內(nèi)容價(jià)值一般，設(shè)計(jì)科學(xué)性一般，可行性一般，論述清晰、論證不夠充分給1015分；設(shè)計(jì)內(nèi)容價(jià)值不高，設(shè)計(jì)科學(xué)性、可行性較低，論述不充分，給510分；設(shè)計(jì)內(nèi)容沒(méi)什么意義，科學(xué)性和可行性低；論述不清晰，不充分，給05分。備注一級(jí)學(xué)科碩士點(diǎn)召集人簽名學(xué)院蓋章學(xué)院分管院長(zhǎng)簽名

簡(jiǎn)介：武漢理工大學(xué)1電路理論發(fā)展史班級(jí)電信理1402班學(xué)號(hào)0121414680206姓名蔡天賜指導(dǎo)教師劉皓春武漢理工大學(xué)3被稱為庫(kù)侖定律178年。然而電科學(xué)真正的突破是從1800年伏打ALESSROVOLTAR發(fā)明化學(xué)電池后開(kāi)始的。后人采用伏特作為電壓的單位，以紀(jì)念科學(xué)家伏打。由于伏打電池使電流連續(xù)成為可能，因而使很多電的實(shí)驗(yàn)變得簡(jiǎn)單可行，于是在短期內(nèi)就有了一系列重要的發(fā)現(xiàn)。比如，1820年奧斯特HCOERSTED發(fā)現(xiàn)，羅盤(pán)指針在載流導(dǎo)體旁會(huì)發(fā)生偏轉(zhuǎn)，于是他斷定電荷的流動(dòng)產(chǎn)生了磁。這一發(fā)現(xiàn)揭開(kāi)了電學(xué)理論的新的一頁(yè)。1825年安培AMAMPERE提出了描述電流與磁之間關(guān)系的安培定律，同時(shí)畢奧和沙伐爾也用實(shí)驗(yàn)表明了電流與磁場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系。后人為紀(jì)念安培，取其名作為電流的單位。1827年德國(guó)物理學(xué)家歐姆GSOHM在他的論文“用數(shù)學(xué)研究電路”中創(chuàng)立了歐姆定律。英國(guó)科學(xué)家法拉第MFARADAY在認(rèn)識(shí)到電流能產(chǎn)生磁之后，花了十年功夫，企圖證明磁場(chǎng)能產(chǎn)生電流。他致力于互感的研究，1831年他終于成功地證明了法拉第電磁感應(yīng)定律。在電磁現(xiàn)象的理論與實(shí)用問(wèn)題的研究上，德國(guó)物理學(xué)家海因里希楞次（HEINRICHFRIEDRICHLENZ）作出了巨大的貢獻(xiàn)。1833年他建立了確定感應(yīng)電流方向的定則楞次定則，其后，他致力于電機(jī)理論的研究，并提出了電機(jī)可逆性原理。1844年，楞次與英國(guó)物理學(xué)家焦耳JPJOULE分別獨(dú)立地確定了電流熱效應(yīng)定律焦耳楞次定律。當(dāng)法拉第發(fā)現(xiàn)電磁感應(yīng)現(xiàn)象后，就提出了“場(chǎng)”的一些初步但極為重要的概念來(lái)解釋他的發(fā)現(xiàn)，但令人遺憾的是，由于法拉第不精通數(shù)學(xué)，因而未能從他的發(fā)現(xiàn)中再前進(jìn)一步去建立電磁場(chǎng)理論，但自此開(kāi)始，電與磁的研究就分別在“路”與“場(chǎng)”這兩